高中數(shù)學蘇教版1第3章導數(shù)及其應(yīng)用3．2導數(shù)的運算第3章322

3.2.2函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)1.掌握導數(shù)的和、差、積、商的四則運算法則.(重點)2.會利用導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù).(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理函數(shù)和、差、積、商的求導法則閱讀教材P82～P83例2以上部分，完成下列問題.公式語言敘述[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)兩個函數(shù)和的導數(shù)等于這兩個函數(shù)導數(shù)的和[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)兩個函數(shù)差的導數(shù)等于這兩個函數(shù)導數(shù)的差[C(f(x)]′＝Cf′(x)(C為常數(shù))常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)等于常數(shù)與函數(shù)的導數(shù)的積[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)兩個函數(shù)積的導數(shù)等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘上第二個函數(shù)的導數(shù)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x)(g(x)≠0)兩個函數(shù)商的導數(shù)等于分母上的函數(shù)乘上分子的導數(shù)，減去分子乘以分母的導數(shù)所得的差除以分母的平方1.判斷正誤：(1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，則f′(a)＝2a＋2x(2)運用法則求導時，不用考慮f′(x)，g′(x)是否存在.()(3)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g′(x).()【解析】(1)×.∵f′(x)＝2a＋2x，∴f′(a)＝2a＋2a＝4a.(2)×.運用法則求導時，要首先保證f′(x)、g′(x)存在.(3)×.[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x).【答案】(1)×(2)×(3)×2.若f(x)＝eq\f(x,x－2)，則f′(x)＝________.【解析】f′(x)＝eq\f(x－2－x,x－22)＝－eq\f(2,x－22).【答案】－eq\f(2,x－22)[質(zhì)疑·手記]預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小組合作型]導數(shù)運算法則的應(yīng)用求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝x·tanx；(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3);(4)y＝eq\f(x＋1,x－1).【導學號：24830075】【精彩點撥】仔細觀察和分析各函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律，緊扣導數(shù)公式，不具備求導條件的可進行適當?shù)暮愕茸冃危俳Y(jié)合基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，小心計算.【自主解答】(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5.(2)y′＝(x·tanx)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xsinx,cosx)))′＝eq\f(xsinx′cosx－xsinxcosx′,cos2x)＝eq\f(sinx＋xcosxcosx＋xsin2x,cos2x)＝eq\f(sinxcosx＋x,cos2x).(3)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.(4)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－1)))′＝eq\f(x＋1′x－1－x＋1x－1′,x－12)＝eq\f(x－1－x＋1,x－12)＝－eq\f(2,x－12).深刻理解和掌握導數(shù)的四則運算法則是解決求函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)問題的前提.在具體求導時，可結(jié)合給定函數(shù)本身的特點，先分清函數(shù)結(jié)構(gòu)，再將各部分的導數(shù)求出，具體的求解策略主要有以下幾種.(1)直接求導：利用導數(shù)運算法則直接求導數(shù)，此法適用于一些比較簡單的函數(shù)的求導問題.(2)先化簡后求導：在求導中，有些函數(shù)形式上很復雜，可以先進行化簡再求導，以減少運算量.(3)先分離常數(shù)后求導：對于分式形式的函數(shù)，往往可利用分離常數(shù)的方法使分式的分子不含變量，從而達到簡化求導過程的目的.[再練一題]1.求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝2x3－x＋eq\f(1,x)；(2)y＝2xtanx;(3)f(x)＝eq\f(lnx＋2x,x2).【解】(1)y′＝(2x3)′－x′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝6x2－1－eq\f(1,x2).(2)y′＝(2xtanx)′＝(2x)′tanx＋2x(tanx)′＝2xln2tanx＋2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝2xln2tanx＋2xeq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝2xln2tanx＋2x＋2xtan2x＝2x(1＋ln2tanx＋tan2x).(3)f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x2)＋\f(2x,x2)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x2)))′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,x2)))′＝eq\f(\f(1,x)·x2－lnx·2x,x4)＋eq\f(2xln2·x2－2x,x4)＝eq\f(1－2lnxx＋ln2·x2－2x·2x,x4)＝eq\f(1－2lnx＋ln2·x－22x,x3).復雜曲線的切線問題(1)曲線y＝x(3lnx＋1)在點(1,1)處的切線方程為________.(2)曲線y＝eq\f(x,2x－1)在點(1,1)處的切線方程為________.【精彩點撥】利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再求出切點坐標，代入直線的點斜式方程得切線方程.【自主解答】(1)∵y′＝3lnx＋4，∴k＝3×ln1＋4＝4，故切線方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.(2)由y′＝eq\f(2x－1－2x,2x－12)＝－eq\f(1,2x－12)，所以k＝－1，得切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.【答案】(1)4x－y－3＝0(2)x＋y－2＝0利用常見函數(shù)的導數(shù)與導數(shù)運算公式來簡化曲線切線的求法.(1)在點P(x0，y0)處的切線方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)；(2)過點P(x1，y1)的切線方程：設(shè)切點坐標為(x0，y0)，則切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)，代入點P(x1，y1)求出x0，即可得出切線方程(求出的x0的個數(shù)就是過這點的切線的條數(shù)).[再練一題]2.曲線y＝x3－2x＋1在點(1,0)處的切線方程為________.【導學號：24830076】【解析】由導數(shù)的定義得y′＝3x2－2，∴k＝1，∴切線方程為y＝x－1.【答案】y＝x－1[探究共研型]導數(shù)的綜合應(yīng)用探究1在曲線y＝f(x)上有一點(x0，f(x0))，那么曲線在這一點處切線的斜率是什么？【提示】k＝f′(x0).探究2在探究1中，若還已知切線上另外一點(x1，f(x1))，那么該切線的斜率還可以如何表示？和探究1中得到的結(jié)論有什么關(guān)系？【提示】k＝eq\f(fx1－fx0,x1－x0)，f′(x0)＝eq\f(fx1－fx0,x1－x0).探究3若已知曲線y＝ax2在點P處的切線方程為y＝2x－1，能否求出切點P的坐標？能否求出曲線的方程？【提示】設(shè)切點P的坐標為(x0，y0)，因為y′＝2ax，所以切線的斜率為2ax0＝2，又因為切點(x0，y0)在曲線y＝ax2和切線y＝2x－1上，所以有y0＝axeq\o\al(2,0)，且y0＝2x0－1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ax0＝2,y0＝2x0－1，,y0＝ax\o\al(2,0)))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1,y0＝1,a＝1))，所以切點P的坐標為(1,1)，曲線的方程為y＝x2.探究4通過以上討論，你認為如何解決有關(guān)曲線切線的問題？【提示】解決曲線的切線問題應(yīng)充分利用切點滿足的三個關(guān)系式：一是切線的斜率是函數(shù)在此切點處的導數(shù)；二是切點的坐標滿足切線的方程；三是切點的坐標滿足切線的方程.可根據(jù)上述三個方面的條件建立相關(guān)的方程(組)求解未知數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值.【精彩點撥】(1)利用已知切線的斜率、切點的坐標滿足曲線的方程和切線的方程構(gòu)建方程組可求出a，b的值，可得函數(shù)f(x)的解析式；(2)根據(jù)已知條件求出曲線y＝f(x)上任一點處的切線方程，得到所求面積的表達式即知其為定值.【自主解答】(1)由7x－4y－12＝0，得y＝eq\f(7,4)x－3.當x＝2時，y＝eq\f(1,2)，∴f(2)＝eq\f(1,2)，①又∵f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，∴f′(2)＝eq\f(7,4).②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq\f(3,x).(2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點，由y′＝1＋eq\f(3,x2)知，曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)，即y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,x0)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0).令x＝0，得y＝－eq\f(6,x0)，從而得切線與直線x＝0的交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(6,x0))).令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0,2x0).所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為：eq\f(1,2)|－eq\f(6,x0)||2x0|＝6.故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.利用導數(shù)來處理與切線斜率有關(guān)的問題是一種非常有效的方法，它適用于任何導數(shù)存在的函數(shù)，一般可以根據(jù)條件建立相關(guān)的方程(組)求解未知量.[再練一題]3.已知函數(shù)f(x)＝2x3＋ax與g(x)＝bx2＋cx的圖象都過點P(2,0)，且在點P處有公共切線.求f(x)和g(x)的表達式及在點P處的公切線的方程.【解】由題意，得f′(2)＝g′(2)，f(2)＝g(2)＝0.∵f′(x)＝6x2＋a，g′(x)＝2bx＋c，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16＋2a＝0，,4b＋2c＝0，,24＋a＝4b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－8，,b＝8，,c＝－16.))∴f(x)＝2x3－8x，g(x)＝8x2－16x，即f′(x)＝6x2－8，∴f′(2)＝16，∴在點P處的公切線方程為y＝16(x－2).[構(gòu)建·體系]1.(2023·濰坊高二檢測)函數(shù)y＝x3cosx的導數(shù)是______.【解析】y′＝3x2cosx＋x3(－sinx)＝3x2cosx－x3sinx.【答案】3x2cosx－x3sinx2.函數(shù)y＝eq\f(x,x＋2)的導數(shù)為________.【解析】∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x＋2)))′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22)＝eq\f(x＋2－x,x＋22)＝eq\f(2,x＋22).【答案】eq\f(2,x＋22)3.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，則a的值為________.【解析】∵f′(x)＝2ax，∴f′(1)＝2a＝2，∴a＝1.【答案】14.曲線f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋5在x＝1處的切線的傾斜角為________.【解析】f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，故切線的傾斜角為eq\f(3π,4).【答案】