浙江省杭州市第七中學(xué)人教版高一數(shù)學(xué)選修2-2課件：1-1-1變化率

高二統(tǒng)測(cè)安排考試時(shí)間為90分鐘。卷面滿分均為100分。范圍：

1A全部?jī)?nèi)容(高二內(nèi)容占70%以上)6月29日（星期一）6月30日（星期二）上午下午上午下午8：00--9：4010：10--11：402：00--3：308：00--9：3010：00--11：302：00--3：30文科語(yǔ)文地理政治數(shù)學(xué)歷史英語(yǔ)理科語(yǔ)文物理化學(xué)數(shù)學(xué)生物英語(yǔ)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一.關(guān)于導(dǎo)數(shù)在許多實(shí)際問(wèn)題中，需要從數(shù)量上研究變量的變化速度。如物體的運(yùn)動(dòng)速度，電流強(qiáng)度，線密度，比熱，化學(xué)反應(yīng)速度及生物繁殖率等，所有這些在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問(wèn)題，即導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的思想最初是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat）為解決極大、極小值問(wèn)題而引入的。但導(dǎo)數(shù)作為微分學(xué)中最主要概念，卻是英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓（Newten）和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Leibniz）分別研究力學(xué)與幾何學(xué)過(guò)程中建立的本章通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題分析，引出微分學(xué)中重要的基本概念——導(dǎo)數(shù)，然后再建立求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式和法則，從而解決有關(guān)變化率的計(jì)算問(wèn)題。1.1.1平均變化率甲和乙投入相同資金經(jīng)營(yíng)同一商品，甲用1年時(shí)間掙到2萬(wàn)元，乙用5個(gè)月時(shí)間掙到1萬(wàn)元。從這樣的數(shù)據(jù)看來(lái)，甲、乙兩人誰(shuí)的經(jīng)營(yíng)成果更好？情境：法國(guó)《隊(duì)報(bào)》網(wǎng)站的文章稱劉翔以不可思議的速度統(tǒng)治了賽場(chǎng)。這名21歲的中國(guó)人跑的幾乎比炮彈還快，賽道上顯示的12.94秒的成績(jī)已經(jīng)打破了12.95奧運(yùn)會(huì)記錄,但經(jīng)過(guò)驗(yàn)證他是以12.91秒平了世界紀(jì)錄，他的平均速度達(dá)到8.52m/s。平均速度的數(shù)學(xué)意義是什么

?一、問(wèn)題情境1時(shí)間3月18日4月18日4月20日日最高氣溫3.5℃18.6℃33.4℃現(xiàn)有南京市某年3月和4月某天日最高氣溫記載.一、問(wèn)題情境2觀察：3月18日到4月18日與4月18日到4月20日的溫度變化，用曲線圖表示為：

t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210（注：3月18日為第一天）

t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210問(wèn)題1：“氣溫陡增”是一句生活用語(yǔ)，它的數(shù)學(xué)意義是什么？（形與數(shù)兩方面）問(wèn)題2：如何量化（數(shù)學(xué)化）曲線上升的陡峭程度？（1）曲線上BC之間一段幾乎成了“直線”，由此聯(lián)想如何量化直線的傾斜程度。

t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210（2）由點(diǎn)B上升到C點(diǎn)，必須考察yC—yB的大小，但僅僅注意yC—yB的大小能否精確量化BC段陡峭程度，為什么？在考察yC—yB的同時(shí)必須考察xC—xB，函數(shù)的本質(zhì)在于一個(gè)量的改變本身就隱含著這種改變必定相對(duì)于另一個(gè)量的改變。

t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210(3)我們用比值近似地量化B、C這一段曲線的陡峭程度，并稱該比值為【32，34】上的平均變化率(4)分別計(jì)算氣溫在區(qū)間【1，32】【32，34】的平均變化率現(xiàn)在回答問(wèn)題1：“氣溫陡增”是一句生活用語(yǔ)，它的數(shù)學(xué)意義是什么？（形與數(shù)兩方面）吹氣球時(shí),會(huì)發(fā)現(xiàn):隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來(lái)越慢,能從數(shù)學(xué)的角度解釋這一現(xiàn)象嗎?解:可知:V(r)=πr3

即：r(V)=

(1)當(dāng)空氣容量Ｖ從０增加１Ｌ時(shí)，半徑增加

r(1)－r(0)=0.62氣球平均膨脹率

問(wèn)題情境3(2)當(dāng)空氣容量Ｖ從１加２Ｌ時(shí)，半徑增加

r(２)－r(１)=0.１６氣球平均膨脹率

隨著氣球體積變大，它的平均膨脹的速率在變小思考：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2

時(shí),氣球的平均膨脹率是多少呢?數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。華羅庚

如何用數(shù)學(xué)模型刻畫變量變化的快與慢？建構(gòu)數(shù)學(xué)（1）（2）如何量化曲線的陡峭程度？t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210建構(gòu)數(shù)學(xué)(以3月18日作為第1天)平均變化率

一般地，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為

建構(gòu)數(shù)學(xué)一般地,函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率為：

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但應(yīng)注意當(dāng)x2—x1很小時(shí)，這種量化便有“粗糙”逼近“精確”。平均變化率曲線陡峭程度數(shù)形變量變化的快慢建構(gòu)數(shù)學(xué)例1、在經(jīng)營(yíng)某商品中，甲用5年時(shí)間掙到10萬(wàn)元，乙用5個(gè)月時(shí)間掙到2萬(wàn)元，如何比較和評(píng)價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營(yíng)成果？三、知識(shí)運(yùn)用練習(xí):某嬰兒從出生到第12個(gè)月的體重變化如圖所示，試分別計(jì)算從出生到第3個(gè)月與第6個(gè)月到第12個(gè)月該嬰兒體重的平均變化率。T(月)W(kg)639123.56.58.611例2、水經(jīng)過(guò)虹吸管從容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的體積

（單位：）計(jì)算第一個(gè)10s內(nèi)V的平均變化率。甲乙例3、已知函數(shù)分別計(jì)算在區(qū)間[-3，-1]，[0，5]上及的平均變化率。

三、知識(shí)運(yùn)用分析：1、自變量x的增量⊿x為多少？2、函數(shù)的增量⊿y為多少？3、函數(shù)的平均變化率為多少？例3、已知函數(shù)分別計(jì)算在區(qū)間[-3，-1]，[0，5]上及的平均變化率。

y=kx+b在區(qū)間[m，n]上的平均變化率有什么特點(diǎn)？

一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間[m,n]上的平均變化率就等于k.三、知識(shí)運(yùn)用例4、已知函數(shù)，分別計(jì)算在下列區(qū)間上的平均變化率

（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]（4）[1，1+⊿x]

432.1⊿x+2三、知識(shí)運(yùn)用練習(xí)：請(qǐng)分別計(jì)算出下面兩個(gè)圖象表示的函數(shù)h(t)在區(qū)間[0，3]上的平均變化率。OthAOthB131010