數(shù)學(xué)分析第六章極值曲率

§6

函數(shù)的極值與最值定義復(fù)習(xí)極值的概念：2/3/20231[費(fèi)馬定理]：可導(dǎo)函數(shù)極值的必要條件：2/3/20232定理1(第一充分條件)

f在x0連續(xù)，在x0的某去心鄰域可導(dǎo)，

左增右減右增左減左右不變號(hào)2/3/20233(不是極值點(diǎn)情形)(是極值點(diǎn)情形)2/3/20234定理2(第二充分條件)2/3/20235證同理可證(2).證畢問(wèn)：2/3/20236定理3(第三充分條件)證：2/3/202372/3/20238求極值的步驟:(1)求出導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；2/3/20239例1解列表極大值極小值2/3/202310例2解從例1、2看出兩個(gè)充分條件使用條件的區(qū)別？2/3/202311例3解-1+1y=f(x)Oyx或者：2/3/202312二、最值的求法2/3/202313由極值與最值的關(guān)系知2/3/202314步驟:1.求穩(wěn)定點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及穩(wěn)定點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,哪個(gè)大哪個(gè)就是最大值,哪個(gè)小哪個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)2/3/202315解注：實(shí)際問(wèn)題中最值的存在性?？捎蓡?wèn)題的背景確定.2/3/202316例6

某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租。當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去；當(dāng)月租金每增加10元時(shí)，就有一套租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元維護(hù)費(fèi)。試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？解設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為（唯一穩(wěn)定點(diǎn)）答：每月每套租金為350元時(shí)收入最高.（就是最大值點(diǎn)）2/3/202317例7解如圖:解得2/3/202318注意極值是函數(shù)的局部概念：可有多個(gè)極大值和極小值；可能有某個(gè)極小值大于某個(gè)極大值.函數(shù)的極值必在穩(wěn)定點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)取得.充分性判別法第一充分條件;第三充分條件;(注意使用條件)。最值是整體概念,是唯一的。求實(shí)際問(wèn)題中的最值的步驟.第二充分條件;2/3/202319§7

函數(shù)圖象討論2/3/202320一、作圖的步驟5.確定漸近線;2/3/202321曲線的漸近線復(fù)習(xí)1.垂直漸近線即動(dòng)點(diǎn)沿著上下方向無(wú)限原離原點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到直線x=x0距離趨于0。2/3/202322例如有垂直漸近線兩條:求垂直漸近線，一般關(guān)注分式中分母為0的點(diǎn)。2/3/2023232.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:即動(dòng)點(diǎn)沿著左右方向無(wú)限原離原點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到直線y=b距離趨于0。2/3/2023243.斜漸近線即動(dòng)點(diǎn)沿著曲線y=f(x)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到直線y=kx+b

距離趨于0。2/3/202325斜漸近線的求法:2/3/2023262/3/2023272/3/202328例1解（無(wú)奇偶性及周期性）列表:拐點(diǎn)極大值極小值二、作圖舉例2/3/2023292/3/202330例2解（非奇非偶函數(shù),且無(wú)對(duì)稱性）列表:拐點(diǎn)極值點(diǎn)2/3/2023312/3/202332（描點(diǎn)）作圖2/3/202333例3解列表:極大值極小值2/3/2023342/3/202335最大值最小值極大值極小值拐點(diǎn)凸凹單增單減三、小結(jié)函數(shù)圖形的描繪綜合運(yùn)用函數(shù)初等性質(zhì)（奇偶性、周期性、）、分析性質(zhì)（極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)）的幾何特征，是對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何應(yīng)用的綜合考察.拐點(diǎn)2/3/202336第八節(jié)曲率一、曲率

二、弧微分三、曲率計(jì)算公式四、曲率園及曲率半徑2/3/202337在生產(chǎn)實(shí)踐和工程技術(shù)中，常常需要研究曲線的彎曲程度，例如，設(shè)計(jì)鐵路、高速公路的彎道時(shí)，就需要根據(jù)最高限速來(lái)確定彎道的彎曲程度。2/3/202338例如，鐵軌的曲率就是個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：曲率曲線彎曲的程度2/3/202339一、曲率)))弧長(zhǎng)相同弧長(zhǎng)越短（（2/3/202340M1M2M3′1與切線轉(zhuǎn)角成正比曲率曲線彎曲的程度.2/3/202341ABB′1與切線轉(zhuǎn)角成正比S′2與曲線弧長(zhǎng)S成反比S故定義曲線AB平均曲率...曲線彎曲的程度曲率.=.A′2/3/202342)yxo設(shè)曲線C是光滑的，（定義（曲線C在點(diǎn)M處的曲率曲率(定義為正的值)2/3/202343注意:(1)直線的曲率處處為零;(2)圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù),且半徑越小曲率越大.即直線不彎曲2/3/202344二、弧微分規(guī)定：2/3/202345單調(diào)增函數(shù)如圖，弧微分公式2/3/202346三、曲率的計(jì)算公式y(tǒng)xo2/3/202347三、曲率的計(jì)算公式y(tǒng)xo2/3/202348三、曲率的計(jì)算公式1.2.3.2/3/202349例1解顯然,2/3/202350定義四、曲率圓與曲率半徑2/3/202351三、曲率圓與曲率半徑2/3/202352例2解設(shè)Q為座椅對(duì)飛行員的反力,P為飛行員的體重。視飛行員在點(diǎn)o作勻速圓周運(yùn)動(dòng),O點(diǎn)處拋物線軌道的曲率半徑如圖,受力分析2/3/202353得曲率為曲率半徑為即:飛行員對(duì)座椅的壓力為641.5千克力.2/3/202354點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停2/3/2023552/3/202356（（在緩沖段上,實(shí)際要求2/3/202357四、小結(jié)運(yùn)用微分學(xué)的理論,研究曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支——微分幾何學(xué).基本概念:弧微分,曲率,曲率圓.曲線彎曲程度的描述——曲率;曲線弧的近似代替曲率圓(弧).2/3/202358第九節(jié)方程的近似解一、問(wèn)題的提出二、二分法三、切線法四、小結(jié)思考題2/3/202359一、問(wèn)題的提出【求近似實(shí)根的步驟】１．確定根的大致范圍——根的隔離．【問(wèn)題】高次代數(shù)方程或其他類型的方程求精確根一般比較困難,希望尋求方程近似根的有效計(jì)算方法．2/3/202360２．以根的隔離區(qū)間的端點(diǎn)作為根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精確度，直至求得滿足精確度要求的近似實(shí)根．【常用方法】——二分法和切線法（牛頓法）2/3/202361二、二分法【作法】2/3/202362總之，2/3/2023632/3/202364【例１】【解】如圖2/3/202365計(jì)算得:2/3/2023662/3/202367三、切線法【定義】用曲線弧一端的切線來(lái)代替曲線弧，從而求出方程實(shí)根的近似值，這種方法叫做切線法（牛頓法）．2/3/202368【如圖】2/3/202369如此繼續(xù)，得根的近似值【注意】2/3/202370【例２】【解】2/3/202371代入(1),得計(jì)算停