北師大版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)期末復(fù)習(xí)課件

第一章章末整合北師大版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)期末復(fù)習(xí)課件三角函數(shù)

專題一專題二專題三專題一

三角函數(shù)的求值與化簡(jiǎn)

例1(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P(-4,3),求①求cosθ的值;②求tan(θ-3π)的值.專題一專題二專題三專題一專題二專題三方法技巧

應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的注意事項(xiàng)(1)已知角求值問題,關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解.轉(zhuǎn)化過程中注意口訣“奇變偶不變,符號(hào)看象限”的應(yīng)用.(2)對(duì)給定的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值時(shí),要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系,充分利用給定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.特別要注意每一個(gè)角所在的象限,防止符號(hào)及三角函數(shù)名出錯(cuò).專題一專題二專題三專題一專題二專題三答案(1)B

(2)1專題一專題二專題三專題二

三角函數(shù)的圖象變換

答案C專題一專題二專題三方法技巧

三角函數(shù)圖象變換的易錯(cuò)警示(1)由y=sin

ωx到y(tǒng)=sin(ωx+φ)的變換:向左平移

(ω>0,φ>0)個(gè)單位長度而非φ個(gè)單位長度.(2)平移前后兩個(gè)三角函數(shù)的名稱如果不一致,應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù),ω為負(fù)時(shí)應(yīng)先變成正值.專題一專題二專題三專題一專題二專題三專題三

三角函數(shù)的性質(zhì)

專題一專題二專題三答案(1)B

(2)C專題一專題二專題三專題一專題二專題三方法技巧

有關(guān)三角函數(shù)性質(zhì)的求解方法1.三角函數(shù)的周期在不加說明的情況下,就是指最小正周期.求三角函數(shù)的周期一般要先通過三角恒等變形將三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)及y=Atan(ωx+φ)的形式,再用公式求解,另外還可以利用圖象求出三角函數(shù)的周期.2.研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的奇偶性時(shí),應(yīng)先考慮其定義域.若其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí),函數(shù)為奇函數(shù);專題一專題二專題三3.求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)(若ω<0,可先利用誘導(dǎo)公式將x前的系數(shù)ω變成正值),應(yīng)把ωx+φ視為一個(gè)整體,由A的符號(hào)來確定單調(diào)性.4.求三角函數(shù)的最值有三種方法:(1)利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的值域求得;(2)利用換元法,把sin

x,cos

x看成一個(gè)變量,轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值;(3)利用數(shù)形結(jié)合.專題一專題二專題三專題一專題二專題三專題一專題二專題三第二章章末整合專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七專題一

有關(guān)向量共線問題

例1已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若向量ka+2b與2a-4b平行,求實(shí)數(shù)k的值.解向量ka+2b與2a-4b平行,則存在唯一實(shí)數(shù)λ,使ka+2b=λ(2a-4b).因?yàn)閗a+2b=k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4).2a-4b=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),所以(k-6,2k+4)=λ(14,-4).即實(shí)數(shù)k的值為-1.方法技巧

1.向量與非零向量b共線?存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ使a=λb.2.在解有關(guān)向量共線問題時(shí),應(yīng)注意運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表達(dá),a=(x1,y1)與b=(x2,y2)共線?x1y2-x2y1=0.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七變式訓(xùn)練1平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n;(2)若(a+kc)∥(2b-a),求實(shí)數(shù)k.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七專題二

有關(guān)向量的夾角、垂直問題

專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七方法技巧

1.本例的實(shí)質(zhì)是已知平行四邊形的一組鄰邊和一條對(duì)角線的長,求兩對(duì)角線構(gòu)成的向量的夾角和另一條對(duì)角線的長,通過模的平方,建立向量的模與向量?jī)?nèi)積之間的聯(lián)系.2.兩個(gè)向量的夾角與兩條直線的夾角取值范圍是不同的,就本例而言,平行四邊形兩條對(duì)角線的夾角應(yīng)該是θ的補(bǔ)角,即π-θ.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七答案A專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七專題三

有關(guān)向量的模的問題

答案C專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七方法技巧

解答該類題目有以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):1.根據(jù)題意尋找或畫出三角形或平行四邊形,觀察圖形以便直觀地得出一些結(jié)論.2.利用三角形法則、平行四邊形法則求有關(guān)的向量,并注意一些公式性質(zhì)的運(yùn)用,例如模與向量的平方的關(guān)系、相反向量的和為0等.3.數(shù)形結(jié)合法的運(yùn)用可使解題簡(jiǎn)捷.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七專題四

數(shù)形結(jié)合思想

例4已知向量a與b不共線,且|a|=|b|≠0,則下列結(jié)論正確的是(

)A.向量a+b與a-b垂直B.向量a-b與a垂直C.向量a+b與a垂直D.向量a+b與a-b共線專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七答案A方法技巧

通過本題可以得出:模相等且不共線的兩向量的和與兩向量的差垂直.以上可以作為結(jié)論記住.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七變式訓(xùn)練4已知非零向量a,b,且|a|=|b|=|a+b|.求:(1)a與b的夾角;(2)b與a-b的夾角.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七專題五

平面向量在幾何、物理中的應(yīng)用

專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七方法技巧

用向量觀點(diǎn)解題,關(guān)鍵在于找到好的切入點(diǎn),如果題中的速度(既有大小,又有方向)、距離都可以用向量表達(dá).本題可根據(jù)臺(tái)風(fēng)中心與城市間的距離不超過臺(tái)風(fēng)侵襲的半徑來建立向量不等式,再根據(jù)模長公式,求出時(shí)間.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七變式訓(xùn)練5一艘船以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸方向行駛,該船實(shí)際航行方向與水流方向成30°角.求水流速度與船的實(shí)際速度.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七專題六

正弦定理與余弦定理

專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七考情點(diǎn)撥1.對(duì)于解三角形的考查,命題多利用正、余弦公式,三角形內(nèi)角和定理來求邊和角,其中以求邊或角的取值范圍為主,以解三角形與三角函數(shù)的結(jié)合為命題熱點(diǎn),試題多以大題的形式出現(xiàn),難度中等.2.解題時(shí),要弄清三角形三邊、三角中已知什么、求什么,分清題目條件與結(jié)論,并結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì),如大邊對(duì)大角、內(nèi)角和定理等,數(shù)形結(jié)合,正確地求解三角形,防止出現(xiàn)漏解或增根的情況.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七變式訓(xùn)練6已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,(1)求c;(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且AD⊥AC,求△ABD的面積.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七專題七

正弦定理與余弦定理的實(shí)際應(yīng)用

例7(2019江西新余一中高二月考)如圖,漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處,且與島嶼A相距12海里,漁船乙以10海里/時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行.若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙,剛好用2小時(shí)追上.(1)求漁船甲的速度;(2)求sinα的值.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七考情點(diǎn)撥1.正、余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用是高考中的熱點(diǎn),主要考查距離、高度、角度等問題,試題以解答題為主,難度一般.2.解決這類題目,一要掌握仰角、俯角和方位角等常用術(shù)語;二要通過審題把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中,建立一個(gè)解三角形的模型;三要利用正、余弦定理解出所需要的邊和角,求得該數(shù)學(xué)模型的解.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題七變式訓(xùn)練7(2020海原第一中學(xué)高三期末(文))如圖,測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí),可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D.現(xiàn)測(cè)得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ,求塔高AB.第三章

§1建筑物高度的測(cè)量

§2測(cè)量和自選建模作業(yè)的匯報(bào)交流【數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)介紹】數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程.模型是實(shí)物、過程的表示形式,是人們認(rèn)識(shí)事物的一種概念框架,也就是用某種形式來近似地描述或模擬所研究的對(duì)象或過程.模型可以分為具體模型和抽象模型兩類,數(shù)學(xué)模型就是抽象模型的一種.一般地說,數(shù)學(xué)模型可以描述為對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象,為了一個(gè)特定目的,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,作出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè),運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).【數(shù)學(xué)建模的一般步驟】建模要經(jīng)過哪些步驟并沒有一定的模式,通常與問題性質(zhì)、建模目的等有關(guān).下面介紹的是機(jī)理分析方法建模的一般過程,如圖所示.【建模案例】建筑物高度的測(cè)量【試題】師生嘗試測(cè)量一幢學(xué)校教學(xué)樓的高度,要求不能爬到樓頂去測(cè)量,要通過所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行測(cè)量與計(jì)算;三人一組,分工討論,提出測(cè)算方案,分工合作完成測(cè)量,及時(shí)記錄好測(cè)量數(shù)據(jù)并減小誤差;不限定任何測(cè)算方法、工具;允許各組組內(nèi)分工準(zhǔn)備相應(yīng)的測(cè)量工具(可以自制一些簡(jiǎn)單的測(cè)量工具),相互合作、組內(nèi)討論或通過互聯(lián)網(wǎng)查閱相關(guān)資料.【模型準(zhǔn)備】(1)查閱相關(guān)文獻(xiàn)、資料和書籍,尋找合適測(cè)量方法.(2)結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí),建立數(shù)學(xué)模型,并進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算,求解模型.(3)準(zhǔn)備測(cè)量工具.【模型假設(shè)】假設(shè)測(cè)量工具的精度符合要求.【模型建立與求解】方法1:(如圖①所示)“樓與人”的測(cè)量依據(jù)和方法.教學(xué)樓是實(shí)物,有實(shí)際高度、有影子長度;人有高度,同樣是實(shí)物,也有影長,測(cè)出人的身高、影長和教學(xué)樓的影長,列出比例式就可以算出教學(xué)樓的高度.AB是教學(xué)樓的高度(未知),DE是一位同學(xué)的身高,為1.64米,EF表示該同學(xué)的影長為1.95米,并量得教學(xué)樓的影長BC為13.6米,算出教學(xué)樓的高度AB為11.44米.圖①

方法2:(如圖②所示)“樓與竹竿”的測(cè)量依據(jù)和方法.原理和第一組差不多,用事先準(zhǔn)備好的竹竿,在教學(xué)樓的影子上來回移動(dòng)竹竿,直到看到竹竿的影子的頂端與教學(xué)樓影子的頂端重合.量出竹竿長DE為2.0米,竹竿影子長EC為2.39米,教學(xué)樓影子長BC為14.42米,列出比例式計(jì)算出教學(xué)樓的高度為12.07米.圖②

方法3:(如圖③所示)“光的反射原理”測(cè)量依據(jù)和方法.根據(jù)光的反射原理,學(xué)生在離教學(xué)樓一段距離的地面上放一面鏡子,然后人前后移動(dòng),直到在鏡子里看到教學(xué)樓頂端.量出教學(xué)樓到鏡子的距離BC為16.3米,學(xué)生到鏡子的距離CE為2.07米,該學(xué)生的眼睛到地面的高度DE為1.49米,算出教學(xué)樓的高度約為11.73米.圖③

方法4:(如圖④所示)“樓、人眼與標(biāo)桿”的測(cè)量依據(jù)和方法.該測(cè)量方法是在教學(xué)樓和一位同學(xué)之間放一標(biāo)桿,人前后移動(dòng),使眼睛、標(biāo)桿頂端和教學(xué)樓頂端三點(diǎn)共線,量出DE高為0.84米,GE長為2.11米,GC長為28.51米,人的眼睛到地面的高度GH為1.54米,算出教學(xué)樓的高度為12.89米.其他方法:還有同學(xué)提出用解直角三角形的方法測(cè)算出教學(xué)樓的高度,但是在實(shí)際的測(cè)量過程當(dāng)中,地面和視線的夾角難得到60°、45°、30°的準(zhǔn)確值.圖④

【模型分析】同學(xué)們求解的結(jié)果各不相同,下面進(jìn)一步分析產(chǎn)生這種結(jié)果的原因:(1)測(cè)量誤差:學(xué)生自制的測(cè)量工具較為粗糙,測(cè)量不夠準(zhǔn)確.另外,學(xué)生利用測(cè)量工具測(cè)出的數(shù)據(jù)會(huì)有測(cè)量誤差.(2)間距差的問題:如果間距差的值選定較小,兩次測(cè)量的角度差就會(huì)很小,將會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大誤差.(3)高度選取不對(duì):存在部分學(xué)生用“身高”代替“眼高”,導(dǎo)致誤差較大.【模型檢驗(yàn)與應(yīng)用】根據(jù)建筑物的實(shí)際高度和測(cè)量高度進(jìn)行比較,即可得知采用的測(cè)量方法是否合適.利用測(cè)量學(xué)校教學(xué)樓的方法還可以測(cè)量一些其他建筑物或旗桿的高度,為今后學(xué)生測(cè)量其他物品提供了參考依據(jù)和理論基礎(chǔ).【數(shù)學(xué)建模論文的寫作方法】數(shù)學(xué)建模論文的組成部分一、題目題目是一篇文章的身份證,對(duì)于一篇文章的第一印象就從題目開始.題目中應(yīng)該包含的信息:1.論文研究什么問題.2.大致用什么方法或什么模型(最好突出自己創(chuàng)新的部分).3.一個(gè)推薦的題目形式:《基于**理論(模型,算法,方案)的**問題的求解》二、摘要摘要是一篇文章的靈魂,看完摘要,一篇文章的研究對(duì)象、研究思路、創(chuàng)新點(diǎn)、實(shí)踐情況、最終結(jié)果和自我評(píng)價(jià)等內(nèi)容都應(yīng)當(dāng)十分清楚了.摘要結(jié)構(gòu):1.綜述(所求解的問題,對(duì)該問題定性,所使用的模型或基本方法).2.創(chuàng)新點(diǎn)闡釋(如果認(rèn)為自己隊(duì)伍做這道題目采用的方法很不尋?；蛘甙l(fā)現(xiàn)了一些其他文獻(xiàn)中沒有提到的規(guī)律,在此重點(diǎn)闡釋).3.具體問題的解答(說明在解答中“基于**理論建立了**模型,采用**方法求解,得到了**結(jié)果”).要注意鏈接,最好不要“第一問:……”,而是“首先,針對(duì)第一問中提出的**問題”“然后,第二問在第一問的基礎(chǔ)上引入了**”“接著,將之前的模型進(jìn)行**改進(jìn)即可解答第三問”,大約半頁或半頁多一些的篇幅.4.對(duì)模型的簡(jiǎn)要評(píng)價(jià).三、關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞主要是為了在論文檢索時(shí)使用,因此此處寫的詞應(yīng)是論文中的核心詞,也可以理解為論文中反復(fù)提到的一些詞.數(shù)學(xué)建模論文中的關(guān)鍵詞一般為3~5個(gè),組成如下:一個(gè)重述解決的問題,或抽象為理論問題,一個(gè)說明使用模型,一個(gè)說明算法、創(chuàng)新點(diǎn)或求解方法.四、問題重述問題重述反映對(duì)整個(gè)問題的理解是否透徹.五、問題分析如果認(rèn)為自己的想法比較有新意、認(rèn)為文章偏短或自己的思路在開始寫論文時(shí)都不是很清晰,就寫這一部分.這一部分可以讓人較清楚地看到自己的思維過程.六、模型假設(shè)1.模型假設(shè)反映了對(duì)問題的理解和建立模型的方向,它是對(duì)實(shí)際問題必要的、合理的簡(jiǎn)化.2.不要假設(shè)題目中明確給出的條件,不要做“假設(shè)題目中所給數(shù)據(jù)屬實(shí)”一類的假設(shè).3.只寫在以后的模型中都會(huì)或大部分會(huì)用到的假設(shè),如果是只針對(duì)某一問的假設(shè),可以在相應(yīng)問題的模型建立中提出.七、符號(hào)說明1.符號(hào)說明從一個(gè)側(cè)面反映建模傾向,同時(shí)考驗(yàn)嚴(yán)謹(jǐn)程度和語言錘煉能力.2.在此只說明之后大部分模型會(huì)使用的符號(hào),個(gè)別問題中應(yīng)用的符號(hào)可以在相應(yīng)問題的模型建立中重新說明.八、模型建立此處是論文的核心,必須嚴(yán)謹(jǐn)對(duì)待,主要的公式、理論、模型、圖表都在此給出;應(yīng)占全文一半篇幅,可以采用“問題一模型——模型求解——問題二模型……”形式,也可以采用“所有模型——各問題的求解結(jié)果”形式.模型的闡述要注意層次和技巧,一般是:1.首先給予**理論.2.建立**模型.3.對(duì)所給式子進(jìn)行解釋在闡述已有理論的過程中,如果遇到之前沒有學(xué)習(xí)過的理論,則將自己的理解較詳細(xì)地闡述(如“匈牙利算法,是**年**國科學(xué)家**提出的,是一種基于廣度搜索思想的最優(yōu)分配方案全局優(yōu)化算法……”)每一個(gè)式子都必須解釋,解釋內(nèi)容包括變量含義、基于何種理論、有什么物理意義等.可以視其重要程度和復(fù)雜度有詳有略,但必須解釋.九、模型求解說明求解方法包括以下三種.1.如果求解方程或代數(shù)式,則要說明方程中參數(shù)如何確定,如果方程比較復(fù)雜,還有說明是用什么方法求解的,解的是精確解還是大致走勢(shì).2.如果求解優(yōu)化式子,要說明使用的軟件.3.如果有比較大的程序或使用了比較深的算法,應(yīng)畫程序流程圖.求解結(jié)果是初判建模成果的依據(jù),結(jié)果必須詳細(xì),一般來說要有關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確數(shù)字和圖形或表格.十、結(jié)果分析這部分主要是將模型求出的結(jié)果運(yùn)用到實(shí)際問題中.1.首先,要根據(jù)實(shí)際問題大致分析自己解出的結(jié)果是否合理.2.然后,對(duì)當(dāng)前現(xiàn)實(shí)中的現(xiàn)象做出評(píng)價(jià).3.最后,根據(jù)模型和結(jié)果對(duì)實(shí)際問題給出建議.十一、模型評(píng)價(jià)模型評(píng)價(jià)是自己在建模和求解過程中對(duì)自己所建模型的看法,應(yīng)包括優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn).一般從求解速度、準(zhǔn)確度、穩(wěn)定性等方面進(jìn)行評(píng)價(jià).在寫缺點(diǎn)時(shí)可以寫明必要的理由,如硬件要求無法達(dá)到等.十二、模型改進(jìn)這部分基本就按照之前在模型評(píng)價(jià)中的缺點(diǎn)部分提出相應(yīng)的改進(jìn)方案.十三、參考文獻(xiàn)必須按照固定的格式書寫.書籍、論文、網(wǎng)站、報(bào)告、會(huì)議記錄有各自不同的書寫格式.第四章章末整合三角恒等變換

三角恒等變換

專題一專題二專題三專題一

三角函數(shù)求值問題的三種常見形式

1.給角求值專題一專題二專題三專題一專題二專題三2.給值求值

專題一專題二專題三專題一專題二專題三專題一專題二專題三3.給值求角

專題一專題二專題三專題一專題二專題三專題一專題二專題三方法技巧

三角函數(shù)的求值問題通常包括三種類型:給角求值、給值求值、給值求角.給角求值的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值,給值求值的關(guān)鍵是結(jié)合條件和結(jié)論中的角合理拆角、配角,給值求角的關(guān)鍵是確定角的范圍.專題一專題二專題三專題二

三角恒等變換在三角函數(shù)中的運(yùn)用

專題一專題二專題三專題一專題二專題三方法技巧

三角恒等變換綜合應(yīng)用的解題思路(1)將f(x)化為asin

x+bcos

x的形式;專題一專題二專題三專題一專題二專題三專題一專題二專題三專題三

三角恒等變換與向量的交匯運(yùn)用

例5已知α∈[0,π],向量m=(sinα,cosα)和n=(cosα,cosα).(1)若m和n共線,求α.(2)是否存在α,使得m⊥(m+n)?若存在,求出α,若不存在,請(qǐng)說明理由.專題一專題二專題三專題一專題二專題三方法技巧

三角函數(shù)與平面向量的綜合問題,題目以解答題為主.主要包括向量與三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值與證明的結(jié)合,向量與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的結(jié)合等幾個(gè)方面.此類題目所涉及向量的知識(shí)往往是數(shù)量積的運(yùn)算,所研究的問題主要是討論三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).解決此類問題,首先要根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,然后利用三角公式進(jìn)行恒等變換,轉(zhuǎn)化為題目中所要求的問題.專題一專題二專題三(1)求A的取值范圍;(2)求f(A)的值域.專題一專題二專題三第五章章末整合專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題一

復(fù)數(shù)的概念

例1已知復(fù)數(shù)z=m(m-1)+(m2+2m-3)i,當(dāng)m取何實(shí)數(shù)值時(shí),復(fù)數(shù)z是:(1)零;(2)純虛數(shù);(3)z=2+5i.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題一專題二專題三專題四專題五專題六方法技巧

復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)是由它的實(shí)部和虛部唯一確定的,兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的主要方法和途徑.在兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件中,注意當(dāng)a,b,c,d∈R時(shí),由a+bi=c+di才能推出a=c,且b=d,否則不成立.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題二

復(fù)數(shù)的運(yùn)算

專題一專題二專題三專題四專題五專題六方法技巧

復(fù)數(shù)四則運(yùn)算一般用代數(shù)形式,加、減、乘運(yùn)算按多項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算,除法運(yùn)算需把分母實(shí)數(shù)化.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)有密切聯(lián)系,但又有區(qū)別,在運(yùn)算中要特別注意實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算法則在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是否適用.復(fù)數(shù)的運(yùn)算包括加、減、乘、除,在解題時(shí)應(yīng)遵循“先定性、后解題”的原則,化虛為實(shí),充分利用復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化.在解答與復(fù)數(shù)的模有關(guān)的問題時(shí),重視應(yīng)用下列公式:專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題三

復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義

例3已知復(fù)數(shù)z1=1+(10-a2)i(a>0),z2=(2a-5)i(a>0),+z2∈R.(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)若z∈C,|z-z2|=2,求|z|的取值范圍.解(1)因?yàn)閦1=1+(10-a2)i(a>0),z2=(2a-5)i(a>0),所以

+z2=1-(10-a2)I+(2a-5)i=1+(a2+2a-15)i,因?yàn)?/p>

+z2∈R,所以a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3,因?yàn)閍>0,所以a=3.(2)由(1)知z2=i,因?yàn)閨z-z2|=2,所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以(0,1)為圓心,以2為半徑的圓.因?yàn)閨z|在復(fù)平面內(nèi)表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離,所以|z|的取值范圍即以(0,1)為圓心,以2為半徑的圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的取值范圍,所以2-1≤|z|≤2+1,即1≤|z|≤3.故|z|的取值范圍為[1,3].專題一專題二專題三專題四專題五專題六方法技巧

復(fù)數(shù)具有明顯的幾何意義,與向量關(guān)系密切.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的,與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量也是一一對(duì)應(yīng)的.當(dāng)條件中出現(xiàn)與復(fù)數(shù)模有關(guān)或與平面圖形有關(guān)的問題時(shí),一般要聯(lián)想復(fù)數(shù)的幾何意義.專題一專題二專題三專題四專題五專題六變式訓(xùn)練3已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=,z2的虛部為2.(1)求復(fù)數(shù)z;(2)設(shè)z,z2,z-z2在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B,C,求△ABC的面積.解(1)設(shè)z=x+yi(x,y∈R),所以z=1+i或z=-1-i.(2)由(1)知,當(dāng)z=1+i時(shí),z2=2i,z-z2=1-i,此時(shí)A(1,1),B(0,2),C(1,-1),S△ABC=1.當(dāng)z=-1-i時(shí),z2=2i,z-z2=-1-3i,此時(shí)A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),S△ABC=1.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題四

復(fù)數(shù)的模

例4已知復(fù)數(shù)z=(2x+a)+(2-x+a)i,其中x,a∈R.當(dāng)x在(-∞,+∞)內(nèi)變化時(shí),試求|z|的最小值g(a).方法技巧

熟記復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式和復(fù)數(shù)的模與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的模之間的關(guān)系,就能迅速求解有關(guān)復(fù)數(shù)模的問題.專題一專題二專題三專題四專題五專題六(1)若|z+z1|=5,求實(shí)數(shù)m的值;(2)若復(fù)數(shù)az+2i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題五

復(fù)數(shù)與一元二次方程問題

例5已知關(guān)于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0(x,y∈R).(1)當(dāng)方程有實(shí)根時(shí),求點(diǎn)(x,y)的軌跡;(2)求方程實(shí)根的取值范圍.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題一專題二專題三專題四專題五專題六方法技巧

因?yàn)榉匠逃袑?shí)根,故可將其設(shè)出,代入原方程,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,找到實(shí)根與變量x,y的關(guān)系,利用消參法進(jìn)行求解.專題一專題二專題三專題四專題五專題六變式訓(xùn)練5已知z=-1+i是方程z2+az+b=0的一個(gè)根,a,b∈R.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,猜測(cè)方程的另一個(gè)根,并給予證明.專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題一專題二專題三專題四專題五專題六專題六

復(fù)數(shù)的三角表示

例6在復(fù)平面內(nèi),把與復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°,所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-i,求復(fù)數(shù)z.專題一專題二專題三專題四專題五專題六2.復(fù)數(shù)三角式的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)乘法法則:r1(cos

θ1+isin

θ1)·r2(cos

θ2+isin

θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],即“模數(shù)相乘,輻角相加”.(2)復(fù)數(shù)除法法則:[r1(cos

θ1+isin

θ1)]÷[r2(cos

θ2+isin

θ2)]=[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](r2≠0),即“模數(shù)相除,輻角相減”.專題一專題二專題三專題四專題五專題六變式訓(xùn)練69(cos3π+isin3π)÷3(cos2π+isin2π)=(

)A.3 B.-3 解析9(cos

3π+isin

3π)÷3(cos

2π+isin

2π)=3[cos(3π-2π)+isin(3π-2π)]=3(cos

π+isin

π)=-3.故選B.答案B第六章末整合專題一專題二專題三專題四專題五專題一

直觀圖的畫法

例1按圖示的建系方法,畫出水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖.畫法(1)如圖①,作AG⊥x軸于點(diǎn)G,作DH⊥x軸于點(diǎn)H.(2)如圖②,畫相應(yīng)的x'軸與y'軸,兩軸相交于點(diǎn)O',使∠x'O'y'=45°.(3)在圖②中的x'軸上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,專題一專題二專題三專題四專題五(4)連接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去輔助線G'A',H'D'及坐標(biāo)系,便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A'B'C'D'E'(如圖③).專題一專題二專題三專題四專題五方法技巧

斜二測(cè)畫法的作圖技巧(1)在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系.理論上是在任何位置建立直角坐標(biāo)系都行,但在實(shí)際作圖時(shí),一般建立特殊的直角坐標(biāo)系,盡量以原有直線為坐標(biāo)軸,或以圖形中互相垂直的直線為坐標(biāo)軸,或以圖形的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)等.(2)原圖中與x軸或y軸或z軸平行的線段在直觀圖中依然與x'軸或y'軸或z'軸平行;在原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線,畫端點(diǎn)時(shí)作坐標(biāo)軸的平行線為輔助線;在原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn),利用上述方法作出直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后,用平滑的曲線連接而成.(3)在畫一個(gè)水平放置的平面的直觀圖時(shí),由于平面是無限延展的,通常我們只畫出它的一部分來表示該平面.一般地,用平行四邊形表示空間一個(gè)水平平面的直觀圖.專題一專題二專題三專題四專題五變式訓(xùn)練1用斜二測(cè)畫法畫出棱長為2cm的正方體ABCD-A'B'C'D'的直觀圖.①

畫法(1)畫軸.如圖①,畫x軸、y軸、z軸,三軸相交于點(diǎn)O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)畫底面.以點(diǎn)O為中心,在x軸上取線段MN,使MN=2

cm;在y軸上取線段PQ,使PQ=1

cm.分別過點(diǎn)M和N作y軸的平行線,過點(diǎn)P和Q作x軸的平行線,設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A,B,C,D,四邊形ABCD就是正方體的底面ABCD.專題一專題二專題三專題四專題五(3)畫側(cè)棱.過A,B,C,D分別作z軸的平行線,并在這些平行線上分別截取2

cm長的線段AA',BB',CC',DD'.(4)成圖.順次連接A',B',C',D',并加以整理(去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線),就得到正方體的直觀圖(如圖②).圖②

專題一專題二專題三專題四專題五專題二

空間中的平行關(guān)系

例2如圖所示,四邊形ABCD是平行四邊形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在線段PB上是否存在一點(diǎn)F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置,并給出證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.專題一專題二專題三專題四專題五解存在點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)時(shí),平面AFC∥平面PMD,證明如下:如圖,連接BD和AC交于點(diǎn)O,取PB中點(diǎn)F,連接FO,則PF=PB.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以O(shè)是BD的中點(diǎn).所以O(shè)F∥PD.又OF?平面PMD,PD?平面PMD,所以O(shè)F∥平面PMD.又MA∥PB,MA=PB,所以PF∥MA.又因?yàn)镸A∥PB,PF=MA.所以四邊形AFPM是平行四邊形.所以AF∥PM.又AF?平面PMD,PM?平面PMD.所以AF∥平面PMD.又AF∩OF=F,AF?平面AFC,OF?平面AFC.所以平面AFC∥平面PMD.專題一專題二專題三專題四專題五方法技巧

1.判斷線面平行的兩種常用方法面面平行判定的落腳點(diǎn)是線面平行,因此掌握線面平行的判定方法是必要的,判定線面平行的兩種方法:(1)利用線面平行的判定定理.(2)利用面面平行的性質(zhì),即當(dāng)兩平面平行時(shí),其中一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面.2.判斷面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)面面平行的傳遞性(α∥β,β∥γ?α∥γ).(3)利用線面垂直的性質(zhì)(l⊥α,l⊥β?α∥β).專題一專題二專題三專題四專題五變式訓(xùn)練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分別是PB,PC的中點(diǎn).(1)證明:EF∥平面PAD;(2)求三棱錐E-ABC的體積V.專題一專題二專題三專題四專題五(1)證明在△PBC中,E,F分別是PB,PC的中點(diǎn),所以EF∥BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以BC∥AD,所以EF∥AD.又因?yàn)锳D?平面PAD,EF?平面PAD,所以EF∥平面PAD.(2)解如圖,連接AE,AC,EC,過E作EG∥PA交AB于點(diǎn)G.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,則EG⊥平面ABCD,且EG=PA.在△PAB中,AP=AB,∠PAB=90°,BP=2,專題一專題二專題三專題四專題五專題三

空間中的垂直關(guān)系

例3(2018全國Ⅲ高考)如圖,矩形ABCD所在平面與半圓弧

所在平面垂直,M是

上異于C,D的點(diǎn).(1)證明:平面AMD⊥平面BMC.(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC∥平面PBD?說明理由.專題一專題二專題三專題四專題五(1)證明由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因?yàn)镸為

上異于C,D的點(diǎn),且DC為直徑,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM?平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)解當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí),MC∥平面PBD.證明如下:連接AC交BD于O.因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為AC中點(diǎn).連接OP,因?yàn)镻為AM中點(diǎn),所以MC∥OP.MC?平面PBD,OP?平面PBD,所以MC∥平面PBD.專題一專題二專題三專題四專題五方法技巧

1.判定線面垂直的方法(1)線面垂直定義(一般不易驗(yàn)證任意性).(2)線面垂直的判定定理(a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,a∩b=A?l⊥α).(3)平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b,b⊥α?a⊥α).(4)面面垂直的性質(zhì)(α⊥β,α∩β=l,a?β,a⊥l?a⊥α).2.判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定義.(2)面面垂直的判定定理.專題一專題二專題三專題四專題五變式訓(xùn)練3如圖所示,已知AF⊥平面ABCD,四邊形ABEF為矩形,四邊形ABCD為直角梯形,∠DAB=90°,AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB=4.(1)求證:AC⊥平面BCE;(2)求證:AD⊥AE.專題一專題二專題三專題四專題五證明(1)在直角梯形ABCD中,AD=CD=2,AB=4,所以AC=BC=2,所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.因?yàn)锳F⊥平面ABCD,AF∥BE,所以BE⊥平面ABCD,又AC?平面ABCD,所以BE⊥AC.又BE?平面BCE,BC?平面BCE,BE∩BC=B,所以AC⊥平面BCE.(2)因?yàn)锳F⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,所以AD⊥AF.又因?yàn)椤螪AB=90°,所以AD⊥AB.又AB?平面ABEF,AF?平面ABEF,AB∩AF=A,所以AD⊥平面ABEF,又AE?平面ABEF,所以AD⊥AE.專題一專題二專題三專題四專題五專題四

空間角問題

例4如圖,正方體的棱長為1,B'C∩BC'=O,求:(1)異面直線AO與A'C'所成角的大小;(2)異面直線AO與平面ABCD所成角的正切值;(3)平面AOB與平面AOC所成角的大小.專題一專題二專題三專題四專題五解(1)因?yàn)锳'C'∥AC,所以異面直線AO與A'C'所成的角就是∠OAC.因?yàn)锳B⊥平面BC',OC?平面BC',所以O(shè)C⊥AB.又OC⊥BO,AB∩BO=B,AB,BO?平面ABO,所以O(shè)C⊥平面ABO.又OA?平面ABO,所以O(shè)C⊥OA.即AO與A'C'所成角為30°.專題一專題二專題三專題四專題五(2)如圖,作OE⊥BC于E,連接AE.因?yàn)槠矫鍮C'⊥平面ABCD,平面BC'∩平面ABCD=BC,OE?平面BC',OE⊥BC,所以O(shè)E⊥平面ABCD,所以∠OAE為異面直線OA與平面ABCD所成的角.(3)由(1)可知OC⊥平面AOB.又因?yàn)镺C?平面AOC,所以平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成的角為90°.專題一專題二專題三專題四專題五方法技巧

1.求異面直線所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角).2.二面角的平面角的作法常有三種:(1)定義法;(2)三垂線法;(3)垂面法.專題一專題二專題三專題四專題五變式訓(xùn)練4(1)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,且CD=2AB.若AB=AD,直線PB與CD所成的角為45°,則二面角P-CD-B的大小為

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(2)(2020浙江杭州模擬)如圖,已知四邊形ABCD是正方形,AE⊥平面ABCD,PD∥AE,PD=AD=2EA=2,G