第14次課第7章彈性薄板彎曲

第九章彈性薄板的彎曲問(wèn)題幾何模型幾何特征1.板(平板)2.板面(上、下)3.板邊4.板厚5.中面6.薄板:

9.1基本概念與基本假設(shè)載荷特征薄板受載荷時(shí),總可以把每一個(gè)荷載分解為在中面之內(nèi)的縱向荷載和垂直于中面的橫向荷載。前者可以按平面應(yīng)力問(wèn)題考慮，后者按薄板彎曲問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算。Kirchihoff直法線假設(shè)：

變形前與中面垂直的直線段，變形后仍保持直線段并與中面垂直。由此假設(shè)可知：在yz,xz平面內(nèi)無(wú)角變形，即不考的豎向平面內(nèi)的剪切變形。

小撓度薄板彎曲理論是以下面的三個(gè)假設(shè)為基礎(chǔ)的：yz平面xz平面γyz=

0γxz=

0所以有從而有由物理方程但容許和不等于零，以滿足平衡方程的需要。因?yàn)橛蓭缀畏匠痰靡驗(yàn)樗约粗忻鎯?nèi)的豎直位移函數(shù)w|z=0=w(x,y)

稱為撓度函數(shù)。2.中面彎曲時(shí)，中面內(nèi)的各點(diǎn)沒(méi)有平行于中面的位移，只有垂直位移。

在物理方程中3.不計(jì)垂直于中面的正應(yīng)變，即不考慮板的壓縮。則，因?yàn)槭潜“逅匀院雎缘拇笮?，但建立邊界平衡時(shí),要考慮的大小。該薄板的本構(gòu)方程與平面應(yīng)力問(wèn)題的本構(gòu)方程相同。所以小撓度薄板彎曲的問(wèn)題屬于彈性力學(xué)平面問(wèn)題因?yàn)椴挥?jì)引起的變形，所以本構(gòu)方程為

薄板的小撓度彎曲問(wèn)題是按位移求解的，即取撓度w(x,y)為基本未知函數(shù)。因此，要用w(x,y)來(lái)表示其他物理量，來(lái)建立所謂的彈性曲面微分方程。9.2彈性曲面的基本微分方程分別對(duì)z

進(jìn)行積分后得再由（2）式得由上節(jié)中的（1）式，位移函數(shù):AMA’M’OZuxzθZw=w(x,y)把上式代入物理方程，可得用w表示的應(yīng)力分量表達(dá)式。得用w

表示的應(yīng)變分量表達(dá)式:由幾何方程幾何方程:得本構(gòu)方程:由下面求用w表示的τzy及τzx的表達(dá)式，由平衡方程得將上式對(duì)z

積分后,利用薄板在下面和上面的邊界條件可得以下表達(dá)式平衡方程:下面來(lái)推導(dǎo)用w

表示的σz

的表達(dá)式，如果體力分量fz=0，可得下面平衡方程式：和上面的推導(dǎo)方法相同，利用邊界條件可得σz的表達(dá)式現(xiàn)在導(dǎo)出用w

表示的平衡微分方程,在薄板的上面有邊界條件此即薄板的彈性曲面微分方程，其中稱為薄板的彎曲剛度?；蚱渲衠是薄板每單位面積內(nèi)的橫向荷載，包括橫向面力及橫向體力。將σz

的表達(dá)式代入上述邊界條件可得彈性曲面平衡微分方程幾何方程：本構(gòu)關(guān)系：以

w(x,y)為未知函數(shù)，則有位移表達(dá)式9.3薄板橫截面上的內(nèi)力σx,

σy,τxy

為

z

的奇函數(shù)，因此它們?cè)诒“迦穸壬系拇鷶?shù)和為零，只能在截面上分別形成彎矩Mx,My

及扭矩Mxy。而剪應(yīng)力τxz，τyz

將分別形成橫剪力Qx，Qy。內(nèi)力(廣義應(yīng)力):聯(lián)合上節(jié)推導(dǎo)的應(yīng)力分量表達(dá)式可得xzy廣義應(yīng)變

y方向曲率x方向曲率扭率廣義應(yīng)力與廣義應(yīng)變的關(guān)系應(yīng)力與廣義應(yīng)變（廣義應(yīng)力）的關(guān)系以上的內(nèi)力，都是作用在薄板每單位寬度上的內(nèi)力,因此彎矩和扭矩的量綱都是[力]，橫向剪力的量綱是。在薄板彎曲問(wèn)題中，一定荷載所引起的彎曲應(yīng)力和剪應(yīng)力在數(shù)值上最大,因而是主要應(yīng)力；橫向應(yīng)力在數(shù)值上較小，是次要應(yīng)力；厚向應(yīng)力在數(shù)值上更小，是更次要的應(yīng)力。

σx

σy

τxy

τxz,τyzσzdxdy如右圖所示,由于在六個(gè)平衡方程中自動(dòng)滿足,其余三個(gè)平衡方程為:內(nèi)力的平衡薄板的平衡方程即dxdy消去Qx

、Qy把彎矩和扭矩的表達(dá)式代入得上式就是用第二種方法推得的薄板彎曲微分方程或撓度方程。9.4薄板彎曲問(wèn)題的邊界條件基本方程為四階偏微分方程矩形薄板，每個(gè)邊界必須給出兩個(gè)邊界條件。自由邊：固支邊：簡(jiǎn)支邊：如右圖所示邊界條件：xyBADCx=0y=0y=bx=aba固支邊簡(jiǎn)支邊自由邊自由邊：7.5薄板彎曲問(wèn)題解例本節(jié)首先通過(guò)介紹簡(jiǎn)支矩形薄板的納維解法，來(lái)理解一下求解薄板彎曲問(wèn)題的思路。四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板，當(dāng)無(wú)支座沉陷時(shí)，邊界條件如下：簡(jiǎn)支板中面支座撓度取為如下雙三角級(jí)數(shù)：現(xiàn)在將q

展開(kāi)成與上式左邊相同的形式，即代入彈性曲面微分方程可得下式：(c)兩邊同乘以、后從0到a對(duì)x積分，從0到b對(duì)y積分,并