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1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的概念及基本步驟數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法.它的基本步驟是:(1)驗(yàn)證:=n時(shí),命題成立;(2)在假設(shè)當(dāng)
=(≥n)時(shí)命題成立
的前提下,推出當(dāng)
=+1
時(shí),命題成立.根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對一切正整數(shù)都成立.2.歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)系數(shù)學(xué)上,在歸納出結(jié)論后,還需給出嚴(yán)格證明.在學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí),需要特別注意:(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與正整數(shù)
有關(guān)
的命題;(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中,兩個(gè)基本步驟缺一不可.1.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的第一步時(shí),是驗(yàn)證使命題成立的最小正整數(shù),注意
不一定是
1.2.當(dāng)證明從
到
+1時(shí),所證明的式子不一定只增加一項(xiàng);其次,在證明命題對
=+1成立時(shí),必須運(yùn)用命題對=成立的歸納假設(shè).步驟二中,在由
到
+1的遞推過程中,突出兩個(gè)“湊”:一“湊”假設(shè),二“湊”結(jié)論.關(guān)鍵是明確
=+1時(shí)證明的目標(biāo),充分考慮由=到
=+1時(shí)命題形式之間的區(qū)別與聯(lián)系,若實(shí)在湊不出結(jié)論,特別是不等式的證明,還可以應(yīng)用比較法、分析法、綜合法、放縮法等來證明當(dāng)=+1時(shí)命題也成立,這也是證題的常用方法.3.用數(shù)學(xué)歸納法證命題的兩個(gè)步驟相輔相成,缺一不可.盡管部分與正整數(shù)有關(guān)的命題用其他方法也可以解決,但題目若要求用數(shù)學(xué)歸納法證明,則必須依題目的要求嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行,否則不正確.4.要注意“觀察——?dú)w納——猜想——證明”的思維模式,和由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用,加強(qiáng)合情推理與演繹推理相結(jié)合的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.1
/
115.?dāng)?shù)學(xué)歸納法與歸納推理不同.(1)歸納推理是根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性,推斷該類事物中每一個(gè)都有這種屬性.結(jié)果不一定正確,需要進(jìn)行嚴(yán)格的證明.(2)數(shù)學(xué)歸納法是一種證明數(shù)學(xué)命題的方法,結(jié)果一定正確.6.在學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí),需要特別注意:(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與正整數(shù)有關(guān)的命題,要求這個(gè)命題對所有的正整數(shù)
都成立;(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中,兩個(gè)基本步驟缺一不可.?dāng)?shù)學(xué)歸納法是推理邏輯,它的第一步稱為奠基步驟,是論證的基礎(chǔ)保證,即通過驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn),這個(gè)基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠;它的第二步稱為遞推步驟,是命題具有后繼傳遞的保證,即只要命題對某個(gè)正整數(shù)成立,就能保證該命題對后繼正整數(shù)都成立,兩步合在一起為完全歸納步驟,稱為數(shù)學(xué)歸納法,這兩步各司其職,缺一不可.特別指出的是,第二步不是判斷命題的真?zhèn)危亲C明命題是否具有傳遞性.如果沒有第一步,而僅有第二步成立,命題也可能是假命題. 證明:+++…++=-其中
∈.
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
-+-+…+--2
/
11
=++++…+
.
證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明:對一切大于
的自然數(shù)
,不等式+++…+
+
-
>
成立.
*
·
恰當(dāng)?shù)目s小來實(shí)現(xiàn),也可以用上述歸納假設(shè)后,證明不等式
p;
p
p
.
大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中
用數(shù)學(xué)歸納法證明: +++…+<2- ≥2).
<2
<<2<2
證明整除問題用數(shù)學(xué)歸納法證明下列問題:求證:×+是
的倍數(shù);證明:+-能被
整除. ·7
k·7.
mm
mmmm
*
南京一模已知數(shù)列{}滿足
=,=,當(dāng)
∈時(shí),=+.求證:數(shù)列{}的第
m+
項(xiàng)m∈能被整除.
m
m
m
m
m
m
.
m
{}
m
幾何問題平面內(nèi)有
個(gè)圓,其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn),且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn).求證:這個(gè)圓把平面分成
-+個(gè)部分.
*
*
平面內(nèi)有(∈,≥條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點(diǎn),證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)
()=
-
.
l
l
l
.
歸納—猜想—證明
湖南常德
月,設(shè)
>0,=+,令
=,=,∈.寫出
,,的值,并猜想數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
.
·
·
.
已知數(shù)列{}滿足
已知數(shù)列{}滿足
=,
=
,∈
.+證明:
-≤
.
:
猜想數(shù)列{}的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
>>{}
>
>.
>0
>0
>
.
<2
>
<2
>
.
.
判斷
++…+=++
對大于
的自然數(shù)
是否都成立?若成立請給出證明
×
×
×
++ ×
×
×
++用數(shù)學(xué)歸納法證明 + + +…+ =∈
.
.
+用數(shù)學(xué)歸納法證明
+++…+>
∈.
>
>
.
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