連續(xù)函數(shù)的運算閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質

1.9連續(xù)函數(shù)的運算、

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質1.9.1連續(xù)函數(shù)的運算1.9.2初等函數(shù)的連續(xù)性1.9.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質11.9

連續(xù)函數(shù)的運算、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質1.9.1

連續(xù)函數(shù)的運算證

可由連續(xù)定義及極限四則運算法則來證。

定理1.9.1(函數(shù)和、差、積、商的連續(xù)性)設函數(shù)f(x)，g(x)在x0點連續(xù)，則函數(shù)f(x)g(x)

，f(x)g(x)，f(x)/g(x)(g(x0)0)均在x0點處連續(xù)。且有：23定理1.9.2(復合函數(shù)的連續(xù)性)設函數(shù)u＝(x)在x＝x0點處連續(xù)，且(x0)＝u0，而函數(shù)y=f(u)在u=u0點處連續(xù)，則復合函數(shù)y＝f((x))在x＝x0點處連續(xù)。且有4例1

由于函數(shù)y=sinu和在(-,+)上連續(xù)，由定理知它們的復合函數(shù)在(-,+)上也是連續(xù)的。5

定理1.9.3(反函數(shù)的存在與連續(xù)性)

若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間Ix上單調增加(或單調減少)且連續(xù)，則它的反函數(shù)x＝(y)存在，且在相應區(qū)間Iy＝{y|y=f(x),xIx}上也是單調增加(或單調減少)且連續(xù)的。61.9.2

初等函數(shù)的連續(xù)性

定理1.9.4

基本初等函數(shù)在其定義域內都連續(xù)。基本初等函數(shù)包括：冪函數(shù)、

指數(shù)函數(shù)、

對數(shù)函數(shù)、

三角函數(shù)、

反三角函數(shù)。7

初等函數(shù)是指：由基本初等函數(shù)經過有限次四則運算和有限次復合運算所構成的并可用一個式子表示的函數(shù)。8定理1.9.5

初等函數(shù)在其定義區(qū)間內連續(xù)。注

(1)定義區(qū)間:包含在定義域內的區(qū)間。初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內連續(xù),在其定義域內不一定連續(xù)，如該函數(shù)在定義域內任一點處皆不連續(xù)，因為它在這些點的去心鄰域內沒有定義。在0點的鄰域內沒有定義，故它在0處不連續(xù)。9(2)初等函數(shù)求極限的方法代入法。10解由冪指函數(shù)的連續(xù)性知＝8＝81112131.9.3

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質1.最大值和最小值定理14

定理1.9.6(最大最小值定理)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上一定可以取到最大值與最小值。即：

注1[a,b]改為(a,b)或[a,b)、(a,b],結論不一定成立。

注2連續(xù)的條件不能少。15定理1.9.7（有界性定理）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即：

注

閉區(qū)間，連續(xù)這兩個條件也是缺一不可，否則結論不一定成立。162.介值定理

定義1.9.2

如果x0使f(x0)=0，則稱x0為函數(shù)f(x)的零點。

定理1.9.8(零點定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，那么在開區(qū)間(a,b)內至少有函數(shù)f(x)的一個零點。即17推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。即：

定理1.9.9(介值定理)設f(x)C[a,b]，f(a)=A,f(b)＝B，則對于A與B之間的任意一個數(shù)C，(a,b)，使得f()＝C