第六章 彎曲變形

第六章彎曲變形“梁”是否滿足了強度條件：

σmax≤[σ]；τmax≤[τ]

就可以保證其正常工作嗎?§6-1工程中的彎曲變形問題跳臺跳板§6-1工程中的彎曲變形問題1.軸向拉（壓）－軸力FN2.圓軸扭轉(zhuǎn)－扭矩T3.彎曲變形－－??FF撓度和轉(zhuǎn)角MeMe1.撓度二、基本概念w撓度C'CAB

y

x橫截面形心C

（即軸線上的點）在垂直于x軸方向的線位移,稱為該截面的撓度。用w表示。2.轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角橫截面對其原來位置的角位移,稱為該截面的轉(zhuǎn)角。用

表示。AC'CwB

xw撓度（轉(zhuǎn)角AC'CwB

xw撓度（3.撓曲線：梁變形后的軸線稱為撓曲線。式中,x

為梁變形前軸線上任一點的橫坐標(biāo),w

為該點的撓度。撓曲線方程為撓曲線轉(zhuǎn)角AC'CwB

xw撓度（撓曲線4.撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：轉(zhuǎn)角方程小變形時，撓度一般遠(yuǎn)小于跨度：轉(zhuǎn)角AC'CwB

xw撓度（撓曲線5.撓度和轉(zhuǎn)角符號的規(guī)定撓度向上為正,向下為負(fù)。轉(zhuǎn)角自

x

轉(zhuǎn)至切線方向,逆時針轉(zhuǎn)為正,順時針轉(zhuǎn)為負(fù)。推導(dǎo)純彎曲彎曲正應(yīng)力時，得到：對于非純彎曲有：§6-2撓曲線的微分方程中性層一、推導(dǎo)公式橫力彎曲時，既有彎矩又有剪力。對跨度遠(yuǎn)大于截面高度的梁，剪力對彎曲變形的影響可以忽略。彎矩方程忽略剪力對變形的影響，對于非純彎曲有：中性層一、推導(dǎo)公式（梁的撓曲線微分方程）非線性的小變形時，撓度一般遠(yuǎn)小于跨度：中性層一、推導(dǎo)公式（梁的撓曲線微分方程）非線性的此式稱為梁的撓曲線近似微分方程近似原因：（1）略去了剪力的影響;（3）（2）略去了

項;

曲線向上凸時:OxwxOw曲線向下凸時:因此,與的正負(fù)號相同在規(guī)定的坐標(biāo)系中,x軸水平向右為正,w軸豎直向上為正。1)積分一次：2)再積分一次：(轉(zhuǎn)角方程)(撓度方程)C、D為積分常數(shù)?！?-3用積分法求彎曲變形一、微分方程的積分(撓曲線的近似微分方程)？二、確定積分常數(shù)C、D：Ax=0,θA=wA=0用邊界條件和連續(xù)性條件1.在撓曲線的某些點上，撓度和轉(zhuǎn)角是已知的，這類條件統(tǒng)稱為邊界條件。2.撓曲線應(yīng)該是一條連續(xù)光滑的曲線，即在撓曲線的任意點上，有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角，這就是連續(xù)性條件。

x=0,wA=0ABCθB左

=θB右

二、確定積分常數(shù)C、D：用邊界條件和連續(xù)性條件l

x=l,

wB=0qAB二、確定積分常數(shù)C、D：用邊界條件和連續(xù)性條件l

x=0,wA=0

x=l,

wB=0三、梁的剛度條件：得到梁的撓度和轉(zhuǎn)角后，得剛度條件如下：剛度條件A例6.1等截面懸臂梁，梁的抗彎剛度為EI，求梁的轉(zhuǎn)角方程、撓度方程，及θmax,wmax。Fl解：1.列彎矩方程：xB2.撓曲線近似微分方程：3.積分：工件和鏜床：4.確定積分常數(shù)：AFlxB（轉(zhuǎn)角方程）（撓度方程）例6.2試用積分法求受均布荷載作用的簡支梁的彎曲變形。ABql

解:由對稱性可知,梁的兩個支反力為FRAFRBx1.5mFSMABqlFRAFRBx（轉(zhuǎn)角方程）（撓度方程）

ABqlABwmax

在x=0和x=l

處轉(zhuǎn)角的絕對值相等且都是最大值:在梁跨中點處有最大撓度值：習(xí)題6.4（a）解：1、計算支座反力ABlMexwFAy2、求彎矩方程x3、建立撓曲線近似微分方程習(xí)題6.4（a）試用積分法求圖示梁的撓曲線方程、端截面轉(zhuǎn)角θA和θB

、跨度中點的撓度和最大撓度。設(shè)EI為常量。ABlMexwFAyx3、建立撓曲線近似微分方程習(xí)題6.4（a）試用積分法求圖示梁的撓曲線方程、端截面轉(zhuǎn)角θA和θB

、跨度中點的撓度和最大撓度。設(shè)EI為常量。4、積分5、確定積分常數(shù)ABlMexwFAyx習(xí)題6.4（a）試用積分法求圖示梁的撓曲線方程、端截面轉(zhuǎn)角θA和θB

、跨度中點的撓度和最大撓度。設(shè)EI為常量。5、確定積分常數(shù)ABlMexwFAyx習(xí)題6.4（a）試用積分法求圖示梁的撓曲線方程、端截面轉(zhuǎn)角θA和θB

、跨度中點的撓度和最大撓度。設(shè)EI為常量。5、確定積分常數(shù)6、計算梁的最大撓度一、疊加原理梁的變形微小，且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時，梁在幾項荷載(如集中力，集中力偶或分布力)同時作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。這就是疊加原理。§6-4用疊加法求彎曲變形§6-4用疊加法求彎曲變形1）小變形；

因此，梁的撓度和轉(zhuǎn)角與載荷成線性關(guān)系，可用疊加原理求復(fù)雜載荷作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角。2）線彈性范圍工作。疊加法的前提條件：多個載荷同時作用下，梁任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角，等于各載荷分別單獨作用下同一梁同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。一、疊加原理1.荷載疊加1.適用于求梁特定截面的撓度或轉(zhuǎn)角值；荷載疊加法適合：2.梁在簡單載荷作用下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角應(yīng)為已知或有變形表可查。看P185表6.1例6.4用疊加法求簡支梁中點C

的撓度。分析：

該簡支梁上同時

作用有兩類簡單載荷：q

和F

。qFACaaF=AB+ABq所以使用“疊加法”來計算例6.4用疊加法求簡支梁中點C

的撓度。解:1)查表6.1第8、10項得q和F單獨作用時的變形qFACaaF=AB+ABq例6.4用疊加法求簡支梁A截面的轉(zhuǎn)角。解:查表得q

和

F

單獨作用時的轉(zhuǎn)角：qFACaaF=AB+ABqlqlFl/2qlFl(1)(2)(3)(4)幾種常見梁在荷載作用下的撓度例6.6在簡支梁的一部分上作用均布載荷。試求跨度中點的撓度。設(shè)b<l/2

。BACql/2lb解：qdxxdx由表6.1第九欄的公式有：以上的例題是對載荷進(jìn)行分解，是疊加法的一種。疊加法的另一種形式是對梁進(jìn)行分解，這種方法也稱為逐段剛化法（逐段分析求和法）。下面我們用例題來說明這種方法的應(yīng)用。2.結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）ABalFCFABalCFa+1）將AC梁假想地沿B處截斷分成兩部分。AB部分為簡支梁，BC部分為懸臂梁。

例：用疊加法確定wC（逐段剛化法）

3）考慮BC段變形(AB段看作剛體)FaBC=FFa2）考慮AB段變形(BC段看作剛體)ABalFCFABalCFa+1）考慮AB段變形(BC段看作剛體)查表第6項得

例：用疊加法確定wC（逐段剛化法）

2）考慮BC段變形(AB段看作剛體)FaBClF1ACal/2DF2BF1BCDA=+F1BCaF1BCDAM=+F2ADCF1CABB例6.5求圖示外伸梁支座B處截面的

轉(zhuǎn)角θB和端點C

處撓度wC。分析：結(jié)構(gòu)變換，采用逐段剛化法F1F1a=F1alF1ACal/2DF2B+F1BC圖2圖3+F1BCDAM=圖1F2DC例6.5求圖示外伸梁支座B處截面的

轉(zhuǎn)角θB和端點C

處撓度wC。解:（1）結(jié)構(gòu)變換,查表求簡單載荷變形.（表6.1第8項）（第2項）M=F1a（第6項）lF1ACal/2DF2B+F1BC圖2圖3+F1BCDAM=圖1F2DC（表6.1第8項）（第2項）M=F1a（第6項）lF1ACal/2DF2B+F1BC圖2圖3+F1BCDAM=圖1F2DC（表6.1第8項）（第2項）M=F1a（第6項）習(xí)題6-9（a）習(xí)題6.10(c)（要用逐段剛化法解）=+思考習(xí)題6.9（C）：求圖示梁C截面的撓度。解：1、載荷分解如圖2、查6.1表第10項3、疊加ABCqll/2ABCq/2CABq/2q/2習(xí)題6.9（a）：用疊加法求圖示梁截面A的撓度和截面B的轉(zhuǎn)角。設(shè)EI為常量。FABMe=FlABFABMe=Fl=+解：1、載荷分解如圖2、查6.1表第2項3、查6.1表第1項（代撓度公式）FABMe=FlABFABMe=Fl=+2、查6.1表第2項3、查6.1表第1項（代撓度公式）FABMe=FlABFABMe=Fl=+2、查6.1表第2項3、查6.1表第1項（代撓度公式）習(xí)題6.10（C）：用疊加法求圖示外伸梁外伸端C的撓度和轉(zhuǎn)角。設(shè)EI為常量。aF=qa=+qaqa2/2=+分析：結(jié)構(gòu)變換，采用逐段剛化法qaqa2/2aaqF=qaqADBCADBCADBCqADBCBCqADBCF=qa+qaqa2/2=+aaaqF=qaADBCADBCBCqADBC圖1圖2圖3解:（1）結(jié)構(gòu)變換,查表求簡單載荷變形.（表6.1第8項）（第4項）（第4項）（第6項）F=qa+qaqa2/2=+aaaqF=qaADBCADBCBCqADBC圖1圖2圖3（表6.1第8項）（第4項）（第4項）（第6項）F=qa+qaqa2/2=+aaaqF=qaADBCADBCBCqADBC圖1圖2圖3（表6.1第8項）（第4項）（第4項）（第6項）§6-5簡單超靜定梁一.基本概念：1.超靜定梁：約束力數(shù)目大于平衡方程數(shù)目的梁。2.多余約束：多余維持其靜力平衡所必須的約束。3.靜不定次數(shù)：多余約束或多余約束力的數(shù)目。4.相當(dāng)系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)。7-6ABqABqFByFAyFAxMAFByFBy7-6ABqABqFBy1.解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng):二.求解超靜定梁的方法：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)。FAyFAxMA相當(dāng)系統(tǒng)7-6ABq

相當(dāng)系統(tǒng)的取法并不是唯一的。ABqlMA相當(dāng)系統(tǒng)：可選為簡支梁。FByFAyFAx相當(dāng)系統(tǒng)原超靜定梁在多余約束處的變形:7-6ABqABqFBy二.求解超靜定梁的方法：FAyFAxMA相當(dāng)系統(tǒng)2.根據(jù)原超靜定梁在多余約束處的變形，列出變形協(xié)調(diào)方程，從而得到補充方程。（變形協(xié)調(diào)方程）相當(dāng)系統(tǒng)下：7-6ABqABqFBy二.求解超靜定梁的方法：FAyFAxMA相當(dāng)系統(tǒng)（變形協(xié)調(diào)方程）后，即可求出求出ByF固定端其它約束力。7-6ABq

相當(dāng)系統(tǒng)的取法并不是唯一的。ABqlMA相當(dāng)系統(tǒng)：可選為簡支梁。FByFAyFAx相當(dāng)系統(tǒng)原超靜定梁在多余約束處的變形:相當(dāng)系統(tǒng)下：（變形協(xié)調(diào)方程）7-6ABq

相當(dāng)系統(tǒng)的取法并不是唯一的。ABqlMA相當(dāng)系統(tǒng)：可選為簡支梁。FByFAyFAx相當(dāng)系統(tǒng)（變形協(xié)調(diào)方程）即可求出其它約束力。7-6ABqABqFBy二.求解超靜定梁的方法：1.解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)。2.根據(jù)原超靜定梁在多余約束處的變形，列出變形協(xié)調(diào)方程，從而得到補充方程。3.解方程求出多余約束力。2.原超靜定梁在多余約束處的變形:ABlF“基本靜定結(jié)構(gòu)”aBRBAFa相當(dāng)系統(tǒng)XAYAMA例6.7RB方法一：1.取相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)下：（變形協(xié)調(diào)方程）ABlF“基本靜定結(jié)構(gòu)”aBRBAFa相當(dāng)系統(tǒng)XAYAMA例6.7RB方法一：（變形協(xié)調(diào)方程）2.原超靜定梁在多余約束處的變形:BAlFa對于相當(dāng)系統(tǒng)可有多種選擇:“基本靜定結(jié)構(gòu)”—簡支梁相當(dāng)系統(tǒng)—簡支梁ABFMAa例6.7方法二：1.取相當(dāng)系統(tǒng)XAYAMARB相當(dāng)系統(tǒng)下：（變形協(xié)調(diào)方程）（變形協(xié)調(diào)方程）BAlFa“基本靜定結(jié)構(gòu)”—簡支梁相當(dāng)系統(tǒng)—簡支梁ABFMAa例6.7XAYAMARB方法二：習(xí)題6.36習(xí)題6.37例題：懸臂梁的抗彎剛度為EI，豎桿的抗拉壓剛度為EA。試求豎桿的內(nèi)力。ABqEIChEAABq比較：例題：懸臂梁的抗彎剛度為EI，豎桿的抗拉壓剛度為EA。試求豎桿的內(nèi)力。ChEAF’BABqEIChEAABqFB相當(dāng)系統(tǒng)原超靜定梁在多余約束處的變形:相當(dāng)系統(tǒng)下：（變形協(xié)調(diào)方程）例題：懸臂梁的抗彎剛度為EI，豎桿的抗拉壓剛度為EA。試求豎桿的內(nèi)力。ABqFB相當(dāng)系統(tǒng)（變形協(xié)調(diào)方程）思考題：兩根懸臂梁在自由端處自由疊落在一起，二梁的抗彎剛度相同為EI,請分別畫出兩根梁的彎矩圖。ABCFa2aABFFBCBFB′變形條件：思考題：兩根懸臂梁在自由端處自由疊落在一起，二梁的抗彎剛度相同為EI,請分別畫出兩根梁的彎矩圖。ABCFa2aABFFBCBFB′--ChEAF’BABqEIChEAABqFB相當(dāng)系統(tǒng)原超靜定梁在多余約束處的變形:相當(dāng)系統(tǒng)下：（變形協(xié)調(diào)方程）習(xí)題6.36：q=10kN/m,E=200Gpa，梁為16號工字鋼，拉桿直徑d=10mm。求拉桿與梁最大應(yīng)力。ABqFB相當(dāng)系統(tǒng)（變形協(xié)調(diào)方程）習(xí)題6.36：q=10kN/m,E=200Gpa，梁為16號工字鋼，拉桿直徑d=10mm。求拉桿與梁最大應(yīng)力。查表P352：I=1130cm4,W=141cm3習(xí)題6.36：q=10kN/m,E=200Gpa，梁為16號工字鋼，拉桿直徑d=10mm。求拉桿與梁最大應(yīng)力。ABqxxMFBI=1130cm4,W=141cm3習(xí)題6.36：q=10kN/m,E=200Gpa，梁為16號工字鋼，拉桿直徑d=10mm。求拉桿與梁最大應(yīng)力。ABqChEAxxM梁最大應(yīng)力:I=1130cm4W=141cm3習(xí)題6.37：兩根梁的材料相同，截面慣性矩分布為I1、I2。在無荷載時兩梁剛好接觸，試求在F作用下，兩梁分別承擔(dān)的荷載。ABFl2l1ECD習(xí)題6