機電控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

機電系統(tǒng)控制基礎機電工程學院機械類專業(yè)技術基礎課2013年5月2教學內(nèi)容第6章系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析和計算第1章緒論第3章系統(tǒng)的時域分析法第2章系統(tǒng)的數(shù)學模型第4章系統(tǒng)的頻域分析法第5章系統(tǒng)穩(wěn)定性分析第8章計算機控制系統(tǒng)第7章系統(tǒng)的設計與校正5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念5.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件5.3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)（Routh判據(jù)和Hurwitz判據(jù)）5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（Nyquist判據(jù)）5.5應用奈奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)穩(wěn)定性5.6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院本章目錄2.閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題1.單擺系統(tǒng)受擾動后能否恢復原來的狀態(tài)?5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念定義：系統(tǒng)在初始狀態(tài)作用下5無輸入時的初態(tài)輸入引起的初態(tài)輸出(響應)收斂(回復平衡位置)發(fā)散(偏離越來越大)系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定結論：系統(tǒng)是否穩(wěn)定，取決于系統(tǒng)自身的結構參數(shù)，與輸入無關反饋削弱偏差，則穩(wěn)定反饋加強偏差，則不穩(wěn)定穩(wěn)定性是指自由響應的收斂性若系統(tǒng)存在反饋5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念5.2系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件N(s)到Xo(s)的傳遞函數(shù)設n(t)為單位脈沖函數(shù)，N(s)=15.2系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件如果系統(tǒng)穩(wěn)定，應有即5.2系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件的根：的根：5.2系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件5.2系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程根的實部控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件是：閉環(huán)特征方程式的根全部具有負實部系統(tǒng)特征根即閉環(huán)極點，故也可以說：極點全部在[s]平面的左半平面5.2系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件如果系統(tǒng)穩(wěn)定，應有即五次及更高次的代數(shù)方程沒有一般得代數(shù)解法（即由方程的系數(shù)經(jīng)有限次四則運算和開方運算求根的方法）——阿貝爾定理5.2系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件5.3勞斯穩(wěn)定性判據(jù)基于方程式的根與系數(shù)的關系設系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為s1,s2,…,sn

為系統(tǒng)的特征根將上式因式乘開，可求得根與系數(shù)的關系5.3勞斯穩(wěn)定性判據(jù)要使全部特征根均具有負實部，必須滿足：（1）特征方程的各項系數(shù)

ai≠0(i=0,1,2,…,n)（2）特征方程的各項系數(shù)的符號都相同ai一般取正值，則上述兩條件簡化為ai>0

——必要條件

5.3勞斯穩(wěn)定性判據(jù)充要條件：如果“勞斯判據(jù)”中第一列所有項均為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定。

勞斯陣列：5.3勞斯穩(wěn)定性判據(jù)其中：勞斯判據(jù)還說明，實部為正的特征根數(shù)，等于勞斯陣列中第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)。。

5.3勞斯穩(wěn)定性判據(jù)

例5-1設控制系統(tǒng)的特征方程式為：

試應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：首先，由方程系數(shù)均為正可知已滿足穩(wěn)定的必要條件。其次，排勞斯陣列：勞斯陣列第一列中系數(shù)符號全為正，所以控制系統(tǒng)穩(wěn)定。5.3勞斯穩(wěn)定性判據(jù)例題5-1例5-2設控制系統(tǒng)的特征方程式為：試應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由方程系數(shù)均為正可知已滿足穩(wěn)定的必要條件。其次，排勞斯陣列：第一列系數(shù)改變符號2次，閉環(huán)系統(tǒng)的根中有兩個實部為正，控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.3勞斯穩(wěn)定性判據(jù)例題5-2對于特征方程階次低(n≤3)的系統(tǒng)，勞斯判據(jù)可簡化為：二階系統(tǒng)特征式為，勞斯表為故二階系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件是：5.3勞斯穩(wěn)定性判據(jù)三階系統(tǒng)特征式為，勞斯表為：故三階系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件是：5.3勞斯穩(wěn)定性判據(jù)例5-3設某反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為特征方程？5.3勞斯穩(wěn)定性判據(jù)例題5-3特征方程為根據(jù)三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，可知使系統(tǒng)穩(wěn)定需滿足故使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為0<K<65.3勞斯穩(wěn)定性判據(jù)例5-4設控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為：應用勞斯穩(wěn)定判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：勞斯陣列表為第一列系數(shù)改變符號2次，2個正實根。5.3勞斯穩(wěn)定性判據(jù)例題5-4例5-5設控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為：應用勞斯穩(wěn)定判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：勞斯陣列表為無正實根，有虛根。臨界穩(wěn)定5.3勞斯穩(wěn)定性判據(jù)例題5-5例5-6設控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為：應用勞斯穩(wěn)定判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：勞斯陣列表為臨界穩(wěn)定5.3勞斯穩(wěn)定性判據(jù)例題5-6代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)使用的多項式是系統(tǒng)閉環(huán)特征多項式。勞斯判據(jù)與赫爾維茨（Hurwitz）判據(jù)都是利用特征根與系數(shù)關系來判別穩(wěn)定性，具有一致性。勞斯判據(jù)的不足：定性—不能從量上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；對含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)無效；不能對改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性給出提示。5.3勞斯穩(wěn)定性判據(jù)5.4乃（奈）奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（Nyquist）利用開環(huán)系統(tǒng)乃奎斯特圖（極坐標圖）來判斷系統(tǒng)閉環(huán)后的穩(wěn)定性。（幾何判據(jù)）某些環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)無法分析列寫，通過實驗獲得系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線；奈氏判據(jù)可以解決代數(shù)判據(jù)不能解決的問題：如包含延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。能定量指出系統(tǒng)的穩(wěn)定儲備，以及提高動態(tài)性能（包括穩(wěn)定性）的途徑。系統(tǒng)Nyquist圖（極坐標圖）頻率響應

是輸入頻率ω的復變函數(shù)，是一種變換，當

ω從-∞增長至＋∞時，

作為一個矢量，其端點在復平面相對應的軌跡就是頻率響應的極坐標圖，亦稱乃氏圖（乃奎斯特Nyquist曲線）。5.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（Nyquist）Nyquist圖

步驟：寫出|G(jω)|和∠G(jω)表達式；分別求出ω=0和ω→∞時的G(jω

)；求乃氏圖與實軸的交點，交點可利用Im[G(jω)]=0的關系式求出，也可以利用關系式∠G(jω)=n·180°（其中n為整數(shù)）求出；求乃氏圖與虛軸的交點，交點可利用Re[G(jω)]=0的關系式求出，也可以利用關系式∠G(jω)=n·90°（其中n為奇數(shù)）求出；必要時畫出乃氏圖中間幾點；勾畫大致曲線ω=-∞→0，關于實軸對稱5.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（Nyquist）s1=zpk([],[-10-20],8000)nyquist(s1);matlabs1=tf([40],[0.0050.151])nyquist(s1);32其中N1(s)，D1(s)，N2(s)，D2(s)均為s的多項式。5.4Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)閉環(huán)特征方程F(s)與開環(huán)、閉環(huán)的傳遞函數(shù)的零點和極點的關系閉環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)函數(shù)：特征方程：5.4Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)閉環(huán)特征方程F(s)與開環(huán)、閉環(huán)的傳遞函數(shù)的零點和極點的關系5.4Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)傳函GB(s)的全部極點均具有負實部，即，F(xiàn)(s)函數(shù)的全部零點均須具有負實部。即，閉環(huán)特征方程F(s)的特征根全部具有負實部閉環(huán)特征方程F(s)與開環(huán)、閉環(huán)的傳遞函數(shù)零點和極點的關系

由H.Nyquist于1932年提出的穩(wěn)定判據(jù)，在1940年后得到了廣泛應用。利用開環(huán)系統(tǒng)乃奎斯特圖（極坐標圖），來判斷系統(tǒng)閉環(huán)后的穩(wěn)定性，是一種幾何判據(jù)。

Nyquist將與聯(lián)系起來,利用開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,而無需實際求出閉環(huán)極點。5.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（Nyquist）米哈伊洛夫（Михайлов）定理米哈伊洛夫定理是證明乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的一個引理，其表述為：設n次多項式D(s)有p個零點(特征根)位于復平面的右半面，有q個零點(特征根)在原點上，其余n-p-q個零點位于左半面，則當以s=jω代入D(s)并令ω從0連續(xù)增大到∞時，復數(shù)D(jω)的角增量應等于5.4Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)證明(1)設s1為負實根，對于矢量(s-s1),當s=jω變化時5.4Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)（2）設sm為正實根，對于矢量(s-sm),當s=jω

變化時什么是當時頻率響應G(jω)=(jω-s1)的角增量？5.4Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)（3）設s2、s3為具有負實部的共軛復根，

s2=-a+jb(a>0,b>0)

s3=-a-jb

對于矢量(s-s2)和(s-s3),當s=jω變化時5.4Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)（4）設sm+1、sm+2為具有正實部的共軛復根，

sm+1=c+jd(c>0,d>0)

sm+2=c-jd

對于矢量(s-sm+1)和(s-sm+2),當s=jω變化時另外，原點根不引起角變化量。5.4Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)如果n次多項式D(s)有p個根在右半平面，q個在原點，其余(n-p-q)個在s左半面，則（1）如果開環(huán)極點均在s左半平面，則根據(jù)米哈伊洛夫定理如果閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即所有零點也在左半平面，根據(jù)米哈伊洛夫定理，則

5.4Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)設開環(huán)極點均在左半平面，則F(s)的乃氏圖，當ω從-∞到∞變化時，其相對原點的角變化量為零時，系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定。F(s)=1+G(s)H(s)與G(s)H(s)的乃氏圖差向量（-1，j0）ⅠⅡⅢ5.4Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)設開環(huán)極點均在左半平面，則開環(huán)系統(tǒng)G(jω)H(jω)乃氏圖，當ω從-∞到∞變化時，其相對（-1，j0）點的角變化量為零時，系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定。乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)表述一：設開環(huán)極點均在左半平面，則系統(tǒng)開環(huán)乃氏圖，當ω從-∞到∞變化時，不包圍（-1，j0）點時，系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定。（2）如果開環(huán)極點p個在s右半平面，q個在原點，其余(n-p-q)個在s左半面，則根據(jù)米哈伊洛夫定理推論，

這時如果閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即的所有零點也在左半平面，根據(jù)米哈伊洛夫定理推論，5.4Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)設開環(huán)極點均在左半平面，則F(s)的乃氏圖，當ω從-∞到∞變化時，F(xiàn)(s)相對原點的角變化量如下，系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定。5.4Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)設開環(huán)特征多項式在右半平面有p個零點(開環(huán)極點p個)

，沒有原點根，則開環(huán)乃氏圖，當ω從-∞到∞變化時，其相對(-1，j0)點的角變化量為時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)表述二：如果開環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist圖逆時針包圍(－1,j0)點的圈數(shù)（角增量）等于開環(huán)右極點的個數(shù)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定?！]環(huán)穩(wěn)定的充要條件單輸入-單輸出線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為有理分式，分式的分子和分母都是s的實系數(shù)多項式。實系數(shù)多項式可以因式分解為實系數(shù)一次和二次多項式之積，而且實系數(shù)二次多項式也可以分解為兩個復系數(shù)的一次多項式之積。因此傳遞函數(shù)的一般形式：其中，zi、pi分別為系統(tǒng)的零點和極點，是實數(shù)或復數(shù)（共軛）。5.4.1映射定理在s平面上的一點，必定在F(s)平面上對應一點，稱為點映射。同理，存在閉合曲線映射。例題5-75.4.1映射定理例題5-85.4.1映射定理表達了s平面上一條順時針封閉曲線，經(jīng)過關系函數(shù)F(s)，轉(zhuǎn)換到另一個復平面F內(nèi)，即映射，在F平面具有的特征S平面例題5-95.4.1映射定理5.4.1映射定理z為復數(shù)零點若封閉圍線C為順時針方向，包圍一個零點則映射像圍線C′也順時針方向，包圍原點如何確定封閉圍線C？5.4.1映射定理U點：U′點：U-V-W-X-U為順時針方向，包圍2個零點U′-V′-W′-X′-U′為順時針方向，包圍原點2圈如果在s平面只包圍共軛零點中的一個，在F(s)平面映射像圍線是否包圍原點？例題5-105.4.1映射定理S平面F平面思考問題：F(s)圖形是否對稱？圖形關于什么對稱?如何求點A、B、C、D?求與虛軸的交點D：令s平面的點為例題5-115.4.1映射定理U-V-W-X-U為順時針方向，包圍2個右半平面極點U′-V′-W′-X′-U′為逆時針方向，包圍原點2圈X點：X′點：5.4.1映射定理例題5-12映射定理（柯西幅角定理）(相角原理)s平面上不通過F(s)任何零、極點的任意封閉曲線Γs

，包圍s平面上F(s)的z個零點和p個極點。當s以順時針方向沿封閉曲線Γs移動1周時，在F(s)平面映射的封閉曲線ΓF將順時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)n=z

-p圈。若n為正，表示ΓF順時針運動，包圍原點n圈；若n為0，表示ΓF順時針運動，不包圍原點；若n為負，表示ΓF逆時針運動，包圍原點n圈；映射定理的作用？5.4.1映射定理S平面順時針封閉圍線包圍F(s)1個極點,在F(s)平面映射像圍線逆時針包圍原點一圈n=z

–p=0-1=-1S平面順時針封閉圍線包圍F(s)1個極點和3個零點,在平面映射像圍線順時針包圍原點二圈n=z

–p=3-1=25.4.1映射定理5.4.2乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：F(s)的所有零點（特征根）都處于s平面的左半平面。閉環(huán)特征方程應用柯西幅角定理判斷穩(wěn)定性：如果將s平面的閉合曲線取成順時針包圍整個s右半平面的圍線Γs（奈奎斯特圍線），用柯西定理判別Γs是否包圍了F(s)的零點，進而判斷出系統(tǒng)穩(wěn)定性。設F(s)平面右半平面的零點數(shù)為z，F(xiàn)(s)右半平面的極點數(shù)p，s平面的閉合曲線取成乃奎斯特圍線，則滿足關系？5.4.2乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)需要解決的兩個問題如何構造一個能夠包圍整個s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西幅角條件的？如何確定相應的映射F(s)=1+G(s)H(s)對原點的包圍次數(shù)n，并將它和開環(huán)頻率特性G(jω

)H(jω)相聯(lián)系？5.4.2乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)形狀類似“D”，又稱為D曲線假設F(s)在虛軸上無零、極點Ⅰ部分是正虛軸Ⅱ部分半徑無窮大半圓Ⅲ部分是負虛軸ⅠⅡⅢ解決問題15.4.2乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)F(s)平面上映射曲線ΓF生成步驟

s=jω代入F(s)并令ω從0→∞

，得到第Ⅰ部分映射；在F(s)中取，使角度由R→∞

,得到第Ⅱ部分映射；令ω從-∞

→

0，得到第Ⅲ部分映射。得到映射曲線后，即可由柯西定理計算z=n+p，z等于0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。5.4.2乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)當在s平面的順時針封閉曲線取成整個右半平面，則通過F(s)映射到F復平面，是F(s)的極坐標圖？

至今為止，奈氏判據(jù)關注的是基于特征函數(shù)F(s)=1+G(s)H(s)的封閉曲線映射，以及映射圍線ΓF在F(s)平面上包圍原點的周數(shù)。

等價地，亦可將映射函數(shù)定義為多數(shù)情況開環(huán)傳函G(s)H(s)本身即因式乘積，無需在F(s)=1+G(s)H(s)后重新因式分解確定零極點；通過F′(s)=F(s)-1，關注點由映射圍線包圍F(s)平面原點圈數(shù)變?yōu)橛成鋰€包圍F′(s)=G(s)H(s)平面上(-1,0)的圈數(shù)。該種變換的優(yōu)點及結果：解決問題25.4.2乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)F(s)與G(s)H(s)的關系圖。ⅠⅡⅢ5.4.2乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)在[s]平面作包圍右半平面的D形曲線，如果開環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist圖逆時針包圍(－1,j0)點的圈數(shù)等于開環(huán)右極點的個數(shù)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定?！湟獥l件5.4.2乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。00.10.761210201001009679.670.750.26.82.240.100-5.7-41-51-74-129-151-173-180的幅值和相角穩(wěn)定例題5-13該乃氏圖隨著頻率的增加，幅值減小的意義？頻率為3.2rad/s的意義？頻率為0.76rad/s，幅值為79.6，相角為-41度的意義？該對數(shù)頻率特性圖在零分貝以下的頻率是多少？開環(huán)系統(tǒng)沒有右極點，p=0乃奎斯特圍線映射沒有包圍(-1，j0)點，n=0閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面無零點，z=p+n=0閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定開環(huán)傳遞函數(shù)，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。s1=zpk([],[-1,-2,-6],20)nyquist(s1);matlab例題5-145.4.2乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)與例題5-16比較開環(huán)傳遞函數(shù)，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。s1=zpk([],[-10-20],8000)nyquist(s1);matlabs1=tf([40],[0.0050.151])nyquist(s1);開環(huán)傳遞函數(shù)也可表示為穩(wěn)定例題5-155.4.2乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。開環(huán)系統(tǒng)沒有右極點，p=0乃奎斯特圍線映射順時針包圍(-1，j0)

點2圈，n=2閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面有2個不穩(wěn)定的根（2個不穩(wěn)定的零點）z=p+n=2閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，(z=2)例題5-165.4.2乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)與例題5-14比較一個閉環(huán)控制系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)如下，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。開環(huán)系統(tǒng)有1個右極點，p=1乃奎斯特圍線映射逆時針包圍(-1，j0)

點1圈，n=-1閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面無不穩(wěn)定的根z=p+n=0閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，(z=0)例題5-175.4.2乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)一個閉環(huán)控制系統(tǒng)如下圖，判斷放大倍數(shù)K在什么范圍內(nèi)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。沒有右極點沒有包圍(-1，j0)點只要K>0，穩(wěn)定例題5-185.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，結合其特點，說明系統(tǒng)是否穩(wěn)定？寫出系統(tǒng)開環(huán)的頻率特性，并作全乃氏圖。一個閉環(huán)控制系統(tǒng)如下圖，判斷放大倍數(shù)K在什么范圍內(nèi)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。1個右極點要K<1，不穩(wěn)定要K>1，穩(wěn)定例題5-195.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，結合其特點，說明系統(tǒng)是否穩(wěn)定？寫出系統(tǒng)開環(huán)的頻率特性，并作全乃氏圖。如果開環(huán)傳遞函數(shù)在[s]虛軸上有極點或零點，修改D曲線[s]5.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。例題5-205.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定5.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)5.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)例題5-20K=1s1=tf([1],[210])nyquist(s1);K=20開環(huán)傳遞函數(shù)如下，判斷閉環(huán)穩(wěn)定時k的取值范圍。例題5-215.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)5.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)5.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)5.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)例題5-22開環(huán)傳遞函數(shù)如下，判斷其閉環(huán)穩(wěn)定性。5.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)開環(huán)系統(tǒng)沒有右極點，p=0乃奎斯特圍線映射順時針包圍(-1，j0)

點2圈，n=2閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面有2個不穩(wěn)定的根（2個不穩(wěn)定的零點）z=p+n=2閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，(z=2)5.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)例題5-22K=1，T=1s1=zpk([],[00-1],1)nyquist(s1);K=20，T=1s1=zpk([],[00-1],20)nyquist(s1);5.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)例題5-23開環(huán)傳遞函數(shù)如下，判斷其閉環(huán)穩(wěn)定性。K=105.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)開環(huán)沒有右極點，乃氏圖不包圍(-1,j0)，穩(wěn)定從原點右邊繞，開環(huán)右極點個數(shù)為0；

乃氏圖順時針包圍(-1,j0)2圈，不穩(wěn)定K=405.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)開環(huán)右極點有1個（p=1），乃氏圖逆時針包圍(-1,j0)1圈(n=-1)穩(wěn)定(z=p+n=0)5.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)從左邊繞5.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)例題5-24開環(huán)傳遞函數(shù)如下，判斷其閉環(huán)穩(wěn)定性。5.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)開環(huán)右極點有1個（p=1），乃氏圖順時針包圍(-1,j0)1圈(n=1)不穩(wěn)定(z=p+n=2)帶延時環(huán)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析開環(huán)傳遞函數(shù)幅頻特性相頻特性都有影響5.5乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)穩(wěn)定性在上述系統(tǒng)中，若，則奈氏圖為隨著τ的增大，當達到包圍(-1,j0)程度

，系統(tǒng)會變得不穩(wěn)定。例題5-255.5乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)穩(wěn)定性開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程改寫為研究

是否包圍

進而判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.5乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)穩(wěn)定性下圖示為機床（如銑床、鏜床）的長懸臂梁式主軸的工作情況，由于主軸剛度低，常易產(chǎn)生振動，下面分析其動態(tài)特性。P(t)—切削力Y(t)—主軸前端因切削力產(chǎn)生變形

D—主軸系統(tǒng)的當量黏性系數(shù)

km—主軸系統(tǒng)的當量剛度5.5乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)穩(wěn)定性例題5-261.機床主軸系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。主軸端部的運動微分方程為其傳遞函數(shù)為5.5乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)穩(wěn)定性2.切削過程的傳遞函數(shù)。名義進給量為u0(t)，因主軸的變形，實際進給量為u(t)若主軸轉(zhuǎn)速為n，刀具為單齒，刀具每轉(zhuǎn)1周需要時間

1周中切削的實際厚度為5.5乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)穩(wěn)定性令

kc為切削阻力系數(shù)（它表示切削力與切削厚度之比）則對此式作拉氏變換后得5.5乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征根方程5.5乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)穩(wěn)定性令如此，將奈氏判據(jù)中開環(huán)頻率特性奈氏圖是否包圍(-1,j0)點的問題歸結為：Gm(jω)

的奈式圖是否包圍Gc(jω)的極坐標軌跡的問題。即5.5乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)穩(wěn)定性分別做出Gm(jω)

和Gc(jω)的極坐標軌跡。5.5乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)穩(wěn)定性5.5乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)穩(wěn)定性1.若Gm(jω)

不包圍Gc(jω)，即Gm(jω)

與Gc(jω)不相交，如曲線①，則系統(tǒng)絕對穩(wěn)定。因此系統(tǒng)絕對穩(wěn)定條件是Gm(jω)

中最小負實數(shù)的絕對值小于Km/2kc。無論是提高主軸的剛度Km，還是減少切削阻力系數(shù)kc

，都可以提高穩(wěn)定性。但對提高穩(wěn)定性最有利的是增加阻尼。5.5乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)穩(wěn)定性2.若Gm(jω)

包圍Gc(jω)一部分，即Gm(jω)

與Gc(jω)相交，如曲線③，則系統(tǒng)可能不穩(wěn)定，但在一定條件下也可穩(wěn)定。如果在工作頻率ω下，保證ω避開ωA~ωB

的范圍，也就是適當選擇

τ可以使系統(tǒng)穩(wěn)定。所以，在此條件下系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：選擇適當?shù)闹鬏S轉(zhuǎn)速

n（在單刀銑刀時，

τ=1/n），使Gm(jω)不包圍Gc(jω)上的點。5.5乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)穩(wěn)定性乃氏圖與單位圓的交點頻率?ωc剪切頻率或幅值穿越頻率5.6利用Bode圖進行穩(wěn)定性判定乃氏圖與Bode圖的對應關系單位圓?伯德圖幅頻0dB線單位圓外?伯德圖幅頻0dB線以上單位圓外?伯德圖幅頻0dB線以下負實軸?伯德圖相頻-180度線乃氏圖與負實軸的交點頻率?ωg相位穿越頻率。曲線1穩(wěn)定，曲線2不穩(wěn)定。系統(tǒng)開環(huán)特征方程均為左根p=0(最小相位系統(tǒng))(開環(huán)極點均在左半平面)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件?不包圍(-1,j0)，曲線1穩(wěn)定，曲線2不穩(wěn)定。5.6利用Bode圖進行穩(wěn)定性判定如果開環(huán)特征多項式?jīng)]有右半平面的根

p=0(最小相位系統(tǒng))，且在

的所有角頻率范圍內(nèi)，相角范圍都大于

線，那么閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。5.6利用Bode圖進行穩(wěn)定性判定正相位裕量正幅值裕量正相位裕量正幅值裕量5.6利用Bode圖進行穩(wěn)定性判定負相位裕量負幅值裕量負相位裕量負幅值裕量5.6利用Bode圖進行穩(wěn)定性判定什么是臨界穩(wěn)定？例題5-275.6利用Bode圖進行穩(wěn)定性判定系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：s1=zpk([],[0-1-5],5)margin(s1)s1=tf([1],[0.21.210])margin(s1)比較例題5-28，5-295.6利用Bode圖進行穩(wěn)定性判定例題5-28系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：s1=zpk([],[0-1-5],10)margin(s1)5.6利用Bode圖進行穩(wěn)定性判定例題5-29系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：s1=zpk([],[0-1-5],100)margin(s1)5.6利用Bode圖進行穩(wěn)定性判定例題5-30系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下，試判斷使系統(tǒng)穩(wěn)定的k的范圍解：注意：最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定性判定的特殊性5.6利用Bode圖進行穩(wěn)定性判定a:負穿越在a點，相頻特性由上而下穿過橫軸，這稱為負穿越；在b點，相頻特性由下而上穿過橫軸，這稱為正穿越?？梢钥闯?，對數(shù)相頻特性正穿越一次，就相當于Nyquist軌跡由上而下穿過負實軸一次，此時相位減小(這里指絕對值減小)(二象限到三象限)；反之，對數(shù)相頻特性負穿越一次，就相當于Nyquist軌跡由下而上穿過負實軸一次，此時相位增大(三象限到二象限)。5.6利用Bode圖進行穩(wěn)定性判定5.6利用Bode圖進行穩(wěn)定性判定若開環(huán)右特征根為p時的情況，對數(shù)判據(jù)則可全面地敘述如下：在Bode圖上，當由0變到時，開環(huán)對數(shù)相頻特性在0到的頻率范圍(即開環(huán)對數(shù)幅頻特性不為負值的范圍)內(nèi)，正穿越和負穿越-180°軸線的次數(shù)之差為p/2時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。5.6利用Bode圖進行穩(wěn)定性判定圖(a)中，p=0，即開環(huán)無右特征根，在

的范圍內(nèi)，正、負穿越之差為0，可見系統(tǒng)閉環(huán)后是穩(wěn)定的。圖(b)中，p=1，已知開環(huán)傳遞函數(shù)中有一個右半平面極點，即

在

的頻率范圍內(nèi)，只有半次正穿越，可見系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖(c)中，p=2，而在

的范圍內(nèi)，正、負穿越之差為-1，系統(tǒng)閉環(huán)后是不穩(wěn)定的。圖(d)中，p=2，而在

的范圍內(nèi)，正、負穿越之差為1，故系統(tǒng)閉環(huán)后是穩(wěn)定的。1135.6利用Bode圖進行穩(wěn)定性判定從Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可推知：若p=0的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且當Nyquist軌跡離點（-1,j0）越遠，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越高；開環(huán)Nyquist軌跡離點（-1,j0）越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越低。這便是通常所說的系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，它通過對點（-1,j0）的靠近程度來表征，其定量表示為相位裕量和幅值裕量Kg，如圖所示。5.7控制系統(tǒng)相對穩(wěn)定性相角裕量在為剪切頻率（）時，相頻特性∠GH距-180°線的相位差值稱為相角裕量。圖所示的系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且有相當?shù)姆€(wěn)定性儲備，它可以在的頻率下，允許相位再增加才達到的臨界穩(wěn)定條件，因此，相角裕量有時又叫做相位穩(wěn)定性儲備。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，必在Bode圖橫軸以上，這時稱為正相位裕量，即有正的穩(wěn)定性儲備；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，必在Bode圖橫軸之下，這時稱為負相角裕量，即有負的穩(wěn)定性儲備。5.7控制系統(tǒng)相對穩(wěn)定性相應地，在極坐標圖中，如圖所示，即為Nyquist軌跡與單位圓的交點A對負實軸的相位差值，它表示在幅值比為1的頻率時，其中的相位一般為負值。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，必在極坐標圖負實軸以下；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，必在極坐標圖負實軸以上。5.7控制系統(tǒng)相對穩(wěn)定性幅值裕量

當為相角穿越頻率(

)時，開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)，稱為系統(tǒng)的幅值裕量，即：

在Bode圖上，幅值裕量改以分貝表示為：此時，對于穩(wěn)定系統(tǒng)，Kg(dB)必在0分貝線以下，Kg(dB)＞0，此時稱為正幅值裕量；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，Kg(dB)必在0分貝線以上，Kg(dB)＜0，此時稱為負幅值裕量。5.7控制系統(tǒng)相對穩(wěn)定性

上述表明，對數(shù)幅頻特性還可以上移Kg(dB)分貝，才使系統(tǒng)滿足的臨界穩(wěn)定條件，亦滿足即只有增加系統(tǒng)的開環(huán)增益Kg倍，才剛剛臨界穩(wěn)定條件。因此幅值裕量有時又稱為增益裕量。在極坐標圖上，由于：

所以，Nyquist軌跡與負實軸的交點至原點的距離為1/Kg，它代表在頻率下開環(huán)頻率特性的模。顯然，對于穩(wěn)定系統(tǒng)，1/Kg＜1；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，1/Kg＞1，如圖所示。5.7控制系統(tǒng)相對穩(wěn)定性因此，對于開環(huán)為p=0的系統(tǒng)來說，具有正幅值裕量與正相位裕量時，其閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；具有負幅值裕量及負相位裕量時，其閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由上可見，利用Nyquist圖或Bode圖所計算出的，Kg相同。從工程控制實踐中可知，為使上述系統(tǒng)有滿意的穩(wěn)定性儲備，一般希望：

Kg(dB)＞6dB，即Kg＞2。應當著重指出，為了確定上述系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，必須同時考慮相位裕量和幅值裕量兩個指標，只應用其中一個指標，不足以說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。5.7控制系統(tǒng)相對穩(wěn)定性

設某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

，試分析當阻尼比

很小時

，該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1205.7控制系統(tǒng)相對穩(wěn)定性例題5-29當

很小時，此系統(tǒng)的

將具有如圖5?32的形狀，其相角裕量

雖較大，但幅值裕量卻太小。這是由于在

很小時，二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性峰值很高所致1215.7控制系統(tǒng)相對穩(wěn)定性由于在最小相位系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性與開環(huán)相頻特性之間具有一定的對應關系，相位裕量

表明開環(huán)對數(shù)幅頻特性在剪切頻率

上的斜率應大于?40dB/dec。因此，為保證有合適的相角裕量，一般希望這一段上的斜率（也叫剪切率）等于?20dB/dec。如果剪切率等于?40dB/dec，則閉環(huán)系統(tǒng)可能穩(wěn)定，也可能不穩(wěn)定，即使穩(wěn)定，其相對穩(wěn)定性也將是很差的。如果剪切率為?60dB/dec或更陡，則系統(tǒng)一般是不穩(wěn)定的。由此可知，對于最小相位系統(tǒng)一般只要討論系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性就可以判別其穩(wěn)定性。1225.7控制系統(tǒng)相對穩(wěn)定性第五章作業(yè)第六章機電控制系統(tǒng)誤差

分析與計算6.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念6.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差6.3干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差6.4減小穩(wěn)態(tài)誤差的途徑6.5動態(tài)誤差系數(shù)本章目錄6.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念當有誤差：希望輸出和實際輸出之差6.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念6.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差偏差傳遞函數(shù)由于若H是常值偏差誤差

求當時的穩(wěn)態(tài)誤差

。解：誤差傳遞函數(shù)又有ess=0的物理意義？6.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差例題6-1

求當時的穩(wěn)態(tài)誤差

。6.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差開環(huán)傳遞函數(shù)——“0型系統(tǒng)”——“Ⅰ型系統(tǒng)”——“Ⅱ型系統(tǒng)”6.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差(一)單位階躍輸入，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為定義靜態(tài)位置誤差為：用Kp表示單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)偏差，則6.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差對0型系統(tǒng)對于Ⅰ型或高于Ⅰ型的系統(tǒng)：對于0型系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù)，應是系統(tǒng)的開環(huán)靜態(tài)放大倍數(shù)K6.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差綜上，對于單位階躍輸入，穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差——“0型系統(tǒng)”——“對于Ⅰ型系統(tǒng)

或高于Ⅰ型系統(tǒng)”6.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差(二)單位斜坡輸入，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為對0型系統(tǒng)對Ⅰ型系統(tǒng)對Ⅱ型系統(tǒng)6.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差靜態(tài)速度誤差系數(shù)對0型系統(tǒng)對Ⅰ型系統(tǒng)對Ⅱ型系統(tǒng)6.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差(三)單位加速度輸入，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為對0型系統(tǒng)對Ⅰ型系統(tǒng)對Ⅱ型系統(tǒng)6.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差靜態(tài)加速度誤差系數(shù)對0型系統(tǒng)對Ⅰ型系統(tǒng)對Ⅱ型系統(tǒng)6.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差位置誤差、速度誤差、加速度誤差分別指輸入是階躍、斜坡、勻加速度輸入時所引起的