第三章 靜態(tài)場及其邊值問題的解2

第3章靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解1

本章內(nèi)容

3.1

靜電場分析

3.2

導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析

3.3

恒定磁場分析

3.4

靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理

3.5

鏡像法

3.6

分離變量法靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括：

靜電場、恒定電場和恒定磁場時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立

23.1靜電場分析

學(xué)習(xí)內(nèi)容

3.1.1

靜電場的基本方程和邊界條件

3.1.2

電位函數(shù)3.1.3

導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容3.1.4

靜電場的能量3.1.5

靜電力3麥克斯韋方程組時變場靜態(tài)場緩變場迅變場電磁場(EM)準(zhǔn)靜電場(EQS)準(zhǔn)靜磁場(MQS)靜磁場(MS)：麥克斯韋方程適用范圍：一切宏觀電磁現(xiàn)象靜電場(ES)恒定電場(SS)4媒質(zhì)1媒質(zhì)253.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析

由J＝E可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運(yùn)動，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。恒定電場與靜電場重要區(qū)別：（1）恒定電場可以存在導(dǎo)體內(nèi)部。（2）恒定電場中有電場能量的損耗,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。

恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。63.2.1恒定電場的基本方程和邊界條件1.基本方程

恒定電場的基本方程為微分形式：積分形式：

恒定電場的基本場矢量是電流密度和電場強(qiáng)度線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

恒定電場的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷72.恒定電場的邊界條件媒質(zhì)2媒質(zhì)1場矢量的邊界條件即即導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度場矢量的折射關(guān)系8電位的邊界條件恒定電場同時存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因而導(dǎo)體表面不是等位面；說明：9媒質(zhì)2媒質(zhì)1媒質(zhì)2媒質(zhì)1如2>>σ1、且2≠90°，則1＝0，即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。此時，良導(dǎo)體表面可近似地看作為等位面；

若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即1＝0，則

J1=0，故J2n=0且

E2n=0，即導(dǎo)體中的電流和電場與分界面平行。103.2.2恒定電場與靜電場的比擬

如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。11恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）對應(yīng)物理量靜電場恒定電場12

例3.2.1一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1和2、2，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。

解：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿z方向。13

例3.2.2

填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為1和2

、電導(dǎo)率為

1和2

。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)2介質(zhì)114（1）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為I,則由

可得電流密度介質(zhì)中的電場：

解電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布?？上燃僭O(shè)電流為I，由求出電流密度的表達(dá)式，然后求出和，再由確定出電流I。15故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為由于于是得到16（2）由可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)2外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為17

工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓U時，必定會有微小的漏電流J存在。漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即3.2.3漏電導(dǎo)18(1)假定兩電極間的電流為I；

計(jì)算兩電極間的電流密度矢量J；

由J=E得到E;

由，求出兩導(dǎo)體間的電位差；(5)求比值，即得出所求電導(dǎo)。

計(jì)算電導(dǎo)的方法一：

計(jì)算電導(dǎo)的方法二：(1)假定兩電極間的電位差為U；(2)計(jì)算兩電極間的電位分布；(3)由得到E;(4)由J=E

得到J;(5)由 ，求出兩導(dǎo)體間電流；

(6)求比值，即得出所求電導(dǎo)。

計(jì)算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：19例3.2.3

求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a、b，長度為l

，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ、介電常數(shù)為ε。解：直接用恒定電場的計(jì)算方法電導(dǎo)絕緣電阻則設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I。20方程通解為

例3.2.4

在一塊厚度h的導(dǎo)電板上，由兩個半徑為r1和r2的圓弧和夾角為0的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。計(jì)算沿方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ。解：設(shè)在沿方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿方向流動，而且電流密度是隨變化的。但容易判定電位只是變量的函數(shù)，因此電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程代入邊界條件可以得到環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊r1hr20σ21電流密度兩電極之間的電流故沿方向的兩電極之間的電阻為所以223.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件3.3.2

恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位3.3.3

電感3.3.4

恒定磁場的能量3.3.5

磁場力

3.3恒定磁場分析23微分形式:1.基本方程2.邊界條件本構(gòu)關(guān)系：或若分界面上不存在面電流，即JS＝0，則積分形式:或3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件24矢量磁位的定義磁矢位的任意性與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標(biāo)量的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即由即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對A的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。1.恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位

3.3.2恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位25磁矢位的微分方程在無源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程磁矢位的表達(dá)式26磁矢位的邊界條件由此可得出（可以證明滿足）對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為面電流：細(xì)線電流：利用磁矢位計(jì)算磁通量：27

例

3.3.1

求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為a，回路中的電流為I。

解如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均與無關(guān)，計(jì)算xz平面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。小圓環(huán)電流aIxzyrRθIP28對于遠(yuǎn)區(qū)，有r>>a，所以由于在=0面上，所以上式可寫成于是得到29式中S=πa2是小圓環(huán)的面積。載流小圓環(huán)可看作為磁偶極子，為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則或30

解：先長度為2L的直線電流的磁矢位。電流元到點(diǎn)的距離。則

例3.3.2

求無限長線電流I的磁矢位，設(shè)電流沿+z方向流動。與計(jì)算無限長線電荷的電位一樣，令可得到無限長線電流的磁矢位xyzL-L312.恒定磁場的標(biāo)量磁位一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，則有即在無傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，可以引入一個標(biāo)量位函數(shù)來描述磁場。標(biāo)量磁位的引入標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位磁標(biāo)位的微分方程將代入——等效磁荷體密度32與靜電位相比較，有標(biāo)量磁位的邊界條件在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中標(biāo)量磁位的表達(dá)式和或和式中：——等效磁荷面密度33靜電位 磁標(biāo)位

磁標(biāo)位與靜電位的比較靜電位

0

P磁標(biāo)位

m0m34當(dāng)r>>l時，可將磁柱體等效成磁偶極子，則利用與靜電場的比較和電偶極子場，有

解：M為常數(shù)，m=0，柱內(nèi)沒有磁荷。在柱的兩個端面上，磁化磁荷為R1R2rPzx-l/2l/2M例3.3.3半徑為a、長為l的圓柱永磁體，沿軸向均勻磁化，其磁化強(qiáng)度為

。求遠(yuǎn)區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。351.磁通與磁鏈

3.3.3電感單匝線圈形成的回路的磁鏈定義為穿過該回路的磁通量多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁鏈定義為所有線圈的磁通總和

CI細(xì)回路粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量o

；另一部分是磁力線穿過導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量i。iCIo粗回路36設(shè)回路C中的電流為I，所產(chǎn)生的磁場與回路C交鏈的磁鏈為，則磁鏈與回路C中的電流I有正比關(guān)系，其比值稱為回路C的自感系數(shù)，簡稱自感。——外自感2.自感——內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：L=Li+Lo自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。自感的特點(diǎn)：37

解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為I，由安培環(huán)路定理穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS=d的磁通為

例3.3.4

求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為b，空氣填充。得與dΦi交鏈的電流為則與dΦi相應(yīng)的磁鏈為38因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為故單位長度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。則故單位長度的外自感為單位長度的總自感為39

例3.3.5

計(jì)算平行雙線傳輸線單位的長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線的間距為D，且D>>a。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ0。穿過兩導(dǎo)線之間沿軸線方向?yàn)閱挝婚L度的面積的外磁鏈為

解

設(shè)兩導(dǎo)線流過的電流為I。由于D>>a，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度為PII40于是得到平行雙線傳輸線單位的長度的外自感兩根導(dǎo)線單位的長度的內(nèi)自感為故得到平行雙線傳輸線單位的長度的自感為41

對兩個彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2，當(dāng)回路C1中通過電流I1時，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈12也與I1成正比，其比例系數(shù)稱為回路C1對回路C2的互感系數(shù)，簡稱互感。3.互感同理，回路C2對回路C1

的互感為C1C2I1I2Ro42互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。滿足互易關(guān)系，即M12=M21

當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時，互感系數(shù)M為正值；反之，則互感系數(shù)M為負(fù)值?；ジ械奶攸c(diǎn)：434.紐曼公式如圖所示的兩個回路C1和回路C2，回路C1中的電流I1在回路C2上的任一點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場與回路C2交鏈的磁鏈為C1C2I1I2Ro故得同理紐曼公式44由圖中可知長直導(dǎo)線與三角形回路穿過三角形回路面積的磁通為

解

設(shè)長直導(dǎo)線中的電流為I，根據(jù)安培環(huán)路定律，得到

例3.3.6

如圖所示，長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。45因此故長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為46

例3.3.7

如圖所示，兩個互相平行且共軸的圓形線圈C1和C2，半徑分別為a1和a2，中心相距為d。求它們之間的互感。于是有

解利用紐曼公式來計(jì)算，則有兩個平行且共軸的線圈式中θ=2－1為與之間的夾角，dl1=a1d1、dl2=a1d2，且47若d>>a1，則于是一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若d>>a1或d>>a2時，可進(jìn)行近似計(jì)算。483.3.4恒定磁場的能量1.

磁場能量在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動勢作功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運(yùn)動，表明恒定磁場具有能量。磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當(dāng)電流從零開始增加時，回路中的感應(yīng)電動勢要阻止電流的增加，因而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動勢。假定建立并維持恒定電流時，沒有熱損耗。假定在恒定電流建立過程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻射損耗。492.磁場能量密度

從場的觀點(diǎn)來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。

磁場能量密度：

磁場的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶鏊诘恼麄€空間

對于線性、各向同性介質(zhì)，則有50若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無限擴(kuò)大時，則有故推證：S51

設(shè)回路從零開始充電，最終的電流為I、交鏈的磁鏈為。在時刻t的電流為i=αI、磁鏈為ψ=α。(0≤α≤1)根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為I

的載流回路具有的磁場能量Wm，即對α從0到1積分，即得到外電源所做的總功為外加電壓應(yīng)為所做的功當(dāng)α增加為(α+dα)時，回路中的感應(yīng)電動勢:52

對于多個載流回路，則有對于體分布電流，則有例如，兩個電流回路C1和回路C2回路C2的自有能回路C1的自有能C1和C2的互能53若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無限擴(kuò)大時，則有故推證：S54

例3.3.8

同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為

b和c，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流I，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。

解：由安培環(huán)路定律，得55三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為56單位長度內(nèi)總的磁場能量為單位長度的總自感內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感外導(dǎo)體的內(nèi)自感573.3.5

磁場力

假定第