高二物理競(jìng)賽一維問題的薛定諤方程解課件

0xU(x)=0a例1：一個(gè)粒子在如圖所示的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，它的勢(shì)能為0U

(x)

0

x

ax

0,

x

a

一維問題的薛定諤方程解這種勢(shì)場(chǎng)稱為一維無限深勢(shì)阱。在一維無限深勢(shì)阱中粒子如何運(yùn)動(dòng)？它的波函數(shù)如何？能量如何？按經(jīng)典力學(xué)理論，一個(gè)具有有限能量的粒子，只能在U=0的區(qū)域運(yùn)動(dòng)，但能量可以取任何值！n

1,2,3,anx),(x)

Asin(0)dx

1aA2sin2

(an

x2aA

由歸一化條件本征函數(shù)n0

x

asin( n

1,2,3,a a2

nx),

(x)

x

0,

x

an

(x)

0,一維無限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子其波函數(shù)：np

2mEa

nn2an

h pn

2a

n

n駐波動(dòng)量：波長(zhǎng)：概率密度xannn

a2W (x

)

(x

)

2

2

sin波函數(shù)的物理意義：處在不同能級(jí)的粒子，在勢(shì)阱中的幾率分布不同。動(dòng)量和波長(zhǎng)一維無限深方勢(shì)阱中粒子的能級(jí)、波函數(shù)和幾率密度3

x2

x

1x(x)

4xoE

4E

3E

2E

1a23

xn

324

xn

4

2x2n

2

1x2n

1ao2

a33

2aa4

2n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)1

2ax

穩(wěn)定的駐波?2 d

22m

dx2 2

m x2 2H

12 21

m

x )

(x)

E

(x)2 d

22m

dx2 2一維諧振子的哈密頓算符為體系的薛定諤方程為

(2nn 0

,1,2

,3,

能級(jí)為

E

(

n

1

)例.

一維諧振子U(x)n=0xn=1n=2E0=

hv/2零點(diǎn)能能量間隔：E

h2e Hn(

x),2n

n! (

x)2例.

一維諧振子H1(x)

2xH2(x)

4x

2;2H3(x)

2 x 12x3 3當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

n

(x)

n

(x)空間波函數(shù)具有偶宇稱當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

n

(x)

n

(x)空間波函數(shù)具有奇宇稱U(x)n=0xn=1n=2m

波函數(shù)

n

厄米多項(xiàng)式：H0

(x)

1;線性諧振子波函數(shù)線性諧振子位置幾率密度

0n

0x1n

1xn

2

2x20n

0x2

2n

2x21n

1x例.

隧道效應(yīng)及勢(shì)壘貫穿設(shè)具有一定能量E的粒子沿x軸正向射向方勢(shì)壘0aU0ⅡⅠ區(qū)

U(

x

) =0 x≤0Ⅱ區(qū)

U(

x

) =

U0 0≤x≤

aⅢ區(qū)

U(

x

) =0 x≥

aE

3Ⅰ粒子動(dòng)能

E

>U0時(shí)，粒子全部進(jìn)入Ⅲ區(qū)域。粒子動(dòng)能

E

<

U0時(shí)，粒子不能越過勢(shì)壘Ⅱ區(qū)而到達(dá)Ⅲ區(qū)?；蛘哒f，在Ⅱ、Ⅲ區(qū)域發(fā)現(xiàn)粒子的幾率為零。經(jīng)典理論:ⅢI

(x)

A1

sin(K1

x

1

)02m

dx2d

2

(U

E)

02(2)0

x

a, U

U0

E2dx2d2

2mE

K1

2mE2U

(x)

(x)2m dx2

E(x)

d (x)

2 20aU0ⅡⅠⅠEⅢ22m(U

E)K 0 2222IIK

x

(x)

A

eB

eK2

x方程的解:(1)x

0, U

0III(x)

A3sin(K1x

3)方程的解:(3)x

a, U

02dx2d2

2mE

2mEK1

2U

(x)

(x)2m dx2

E(x)

d (x)

2 20aU0ⅡⅠⅠEⅢA1

,

A2

,

B2

,

A3

,1

,

3常數(shù)可由波函數(shù)在0,a兩點(diǎn)的連續(xù)性條件和歸一化要求決定。U0>E態(tài)波函數(shù)22231 3IIIIIK

x時(shí)方

I

(x)

A1

sin(K1

x

1

)勢(shì)壘

(x)

A

eB

eK2

x中定

(x)

A sin(K

x

)12mEK 222m(U

E)K 0 2方程的解:U

(x)

(x)2m dx2

E(x)

d (x)

2 20aU0ⅡⅠⅠEⅢ22 231 3IIIIIIK

x

(x)

A1

sin(K1

x

1

)

(x)

A

eB

eK2

x(x)

A sin(K

x

)0U

>E時(shí)方勢(shì)壘中定態(tài)波

函數(shù)

12mEK 222m(U

E)K 11IK2

xiK

xK2

x

(x)

eiK

x

ReiK1xII(x)

A2eB2eIII(x)

Te或1R

eiK

x、1 0 2iK

xT

e分別代表反射波和透射波小于勢(shì)壘高度，入射粒透射系數(shù)T 隨勢(shì)壘寬度a、粒子質(zhì)量m 和能量差變化，隨著勢(shì)壘的加寬、加高，透射系數(shù)減小。0 a子仍可能穿過勢(shì)壘進(jìn)入

EIII

區(qū)

—

隧道效應(yīng)，它是粒子波動(dòng)性的表現(xiàn)。U0Ⅰ Ⅱ Ⅲ

討論：(1) E

<

U0

,

即粒子總能量1K 2mE2 0 22m(U

E)K 2|

T

|2

1

|

R

|21 221 2(k

2

k

2

)2

sin2

(k a)|R

|2

1 2 2 (k

2

k

2

)

sin2

(k a)

4k

2k

22如k

a

1,0016

E

(UU

2E

)

e

2

k2

xT 0 aU0Ⅰ Ⅱ ⅢE

12mEk 222m(E

U0)k 2|

R

|2

1

|

T

|21221 24k

2k

2|T

|2

1 2 (k

2

k

2

)

sin2

(k a)

4k

2k

2討論：(2) E

>

U0

,

即粒子總能量大于勢(shì)壘高度，入射粒子也并非全部透射進(jìn)入

III

區(qū),仍有一定幾率被反射回

I

區(qū)。ⅠⅡⅢE0 aEΨ1Ψ2U0xⅠ區(qū)0Ⅱ區(qū)a Ⅲ區(qū)Ψ32m

(U0

E

)a

2

(a