定積分概念可積性性質(zhì)

定積分概念可積性性質(zhì)第一頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日

Chap7―1

定積分的概念第二頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日Oa=x0xn=bxyy=f(x)x1xi–1xiixn–1x2(1)分割

取分點(diǎn)a=x0<x1<…<xn=b,將[a,b]分為n個(gè)小區(qū)間[xi–1,xi](i=1,2,…,n),其長(zhǎng)度記為xi=xi–xi–1.(2)作近似和

i[xi–1,xi],第i個(gè)小曲邊梯形面積Sif(i)xi，故曲邊梯形面積(3)

取極限記,則曲邊梯形面積一、曲邊梯形面積第三頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題一質(zhì)點(diǎn)以速度v=v(t)C[a,b],作變速直線運(yùn)動(dòng),如何求時(shí)刻a到時(shí)刻b質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程s？(1)分割

取分點(diǎn)a=t0<t1<…<tn=b,將[a,b]分為n個(gè)小區(qū)間[ti–1,ti](i=1,2,…,n),其長(zhǎng)度記為ti=ti–ti–1.(2)作近似和

i[ti–1,ti],質(zhì)點(diǎn)在時(shí)段[ti–1,ti]經(jīng)過(guò)的路程siv(i)ti,故質(zhì)點(diǎn)在[a,b]經(jīng)過(guò)的路程(3)取極限記,則質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間[a,b]內(nèi)的路程二、變速直線運(yùn)動(dòng)路程第四頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日三、定義定義設(shè)f:[a,b]R.任取[a,b]的分劃以及i[xi–1,xi]({1,2,,n}=()稱為分劃下的介點(diǎn)集),作和若總有則稱f在[a,b]上可積,記為fR[a,b].I稱為

f在[a,b]上的定積分，記為

分劃:a=x0<x1<…<xn=b.其模第五頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日—積分號(hào);a,b—積分下、上限;[a,b]—積分區(qū)間;f(x)—被積函數(shù);x—積分變量.即

Riemann和或積分和

定積分的“”表述？問(wèn)題極限過(guò)程||||0能否換為n+？Riemann(1826-1866)第六頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日

定積分的值僅與積分區(qū)間和被積函數(shù)有關(guān)！而與[a,b]的分劃和介點(diǎn)集()的選取無(wú)關(guān)!也與積分變量無(wú)關(guān),即結(jié)論若存在兩個(gè)分劃或同一分劃下不同i的選取,使Riemann和的極限不同,則f在[a,b]上不可積！例1

證明Dirichlet函數(shù)在[0,1]不可積.第七頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日3)

當(dāng)f(x)0時(shí),曲邊梯形在x軸下方,面積4)

表示直線x=a,x=b,

曲線y=f(x)和x軸所圍圖形面積代數(shù)值之和,其中規(guī)定x軸上方圖形面積代數(shù)值為正,下方圖形面積代數(shù)值為負(fù).2)

當(dāng)f(x)0時(shí),曲邊梯形面積特別地四、定積分的物理、幾何意義1)變速直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的路程第八頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)fR[a,b]時(shí),可采用特殊的分劃和特定的點(diǎn)i[xi–1,xi]通過(guò)作Riemann和取極限求例2

計(jì)算例3

已知(p>0),求極限

利用定積分求和式極限:關(guān)鍵在于利用其中左式i取為左端點(diǎn)xi–1,右式i取為右端點(diǎn)xi.第九頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日

Chap7―2

函數(shù)可積的條件第十頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日一、必要條件定理1(必要條件)

設(shè)fR[a,b],則f在[a,b]上有界.

有界是函數(shù)可積的必要不充分條件.

如D(x)有界,但不可積!二、充要條件定義設(shè)f在[a,b]上有界，:a=x0<x1<…<xn=b是[a,b]的分劃,記稱及分別為f

在分劃下的Darboux大和及小和.第十一頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日引理1

設(shè)f在[a,b]上有界,若分劃*是分劃的加細(xì)，則

加細(xì)分劃*由分劃添加分點(diǎn)得到.

加細(xì)分劃具有“大和不增，小和不減”性！引理2

設(shè)f在[a,b]上有界,1和2是[a,b]的任意兩分劃，則

為非空上有界集.

為非空下有界集.第十二頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日定義稱為f在[a,b]上的下積分結(jié)論定理2(第II充要條件)設(shè)f在[a,b]上有界,則fR[a,b]

>0,分劃:試一試f在[a,b]上的上積分的定義！

等價(jià)表述>0,分劃:其中i=Mimi是f在[xi1,xi]上的振幅.第十三頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日

幾何意義

思考要，那么或者i

很?。换蛘唠mi不小，但其對(duì)應(yīng)的小區(qū)間長(zhǎng)度和很小！定理3(第III充要條件)設(shè)f在[a,b]上有界,則fR[a,b]

>0,>0,分劃:，其中={i|i}.定理4(第I充要條件)設(shè)f在[a,b]上有界,則fR[a,b]

第十四頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日定理5若fC[a,b],則fR[a,b].定理6設(shè)f在[a,b]有界,且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),則fR[a,b].定理7設(shè)f在[a,b]單調(diào)有界,則fR[a,b].三、充分條件

分段連續(xù)函數(shù)的可積性！

命題設(shè)f在[a,b]有界,其間斷點(diǎn)全體為{xn},且則fR[a,b].例證明Riemann函數(shù)

在[0,1]上可積.第十五頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日

Chap7―3

定積分的性質(zhì)第十六頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日一、運(yùn)算性質(zhì)

規(guī)定定理1(線性性)

若f,g

R[a,b],,R,則fgR[a,b],且定理2(乘積可積性)

若f,g

R[a,b],則f

·g

R[a,b].定理3(區(qū)間可加性)

設(shè)f

R[a,b],則對(duì)(2)c(a,b)有f

R[a,c]R[c,b],且(1)

[,][a,b]有f

R[,

].第十七頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日定理4(保序性)

若f

R[a,b],且f(x)0,則推論1

若f,g

R[a,b],且f(x)g(x),則推論2(估值不等式)若fR[a,b],且mf(x)M,則推論3(絕對(duì)值不等式)若fR[a,b],則|f|R[a,b],且問(wèn)題逆命題成立嗎？即|f|R[a,b]能否導(dǎo)出fR[a,b]？定義設(shè)f:[a,b]R,若|f|R[a,b],則稱f在[a,b]上絕對(duì)可積.第十八頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日例1

設(shè)fC[a,b],f(x)0,且證明f(x)0.

若f(x)0,且則f(x)在連續(xù)點(diǎn)的取值為0.

設(shè)fR[a,b],f(x)>0,則例2(Cauchy—Schwarz不等式)設(shè)f,gR[a,b],則有例3

設(shè)fR[a,b],g(x)在[a,b]上除有限點(diǎn)外與f(x)取值相同.證明：gR[a,b],

且第十九頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日二、積分第一中值定理定理5設(shè)fC[a,b],g在[a,b]上可積且不變號(hào),則[a,b]:推論設(shè)fC[a,b],則[a,b],使得Oabxyy=f(x)幾何意義“化曲為方”！f在[a,b]上的平均值第二十頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日例5

證明例4

設(shè)函數(shù)fC[0,1]D(0,1),且證明：(0,1)使得第二十一頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日三、變限積分函數(shù)定義若f

R[a,b],對(duì)x[a,b],是x的函數(shù),即稱之為f(x)在[a,b]上的變上限積分(函數(shù))定理6

若f

R[a,b],則F(x