第五章：效用極大化理論

1.借助無差異曲線和預(yù)算線推導(dǎo)出效用極大化條件。2.根據(jù)拉格朗日函數(shù)推導(dǎo)出效用極大化的必要條件。3.推導(dǎo)出不同商品的價格消費曲線和需求曲線。4.推導(dǎo)出不同商品的收入消費曲線和恩格爾曲線。5.理解總效應(yīng)、收入效應(yīng)和替代效應(yīng)。6.理解一些違反偏好假設(shè)的無差異曲線及其效用極大化解。7.了解跨期的最佳選擇。本章要點學(xué)完本章，你將能夠

5效用極大化理論1/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8消費者行為的基本假設(shè)消費者行為的基本假設(shè)就是在價格和收入的約束條件下，消費者如何根據(jù)自己的偏好求解出效用極大化的最佳消費組合。我是快樂而歌唱，還是歌唱而快樂？這個問題不重要，重要的是我能得到效用。2/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8效用極大化目標(biāo)消費者的行為選擇問題可以表述為:在給定商品價格p1和p2和收入M

的約束條件下,消費者如何根據(jù)自己的偏好(效用函數(shù))選擇一組最佳的消費組合,從而實現(xiàn)效用極大化。效用極大化理論亦稱消費者選擇理論,它是消費者理論的中心問題。3/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8效用極大化:圖示法給定一條預(yù)算線AB，給定三條凸向原點的無差異曲線I1,I2和I3

。唯有E點，該消費者實現(xiàn)了最大的效用水平。此時預(yù)算線和無差異曲線的斜率相等，并滿足：MU1/p1

﹦MU2/p2▇(x1*

,x2*)有時也被稱為“最佳消費組合”、“效用極大化組合”、“最佳購買組合”、“消費者均衡點”。4/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8消費者均衡條件命題消費者均衡條件命題1:當(dāng)無差異曲線與預(yù)算曲線相切時，該消費者實現(xiàn)了效用極大化。消費者均衡條件命題2:

當(dāng)無差異曲線的斜率與預(yù)算線的斜率相等時，該消費者實現(xiàn)了效用極大化。消費者均衡條件命題3:

當(dāng)價格比率等于邊際效用比率時，實現(xiàn)了效用極大化。5/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8?王秋石著熊毅改編2014-2-86/77消費者均衡條件命題消費者均衡條件命題：實現(xiàn)了效用極大化的條件為：MU1/p1=

MU2/p2

或p1/p2=

MU1/MU2（相對價格=價值比例）p1x1+p2x2=M上式稱為等邊際原理（每元的邊際效用相等）。經(jīng)濟含義:只有當(dāng)最后一個貨幣單位的支出滿足上式時，消費者才有可能實現(xiàn)效用極大化。另外，無差異曲線凸向原點基于消費多樣性的經(jīng)驗，如果是凹的會如何？商品分類一般商品：滿足需求法則的商品。吉芬商品：滿足價格下降，需求量反而減少；收入上升，需求量下降的商品。正常商品：收入增加，其需求量亦增加的商品。收入中性商品：收入增加而需求量不變的商品。低劣商品(簡稱劣品)：收入增加而需求量反而減少。一般正常商品:同時為一般商品,又為正常商品的商品。7/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8價格消費曲線和需求曲線價格消費曲線是僅在某一商品價格發(fā)生變化，而收入及其他商品的價格不變的情況下所有消費者均衡點的軌跡。價格消費曲線分成以下兩種：一般商品的價格消費曲線吉芬商品的價格消費曲線同時，我們可以從價格消費曲線中推導(dǎo)出需求曲線。絕大多數(shù)產(chǎn)品，如電子產(chǎn)品，都是一般正常商品。8/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8?王秋石著熊毅改編2014-2-89/77一般商品的價格消費曲線和需求曲線首先假定x1

為一般商品，x2

為一般正常商品。再假定x1

的價格從p01下降到p11，且p2

和M均保持不變。這樣，預(yù)算線從AB

變化到AC，均衡點從E0

變化到E1

。PCC

便是E0

與E1

的連線。例：圣誕節(jié)禮物一般商品的價格消費曲線和需求曲線在圖(b)中，E’0對應(yīng)著圖(a)中的E0

點，它隱含著在p01價格上x1

的最佳消費量x*1

。▇同理,

E’1

隱含著在p11價格上另一個最佳消費量。將E’0

和E’1

連接起來便得到了一條該消費者對x1

的需求曲線D。▇PCC是一條斜率為正的曲線，需求曲線D為一條斜率為負的曲線。10/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8吉芬商品的價格消費曲線現(xiàn)假定x1

為吉芬商品，x2

為正常商品。假定x1

的價格從p01下降到p11，而p2以及M

均保持不變。p1

下降，預(yù)算線從AB

變成AC，原最佳消費組合為E0，新均衡點為E1。

▇連接E0、E1

兩點便可得到一條斜率為負的PCC。11/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8?王秋石著熊毅改編2014-2-812/77吉芬商品的價格消費曲線和需求曲線為正的需求曲線。同理,在圖(b)中將最佳消費束描點,便可得到一條斜率?2011WangQiushi對于不少人而言，這種商品屬于吉芬商品。收入消費曲線和恩格爾曲線收入消費曲線就是僅當(dāng)收入水平發(fā)生變化,相對價格不變情況下消費者均衡點的軌跡。收入消費曲線有以下三種：1.正常商品的收入消費曲線和恩格爾曲線2.劣品的收入消費曲線和恩格爾曲線3.收入中性品的收入消費曲線和恩格爾曲線13/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8正常商品的收入消費曲線x1

和x2

均為正常商品，p1和p2

不變，收入從M1

分別增加到M2

和M3

，預(yù)算線向右平移。由于x1和x2為正常商品，收入增加，x1和x2的消費量勢必增加。▇因此，E2

和E3

勢必位于E1

右上方。連接所有消費者均衡點E1

、E2和E3

便得到了一條斜率為正的收入消費曲線ICC。14/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8正常商品的收入消費曲線恩格爾曲線與收入消費曲線有著極其密切的關(guān)系。恩格爾曲線描述了商品需求量如何受收入變化的影響。▇將E1、E2和E3個點所隱含的收入和消費量的關(guān)系分別在圖b上表現(xiàn)出來，得到E’1、E’2和E’3▇當(dāng)x1和x2為正常品時,其收入消費曲線ICC(亦稱收入擴展線)和恩格爾曲線(EC)的斜率均為正。15/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8

恩格爾法則和恩格爾系數(shù)

恩格爾曲線是以19世紀德國統(tǒng)計學(xué)家C·恩格爾(Engel)的名字命名的,他開拓性地研究了收入和家庭支出之間的關(guān)系。在1857年,他宣稱-—后來被稱作為“恩格爾法則”—-收入愈多的家庭,其食物支出占總收入比重愈低。這一比重被定義為“恩格爾系數(shù)”。這一法則不僅適用于家庭,而且還適用于整個經(jīng)濟。16/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8劣品的收入消費曲線現(xiàn)假定x2

為正常商品,x1

在收入0至M1

之間為正常商品,在收入高于M1

之后則為低劣商品(簡稱劣品)。最初的均衡點為E0

點?，F(xiàn)假定收入從M0

上升到M1,由于x1

和x2

均為正常商品,所以新的均衡點E1

在E0點右上方,表明x1

和x2

的消費量均在增加。17/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8?王秋石著熊毅改編2014-2-818/77劣品的收入消費曲線從M1

上升到M2

，x1

開始變成了劣品，新的均衡點E2點必須在E1點的左上方，表明x1

的消費量由于收入增加而在減少，但x2是正常商品，消費量增加。連接E0

、E1

和E2

便得到了一條收入消費曲線ICC。它的斜率開始為正，然后轉(zhuǎn)向為負劣品的收入消費曲線和恩格爾曲線將E1、E2和E3個點所隱含的收入和消費量的關(guān)系分別在圖b上表現(xiàn)出來，得到E’1、E’2和E’3。▇連接E’1、E’2和E’3便得到了一條恩格爾曲線EC。▇在正常商品時，它的斜率為正；在低劣商品時，其斜率轉(zhuǎn)向為負。1119/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8?王秋石著熊毅改編2014-2-820/77劣品的收入消費曲線和恩格爾曲線收入上升，你會更多的購買這些嗎？收入中性品的收入消費曲線和恩格爾曲線如果x1為一收入中性品,x2為一正常品,其ICC和EC均為垂直于x1的直線,表明x1與收入變化無關(guān)。請讀者自行畫圖理解。21/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8總效應(yīng)分解總效應(yīng)(TE)：由價格變化所產(chǎn)生的需求量的變化量，它可分為收入效應(yīng)和替代效應(yīng)。收人效應(yīng)(IE)：某種商品價格變化之后使得實際收入發(fā)生變化所引起的需求量的變化量，它是總效應(yīng)的一個部分。替代效應(yīng)(SE)：某種商品的價格變化后使得兩種商品的相對價格比發(fā)生變化所引起的需求量的變化量，它是總效應(yīng)的一個部分?？傂?yīng)等于收入效應(yīng)和替代效應(yīng)之和，即：

TE=IE+SE22/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8總效應(yīng)分解我們按以下三種情形分解總效應(yīng)：正常品的效應(yīng)分析；劣品的效應(yīng)分析；吉芬品的效應(yīng)分析。收入上升,你會購買更多的香奈兒香水嗎?23/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8正常品的效應(yīng)分析▇當(dāng)x1的價格從p0下降至p1時，預(yù)算線從AB變?yōu)锳C，連接E0

、E1可以得到PCC，其水平距離度量了總效應(yīng)(TE)。24/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8正常品的效應(yīng)分析▇做一條虛擬的預(yù)算線CH，與AC平行且相切I0線與E2點，連接E2E1

便得到了的ICC,其水平距離度量了收入效應(yīng)IE,E0E2

的水平距離則為替代效應(yīng)SE.25/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8?王秋石著熊毅改編2014-2-826/77正常品的效應(yīng)分析希克斯的收入補償變量：當(dāng)x1價格下降時,需要減少(或稱“補償”)消費者多少貨幣收入才能使之在新的價格比率下,保證他的原效用水平I0不變呢?“補償”是指,當(dāng)價格上升時,實際收入減少,應(yīng)增加多少收入才能使消費者保持原有效用水平不變；當(dāng)價格下降時，實際收入增加，應(yīng)剔除多少收入才能使消費者的原有效用水平保持不變。正常品的總效應(yīng)、收入效應(yīng)和替代效應(yīng)與其價格變動方向相反。但TE、IE和SE三者是同向變化的。低劣商品的效應(yīng)分析▇當(dāng)x1

的價格p1

下降時,預(yù)算線從AB變?yōu)锳C。▇均衡點從E0

點變化到E1,得到一條價格消費曲線PCC。▇其水平距離為總效應(yīng)TE,方向為正。27/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8?王秋石著熊毅改編2014-2-828/77低劣商品的效應(yīng)分析▇作一條虛擬預(yù)算線GH與AC平行且與I0

相切于E2,連接E2E1

便得到一條收入消費曲線ICC。▇E2E1

的水平距離為收入效應(yīng)IE,方向為負;而E0E2

的水平距離為替代效應(yīng)SE,方向為正。3）吉芬品的效應(yīng)分析一種商品x為吉芬品,如果它同時滿足:?2011WangQiushi或▇由于吉芬品滿足上式，所以它必為劣品；但劣品不必滿足上式，因此，劣品不一定是吉芬品。29/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8?王秋石著熊毅改編2014-2-830/77吉芬品的效應(yīng)分析▇當(dāng)吉芬商品x1的價格下跌時,預(yù)算線從AB變?yōu)锳C,均衡點從E0

點變?yōu)镋1

點。▇連接E0E1

得到一條價格消費曲線PCC,E0E1

的水平距離度量了總效應(yīng)TE,此時方向為負。?王秋石著熊毅改編2014-2-831/77吉芬品的效應(yīng)分析▇現(xiàn)作一條虛擬預(yù)算線GH,它平行于新的預(yù)算線AC,又與舊無差異曲線I0

相切于E2

點。▇連接E2E1

便可得一條虛擬的收入消費曲線ICC,它的水平距離度量了收入效應(yīng)IE,此時方向為負。各類商品三種效應(yīng)變化方向32/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8?？怂故杖胙a償變量法小結(jié)?？怂故杖胙a償變量法是指：

當(dāng)價格發(fā)生變化時，需要“補償”消費者多少收入才能使消費者在新的價格水平上保持原有的效用水平不變。33/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8違反偏好假設(shè)的效用極大化問題有以下情形違反偏好假設(shè)的效用極大化問題：完全替代型偏好；完全互補型偏好；不同顏色的同一種水筆很可能就是完全替代品。34/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8

完全替代型偏好

如果x1

和x2

是一對完全替代品,無差異曲線便為I1

和I2

。顯然它們違反了偏好的嚴格凸性假設(shè)。▇假如預(yù)算線為AE,那么,最終消費組合為E點(2,0),這是因為紅筆便宜,他便只買紅筆不買藍筆。▇角解：消費者只消費其中一種商品的解。35/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8完全替代型偏好此處角解的經(jīng)濟學(xué)含義是:當(dāng)紅、藍鉛筆具有完全替代性偏好時，如果紅鉛筆價格便宜，消費者全部購買紅鉛筆。如果藍鉛筆價格便宜，消費者全部購買藍鉛筆。如果紅、藍鉛筆的價格一樣，就會出現(xiàn)預(yù)算線和線性無差異曲線的重合,這樣,該消費者的最佳消費組合不具唯一性。他在無差異曲線上任何一點消費都是最佳的。36/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8完全互補型偏好左手套和右手套構(gòu)成一雙手套,才有功能。多一只左手套，或多一只右手套，沒什么用。37/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8?王秋石著熊毅改編2014-2-838/77完全互補型偏好由于x1和x2為完全互補品，消費組合A(1,1)和消費組合B(1,2)具有同等的效用水平。消費組A(1,1)和消費組合E(2,1)也是同等偏好，將此三點連接起來便可得I0

，它形如L。同理可得I1。假定預(yù)算線為CD，其最佳消費束為A點，它是一個轉(zhuǎn)角解。?王秋石著熊毅改編2014-2-839/77完全互補型偏好無論左手套貴，還是右手套貴，消費者始終一雙雙地購買。換一條預(yù)算線，消費者始終一雙雙地購買。最佳消費束為A點和F點等，它們是一個轉(zhuǎn)角解。選講部分動態(tài)效用極大化如不講，可直接跳到本章小結(jié)40/?王秋石著熊毅改編2014-2-8跨期選擇到目前為止，我們所討論的消費者選擇都是在本期內(nèi)(或者說一個時期內(nèi))的選擇，因此，在本期內(nèi)，消費者必須耗盡其全部收入M。這是一種靜態(tài)的理論。在現(xiàn)實生活中，我們可以儲蓄，也可以透支，這就是跨期選擇的問題。這是一種動態(tài)消費理論。41/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8跨期選擇的預(yù)算約束假定有兩個時期，時期t1和t2。在每個時期的支出(c)和收入(m)可以不等。假定某消費者在時期1為一儲蓄者，即c1<m1,在這種情況下,他的儲蓄(m1-c1)將以利息率r賺取利息，其數(shù)量為(m1-c1)·r。42/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8?王秋石著熊毅改編2014-2-843/77跨期選擇的預(yù)算約束在時期2,他的支出受到收入的約束。他在第二期的收入來自三塊：1）第2期的工資收入本身m2；2）第一期的儲蓄(m1-c1)；3）第一期儲蓄的利息所得(m1-c1)·r。因此:?王秋石著熊毅改編2014-2-844/77跨期選擇的預(yù)算約束如果該消費者在時期1為一借款者，即c1>m1，那么，他在時期2的消費支出(c2)必須等于他在時期2的工資收入m2

減去他在時期1的借款以及所付利息，即:▇它還可以寫成:▇或：?王秋石著熊毅改編2014-2-845/77跨期選擇的預(yù)算約束橫軸為本期消費,縱軸為第2期消費。給定初始稟賦w=(m1,m2)以及利息率r,有一條唯一的預(yù)算線AB。橫截距為(m1+m2/(1+r))，用現(xiàn)值表示；縱截距為(m2+(1+r)m1)，用未來值表示。斜率為(-(1+r))。?王秋石著熊毅改編2014-2-846/77跨期選擇的預(yù)算約束斜率是由r所決定的。如果利率r上升(如從4%上升到5%),斜率會變得更陡峭。同時,A點上移,B點左移。這表明,由于升息,未來消費的可能性增加,而現(xiàn)期消費的可能性則減少。銀行利率是重要的決策變量?？缙谄脛討B(tài)效用函數(shù)：現(xiàn)假定某一消費者兩期的效用函數(shù)是關(guān)于時期1和2消費的連續(xù)可導(dǎo)遞增函數(shù)，即:

▇那么,就有

▇而c1

和c2

分別又是x1和x2的函數(shù),即:47/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8?王秋石著熊毅改編2014-2-848/77跨期偏好兩階段效用函數(shù)為遞增函數(shù),表明其邊際效用大于零。在一般情況下,它還應(yīng)該滿足邊際效用遞減法則,即本期(或未來期)的邊際效用隨消費量的遞增而遞減。也就是說,兩階段效用函數(shù)為一凹函數(shù),其二階導(dǎo)數(shù)小于零。從三維空間看,它是凹向原點和c1、c2

軸的一個面。?王秋石著熊毅改編2014-2-849/77跨期偏好無差異曲線：在符合偏好公理和假設(shè)的情況下,兩時期的無差異曲線一般都凸向原點。它有以下三點含義：第一，時期1和2的消費的邊際效用始終大于零。第二，時期1和2的消費的邊際效用隨消費量的增加而遞減。第三，時期1和時期2的消費存在著某種替代關(guān)系，無差異曲線的斜率度量了那一時點的邊際替代率。-兩時期無差異曲線一般凸向原點，其斜率代表著兩個時期消費的邊際替代率。斜率越陡峭，表明消費者看重現(xiàn)行消費；斜率越平坦，表明消費者更看重未來消費。50/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8跨期偏好是先吃油條還是饅頭？或者說，你贊成“先苦后甜”嗎？因此，α和β度量了現(xiàn)行和未來消費的相對重要性。51/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8跨期的效用極大化我們分兩種情形討論跨期的效用極大化。沒有通貨膨脹情形；有通貨膨脹情形。52/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8跨期的效用極大化：沒有通貨膨脹

給定初始收入w、r以及偏好,我們就有唯一的一條預(yù)算線和若干條無差異曲線與之相對應(yīng)。與靜態(tài)效用極大化原理相類似,跨期無差異曲線與跨期預(yù)算線的切點就實現(xiàn)了跨期的最佳選擇。因此，(c*1,c*2)為動態(tài)效用極大化的消費組合。53/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8?王秋石著熊毅改編2014-2-854/77跨期的效用極大化如果初始收入稟賦不是w，而是n，E依然為跨期的最優(yōu)選擇。此時,他在時期1為借款者。如果m1、m2單獨或同時增加，預(yù)算線向右平移。在正常情況下，時期1和2的最佳消費組合都會有所增加。如果消費者預(yù)期在時期2的收入m2有大幅度上升的話，他很有可能在時期1內(nèi)借款消費；相反，如果預(yù)期m2明顯下降的話，他很可能減少當(dāng)期消費，增加儲蓄。?王秋石著熊毅改編2014-2-855/77跨期的效用極大化現(xiàn)分兩種討論利息率變動對消費行為的影響。假如消費者開始為一儲蓄者；假如消費者開始為借款者；銀行利率是重要的決策變量。儲蓄者的跨期的效用極大化第一,假如消費者開始為一儲蓄者,如果利息率上升、m1

和m2

收入不變的話,預(yù)算線從AB變?yōu)榻?jīng)過w點的FG,在新的預(yù)算線下,他有一條更高的無差異曲線I1與之相切,新的均衡點為E1。很顯然,他將依然是個儲蓄者,并可享受到更高的效用水平。56/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8借款者的跨期的效用極大化第二,假如消費者開始為一借款者,如果利息率上升,m1和m2收入不變,預(yù)算線從AB變?yōu)镕G(經(jīng)過了w點),在新的預(yù)算約束下,他不可能購買到原效用極大化組合E0點,他只能選擇E1以實現(xiàn)在新的條件下的動態(tài)效用極大化,但E1點所代表的效用水平低于E0。這說明,他依然選擇成為一個借款者,但境況變得更糟。57/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8跨期的效用極大化的代數(shù)解上述效用極大化可以轉(zhuǎn)化成下列數(shù)學(xué)問題:▇建立拉格朗日函數(shù)L58/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8?王秋石著熊毅改編2014-2-859/77跨期的效用極大化的代數(shù)解▇將后兩式相除，有：▇這便為跨期最優(yōu)選擇的均衡條件?？缙诘男в脴O大化：存在通貨膨脹在以上的討論中,隱含了另一個重要的假設(shè),時期1的價格水平(p1)和時期2的價格水平(p2)保持不變且等于1,即p1=p2=1,換言之,不存在通貨膨脹或通貨緊縮的情形。這一假設(shè)顯然與實際經(jīng)濟生活不符,現(xiàn)取消這一假設(shè)，令：

p1=1，p2/p1=1+π

60/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8跨期的效用極大化：存在通貨膨脹如果π

>0,便為通貨膨脹率;如果π<0,則為通貨緊縮率。這樣上式便可寫成:61/77?王秋石著熊毅改編2014-2-8?王秋石著熊毅改編2014-2-862/77跨期的效用極大化：存在通貨膨脹在有通脹（即π>0）的情況下，預(yù)算線的斜率為:▇如果π增大（即更嚴重的通脹），預(yù)算線的斜率變得更為平坦，如果該消費者在時期1為一儲蓄者，通脹將會使得他變得更糟；▇如果π增大（即更嚴重的通脹），預(yù)算線的斜率變得更為平坦，如果該消費者在時期1為一儲蓄者，通脹將會使得他變得更糟；?王秋石著熊毅改