方差分析及MATLAB程序

第一章方差分析

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中,經(jīng)常遇到這樣的問題:影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多,我們需要了解在這眾多的因素中,哪些因素對(duì)影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量有顯著影響。要先做試驗(yàn),然后對(duì)測(cè)試的結(jié)果進(jìn)行分析.方差分析就是分析測(cè)試結(jié)果的一種方法.

在方差分析中,把在試驗(yàn)中變化的因素稱為因子,用A、B、C、...表示;因子在試驗(yàn)中所取的不同狀態(tài)稱為水平,因子A的r個(gè)不同水平用A1、A2、...、Ar表示.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)§1單因子方差分析§1.1基本概念與數(shù)學(xué)模型水平觀測(cè)值A(chǔ)1x11x12...x1n1A2x21x22…x2n2……………Arxr1xr2…xrnr

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)

例:為尋求適應(yīng)本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種,今選了五種不同品種進(jìn)行試驗(yàn),每一品種在四塊試驗(yàn)田上得到在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下:我們要研究的問題是諸不同品種的平均畝產(chǎn)量是否有顯著差異.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)試驗(yàn)的目的就是要檢驗(yàn)假設(shè)

H0:μ1=μ2=μ3=μ4=μ5是否成立.若是拒絕,那么我們就認(rèn)為這五種品種的平均畝產(chǎn)量之間有顯著差異;反之,就認(rèn)為各品種間產(chǎn)量的不同是由隨機(jī)因素引起的.方差分析就是檢驗(yàn)假設(shè)的一種方法.在本例中只考慮品種這一因子對(duì)畝產(chǎn)量的影響,五個(gè)不同品種就是該因子的五個(gè)不同水平.由于同一品種在不同田塊上的畝產(chǎn)量不同,我們可以認(rèn)為一個(gè)品種的畝產(chǎn)量就是一個(gè)總體,在方差分析中總假定各總體獨(dú)立地服從同方差正態(tài)分布,即第i個(gè)品種的畝產(chǎn)量是一個(gè)隨機(jī)變量,它服從分布N(μi,σ2),i=1,2,3,4,5.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)設(shè)在某試驗(yàn)中,因子A有r個(gè)不同水平A1,A2,...,Ar,在Ai水平下的試驗(yàn)結(jié)果Xi服從正態(tài)分布N(μi,σ2),i=1,2,...,r,且X1,X2,...,Xr間相互獨(dú)立.現(xiàn)在水平Ai下做了ni次試驗(yàn),獲得了ni個(gè)試驗(yàn)結(jié)果Xij,j=1,2,...,ni這可以看成是取自Xi的一個(gè)容量為ni的樣本,i=1,2,...,r.實(shí)際上,方差分析是檢驗(yàn)同方差的若干正態(tài)總體均值是否相等的一種統(tǒng)計(jì)方法.在實(shí)際問題中影響總體均值的因素可能不止一個(gè).我們按試驗(yàn)中因子的個(gè)數(shù),可以有單因子方差分析,雙因子分析,多因子分析等.例中是一個(gè)單因子方差分析問題.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)水平觀測(cè)值A(chǔ)1x11x12...x1n1A2x21x22…x2n2……………Arxr1xr2…xrnr

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)由于Xij~N(μi,σ2),故Xij與μi的差可以看成一個(gè)隨機(jī)誤差εij~N(0,σ2).這樣一來,可以假定Xij具有下述數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式:為了今后方便起見,把參數(shù)的形式改變一下,并記稱μ為一般平均,αi為因子A的第i個(gè)水平的效應(yīng).

Xij=μi+εij,i=1,2,...,r;j=1,2,...,ni其中諸εij~N(0,σ2),且相互獨(dú)立.要檢驗(yàn)的假設(shè)是

H0:μ1=μ2=…=μr

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)在這樣的改變下,單因子方差分析模型中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式可以寫成:所要檢驗(yàn)的假設(shè)可以寫成:為了導(dǎo)出檢驗(yàn)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量,下面我們分析一下什么是引起諸Xij

波動(dòng)的原因.

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平方和分解公式：引起諸Xij

波動(dòng)的原因有兩個(gè):一個(gè)是假設(shè)H0為真時(shí),諸Xij的波動(dòng)純粹是隨機(jī)性引起的;另一個(gè)可能是假設(shè)H0不真而引起的.因而我們就想用一個(gè)量來刻劃諸Xij之間的波動(dòng),并把引起波動(dòng)的兩個(gè)原因用另兩個(gè)量表示出來,這就是方差分析中常用的平方和分解法.§1.2統(tǒng)計(jì)分析

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)其中交叉乘積項(xiàng)

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)下面我們來看各式的意義

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檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造:

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)對(duì)于各組樣本有因此

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一般,當(dāng)F>F0.01時(shí),稱因子的影響高度顯著,記為“**”;當(dāng)F0.01>F≥F0.05時(shí),稱因子的影響顯著,記為“*”;當(dāng)F＜F0.05時(shí),稱因子無顯著影響,即認(rèn)為因子各水平間無差異.

檢驗(yàn)過程：

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)§1.3方差分析表

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例:為尋求適應(yīng)本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種,今選了五種不同品種進(jìn)行試驗(yàn),每一品種在四塊試驗(yàn)田上得到在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下:我們要研究的問題是諸不同品種的平均畝產(chǎn)量是否有顯著差異.

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解:先列表計(jì)算

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2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)例:下面給出了隨機(jī)選取的,用于計(jì)算器的四種類型的電路的響應(yīng)時(shí)間(以毫秒計(jì)).

表:電路的響應(yīng)時(shí)間類型I類型II類型III類型IV15222018402133271617151826182219這里試驗(yàn)的指標(biāo)是電路的響應(yīng)時(shí)間.電路類型為因素.這一因素有四個(gè)水平,試驗(yàn)的目的是要考察各類型電路對(duì)響應(yīng)時(shí)間的影響.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)設(shè)四種類型電路的響應(yīng)時(shí)間的總體均為正態(tài),且各總體方差相同,但參數(shù)均未知.又設(shè)各樣本相互獨(dú)立.解分別以m1,m2,m3,m4記類型I,II,III,IV四種電路響應(yīng)時(shí)間總體的平均值.我們需檢驗(yàn)(a=0.05)

H0:m1=m2=m3=m4,

H1:m1,m2,m3,m4不全相等.

現(xiàn)在n=18,s=4,n1=n2=n3=5,n4=3,試驗(yàn)號(hào)12345和和平方類型I1915222018948836類型II204021332714119881類型III1617151826928464類型IV182219593481

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)ST,SA,SE的自由度依次為17,3,14

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)表:方差分析表方差來源平方和自由度均方F值顯著性因素318.983106.333.76*誤差395.461428.25總和714.4417因F0.95(3,14)=3.34<3.76<F0.99(3,14)=5.56,故認(rèn)為各類型電路的響應(yīng)時(shí)間有顯著差異.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)1.4.單因素方差分析的Matlab實(shí)現(xiàn)單因素方差分析:anova1調(diào)用格式:(1)p=anova1(X)(2)p=anova1(X,group)(3)p=anova1(X,group,displayopt)(4)[p,table]=anova1(...)(5)[p,table,stats]=anova1(...)

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)（2）p=anova1(X,group)輸入：X是一個(gè)向量，從第一個(gè)總體的樣本到第r個(gè)總體的樣本依次排列，group是與X有相同長(zhǎng)度的向量，表示X中的元素是如何分組的.group中某元素等于i,表示X中這個(gè)位置的數(shù)據(jù)來自第i個(gè)總體.因此group中分量必須取正整數(shù)，從1直到r.（1）p=anova1(X)%比較X中各列數(shù)據(jù)的均值是否相等。此時(shí)輸出的p是零假設(shè)成立時(shí)，數(shù)據(jù)的概率，當(dāng)p<0.05稱差異是顯著的，當(dāng)p<0.01稱差異是高度顯著的.輸入X各列的元素相同，即各總體的樣本大小相等，稱為均衡數(shù)據(jù)的方差分析。不均衡時(shí)用下面的命令：

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)Table——輸出anova表：stats——輸出boxplot圖：>>X=[2.16503.69611.55383.64004.95511.62682.05912.29883.86444.20111.07513.79714.24602.65074.23481.35162.26412.36102.72965.86170.30352.87173.57744.98464.9438];>>p=anova1(X)p=5.9952e-005

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)例.某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對(duì)魚的飼喂效果，選取了條件基本相同的魚20尾，隨機(jī)分成四組，投喂不同飼料，經(jīng)一個(gè)月試驗(yàn)以后，各組魚的增重結(jié)果列于下表。表

飼喂不同飼料的魚的增（單位：10g）飼料魚的增重（xij）A131.927.931.828.435.9A224.825.726.827.926.2A322.123.627.324.925.8A427.030.829.024.528.5四種不同飼料對(duì)魚的增重效果是否顯著？

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)解：這是單因素均衡數(shù)據(jù)的方差分析，Matlab程序如下：A=[31.9 27.9 31.8 28.4 35.924.8 25.7 26.8 27.9 26.222.1 23.6 27.3 24.9 25.827.0 30.8 29.0 24.5 28.5];%原始數(shù)據(jù)輸入

B=A';%將矩陣轉(zhuǎn)置,Matlab中要求各列為不同水平p=anova1(B)運(yùn)行后得到一表一圖，表是方差分析表（重要）；圖是各列數(shù)據(jù)的盒子圖，離盒子圖中心線較遠(yuǎn)的對(duì)應(yīng)于較大的F值，較小的概率p.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)Source方差來源SS平方和df自由度MS均方差F統(tǒng)計(jì)量P值Columns(因素A組間)SSAr-1SS/(r-1)7.140.0029Error誤差（組內(nèi)）SSEn-rSS/(n-r)Total總和SSTn-1表中所列出的各項(xiàng)意義如下：因?yàn)閜=0.0029<0.01，故不同飼料對(duì)魚的增重效果極為顯著.如果沒有給出概率。

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)四種不同飼料對(duì)魚的增重效果極為顯著，那么哪一種最好呢？請(qǐng)看下圖此時(shí)，第一個(gè)圖對(duì)應(yīng)第一種飼料且離盒子圖中心線較遠(yuǎn)，效果最突出。如果從原始數(shù)據(jù)中去掉第一種飼料的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到的結(jié)果為各種飼料之間對(duì)魚的增重效果不顯著.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)p=anova1(B(:,2:4))

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例.為比較同一類型的三種不同食譜的營(yíng)養(yǎng)效果，將19支幼鼠隨機(jī)分為三組，各采用三種食譜喂養(yǎng).12周后測(cè)得體重，三種食譜營(yíng)養(yǎng)效果是否有顯著差異？食譜體重增加量甲164190203205206214228257乙185197201231丙187212215220248265281解：這是單因素非均衡數(shù)據(jù)的方差分析A=[164190203205206214228257185197201231187212215220248265281];group=[ones(1,8),2*ones(1,4),3*ones(1,7)];p=anova1(A,group)

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)方差分析表:均值盒子圖由于概率p=0.1863比較大，故認(rèn)為三種食料沒有顯著差異.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)(3)多重比較的MATLAB實(shí)現(xiàn)為了便于解決實(shí)際問題，我們給出多重比較的MATLAB命令。c=multcompare(s)其中輸入s，由[p,c,s]=anova1(B);得到輸出C共有6列，每一行給出均值差的置信區(qū)間

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)例.四個(gè)實(shí)驗(yàn)室試制同一型號(hào)紙張，為了比較光滑度每個(gè)實(shí)驗(yàn)室測(cè)量了8張紙，進(jìn)行方差分析

實(shí)驗(yàn)室紙張光滑度A138.741.543.844.545.54647.758A2

39.239.339.741.441.842.943.345.8A33435394043434445A43434.834.835.437.237.841.242.8解：A=[38.7,41.5,43.8,44.5,45.5,46,47.7,5839.2,39.3,39.7,41.4,41.8,42.9,43.3,45.834,35,39,40,43,43,44,4534,34.8,34.8,35.4,37.2,37.8,41.2,42.8];%輸入數(shù)據(jù)B=A’;%MATLAB只對(duì)各列進(jìn)行分析[p,c,s]=anova1(b);%方差分析c=multcompare(s)%多重比較

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)從方差分析表可知：四個(gè)實(shí)驗(yàn)室生產(chǎn)有差異，那么如何比較？軟件輸出c如下所示：1,2列表示比較的實(shí)驗(yàn)室號(hào)碼，3，5列分別為置信區(qū)間左右端點(diǎn)

，第4列是均值差的統(tǒng)計(jì)量觀測(cè)值.

1.00002.0000-1.47534.03759.55031.00003.0000-0.17535.337510.85031.00004.00002.94978.462513.97532.00003.0000-4.21281.30006.81282.00004.0000-1.08784.42509.93783.00004.0000-2.38783.12508.6378若置信區(qū)間包含原點(diǎn)則無顯著差異，可見只有1,4實(shí)驗(yàn)室有顯著差異.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)另外，軟件輸出一幅圖形，告知1，4有顯著差異.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)§2雙因子方差分析§2.1數(shù)學(xué)模型

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2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)§2.2無交互影響的雙因子方差分析

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SE表示試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差,稱為誤差平方和;SA除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外,還反映了因子A的效應(yīng)間的差異,稱為因子A的偏差平方和;SB除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外,還反映了因子B的效應(yīng)間的差異,稱為因子B的偏差平方和.

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2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)具體計(jì)算時(shí)可用計(jì)算表和方差分析表:

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一般,當(dāng)F>F0.99時(shí),稱因子的影響高度顯著,記為“**”;當(dāng)F0.99>F≥F0.95時(shí),稱因子的影響顯著,記為“*”;當(dāng)F＜F0.95時(shí),稱因子無顯著影響,即認(rèn)為因子各水平間無差異.

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例:為了考察蒸餾水的pH值和硫酸銅溶液濃度對(duì)化驗(yàn)血清中白蛋白與球蛋白的影響,對(duì)蒸餾水的pH值(A)取了4個(gè)不同水平,對(duì)硫酸銅溶液濃度(B)取了3個(gè)不同水平,在不同水平組合(Ai,Bj)下各測(cè)一次白蛋白與球蛋白之比,其結(jié)果列于計(jì)算表的左上角.試檢驗(yàn)兩因子對(duì)化驗(yàn)結(jié)果有無顯著差異.解

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2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)查F-分布表得:F0.95(3,6)=4.76,F0.95(2,6)=5.14,F0.99(3,6)=9.78,F0.99(2,6)=10.9,由此可知FA>F0.99(3,6);FB>F0.99(2,6).所以因子A及因子B的不同水平對(duì)化驗(yàn)結(jié)果有高度顯著影響.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)§2.3有交互作用的雙因子方差分析

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2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)

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2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)其中n=rst仍然用平方和分解的思想來給出檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量，先引入下述記號(hào)：

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)由此可知

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)總的偏差平方和可作如下的分解:

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)其中各偏差平方和表達(dá)式如下:

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)

各偏差平方和的意義:

SE表示試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差,稱為誤差平方和;SA除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外,還反映了因子A的效應(yīng)間的差異,稱為因子A的偏差平方和;SB除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外,還反映了因子B的效應(yīng)間的差異,稱為因子B的偏差平方和;SA×B除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外,還反映了交互效應(yīng)的差異所引起的波動(dòng),稱為交互作用的偏差平方和.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)同無交互作用的情況類似可得:

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及顯著性檢驗(yàn):

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)這就是用來檢驗(yàn)假設(shè)H01,H02,H03,的統(tǒng)計(jì)量.按照顯著性假設(shè)檢驗(yàn)程序,對(duì)給定的顯著性水平α,

當(dāng)FA>F1-α(r-1,rs(t-1))時(shí)拒絕H01;

當(dāng)FB>F1-α(s-1,rs(t-1))時(shí)拒絕H02;

當(dāng)

FA×B>F1-α((r-1)(s-1),rs(t-1))時(shí)拒絕H03.具體的計(jì)算過程,各偏差平方和的計(jì)算也可用下面簡(jiǎn)化的表達(dá)式,且可列成一張計(jì)算表和方差分析表.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)

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一般,當(dāng)F>F0.99時(shí),稱因子的影響高度顯著,記為“**”;當(dāng)F0.99>F≥F0.95時(shí),稱因子的影響顯著,記為“*”;當(dāng)F＜F0.95時(shí),稱因子無顯著影響,即認(rèn)為因子各水平間無差異.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)

例:在某化工生產(chǎn)中為了提高收率,選了三種不同濃度,四種不同溫度做試驗(yàn).在同一濃度與同一溫度組合下各做二次試驗(yàn),其收率數(shù)據(jù)如下而計(jì)算表所列(數(shù)據(jù)均已減去75).試檢驗(yàn)不同濃度,不同溫度以及它們間的交互作用對(duì)收率有無顯著影響.解:

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)查表知F0.95(2,12)=3.89,F0.99(2,12)=6.93;F0.95(3,12)=3.49,F0.99(3,12)=5.95;F0.95(6,12)=3.00,F0.99(6,12)=4.81.由此知F0.95<FA<F0.99,而FB<F0.95,FA×B<F0.95.故濃度不同將對(duì)收率產(chǎn)生顯著影響;而溫度和交互作用的影響都不顯著.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)2.4.雙因素的方差分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)在Matlab中雙因素的方差分析命令如下：雙因素方差分析:anova2調(diào)用格式:(1)p=anova2(X)(2)p=anova2(X,reps)(3)p=anova2(X,reps,displayopt)(4)[p,table]=anova1(...)(5)[p,table,stats]=anova1(...)

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)在Matlab中雙因素有交互作用的方差分析命令如下：[p,t,s]=anova2(X,resp)其中輸入X是一個(gè)矩陣；resp表示試驗(yàn)的重復(fù)次數(shù)輸出的p值有三個(gè)，分別為各行、各列以及交互作用的概率.若p<0.05,有顯著差異若p<0.01,有高度顯著差異t是方差分析表，s用于各因素均值估計(jì)與比較.

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)81雙因素方差分析:anova2

調(diào)用格式:(1)p=anova2(X)(2)p=anova2(X,reps)(3)p=anova2(X,reps,displayopt)(4)[p,table]=anova1(...)(5)[p,table,stats]=anova1(...)>>X=[5.54.53.55.54.54.06.04.03.06.55.04.07.05.55.07.05.04.5];>>p=anova2(X,3)p=0.00000.00010.7462

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)Friday,February3,2023MATLAB和R軟件82例

一火箭使用了4種燃料，3種推進(jìn)器作射程試驗(yàn)，每種燃料與每種推進(jìn)器的組合各發(fā)射火箭2次，得到結(jié)果如下：B1B2B3A158.2,52.656.2,41.265.3,60.8A249.1,42.854.1,50.551.6,48.4A360.1,58.370.9,73.239.2,40.7A475.8,71.558.2,51.048.7,41.4試在水平0.05下，檢驗(yàn)不同燃料（因素A）、不同推進(jìn)器（因素B）下的射程是否有顯著差異？交互作用是否顯著？

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)83解編寫程序如下：clc,clearx0=[58.2,52.656.2,41.265.3,60.849.1,42.854.1,50.551.6,48.460.1,58.370.9,73.239.2,40.775.8,71.558.2,51.048.7,41.4];x1=x0(:,1:2:5);x2=x0(:,2:2:6);fori=1:4x(2*i-1,:)=x1(i,:);x(2*i,:)=x2(i,:);endp=anova2(x,2)求得p=0.00350.02600.001，表明各試驗(yàn)均值相等的概率都為小概率，故可拒絕均值相等假設(shè)。即認(rèn)為不同燃料（因素A）、不同推進(jìn)器（因素B）下的射程有顯著差異，交互作用也是顯著的。

2012年中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)例某高校為了解數(shù)學(xué)與計(jì)算