2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理2排列第2課時(shí)排列的應(yīng)用學(xué)案2-3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE20學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第2課時(shí)排列的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1。進(jìn)一步加深對排列概念的理解。2.掌握幾種有限制條件的排列，能應(yīng)用排列數(shù)公式解決簡單的實(shí)際問題．知識點(diǎn)排列及其應(yīng)用1．排列數(shù)公式Aeq\o\al（m，n)＝n（n－1)（n－2）…(n－m＋1)（n,m∈N＋，m≤n）＝eq\f（n！，n－m！)。Aeq\o\al(n,n)＝n（n－1)（n－2)…2·1＝n！(叫做n的階乘)．另外，我們規(guī)定0！＝1。2．應(yīng)用排列與排列數(shù)公式求解實(shí)際問題中的計(jì)數(shù)問題的基本步驟類型一無限制條件的排列問題例1（1)有7本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)有7種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法?反思與感悟典型的排列問題，用排列數(shù)計(jì)算其排列方法數(shù)；若不是排列問題，需用分步乘法計(jì)數(shù)原理求其方法種數(shù)．排列的概念很清楚，要從“n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素”．即在排列問題中元素不能重復(fù)選取，而在用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的問題中,元素可以重復(fù)選取．跟蹤訓(xùn)練1某信號兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號,每次可以任掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，則一共可以表示多少種不同的信號？類型二排隊(duì)問題命題角度1元素“相鄰"與“不相鄰”問題例23名男生,4名女生，這7個(gè)人站成一排在下列情況下,各有多少種不同的站法．(1)男、女各站在一起;(2）男生必須排在一起；(3)男生不能排在一起；（4）男生互不相鄰，且女生也互不相鄰．反思與感悟處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應(yīng)遵循“先整體，后局部"的原則．元素相鄰問題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”為一個(gè)大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列．元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素．跟蹤訓(xùn)練2排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單．（1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種?（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？（3)5個(gè)歌唱節(jié)目中A，B必須相鄰，C，D，E也必須相鄰，則排列的方法有多少種？命題角度2定序問題例37人站成一排．（1)甲必須在乙的前面(不一定相鄰），則有多少種不同的排列方法?(2)甲、乙、丙三人自左向右的順序不變（不一定相鄰)，則有多少種不同的排列方法?反思與感悟這類問題的解法是采用分類法．n個(gè)不同元素的全排列有Aeq\o\al（n,n)種排法，m個(gè)不同元素的全排列有Aeq\o\al（m，m）種排法．因此Aeq\o\al（n，n)種排法中，關(guān)于m個(gè)元素的不同分法有Aeq\o\al(m,m）類,而且每一種分類的排法數(shù)是一樣的．當(dāng)這m個(gè)元素順序確定時(shí)，共有eq\f（A\o\al（n，n），A\o\al（m,m）)種排法．跟蹤訓(xùn)練37名師生排成一排照相，其中老師1人,女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按從高到低的順序站，有多少種不同的站法?命題角度3特殊元素與特殊位置問題例4從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問題：（1)甲不在首位的排法有多少種？（2）甲既不在首位，又不在末位的排法有多少種？（3)甲與乙既不在首位又不在末位的排法有多少種？(4)甲不在首位，同時(shí)乙不在末位的排法有多少種？反思與感悟“在”與“不在”排列問題解題原則及方法(1)原則:解“在”與“不在”的有限制條件的排列問題時(shí)，可以從元素入手也可以從位置入手,原則是誰特殊誰優(yōu)先．（2）方法：從元素入手時(shí)，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，從位置入手時(shí)，先安排特殊位置，再安排其他位置．提醒：解題時(shí)，或從元素考慮，或從位置考慮，都要貫徹到底．不能一會考慮元素，一會考慮位置，造成分類、分步混亂，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．跟蹤訓(xùn)練4某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育,最后一節(jié)不排數(shù)學(xué),那么共有多少種不同的排課程表的方法？類型三數(shù)字排列問題例5用0,1，2,3，4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的(1)能被5整除的五位數(shù)；（2）能被3整除的五位數(shù);（3）若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列{an｝，則240135是第幾項(xiàng)．反思與感悟數(shù)字排列問題是排列問題的重要題型，解題時(shí)要著重注意從附加受限制條件入手分析，找出解題的思路．常見附加條件有:（1）首位不能為0.（2）有無重復(fù)數(shù)字．（3)奇偶數(shù)．（4）某數(shù)的倍數(shù)．(5）大于(或小于）某數(shù)．跟蹤訓(xùn)練5（1)由數(shù)字0，1，2,3，4,5組成的奇偶數(shù)字相間且無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)有多少個(gè)?（2)由0，1，2，3,4,5六個(gè)數(shù)字組成的六位數(shù)中，數(shù)字1排在奇數(shù)位上的數(shù)有多少個(gè)？（注：本題中提到的“奇數(shù)位”按從最高位開始從左到右依次為奇數(shù)位、偶數(shù)位來理解)1．6位選手依次演講，其中選手甲不排在第一個(gè)也不排在最后一個(gè)演講,則不同的演講次序共有（)A．240種B．360種C．480種D．720種2．有6道選擇題，答案分別為A，B，C，D，D，D,在安排題目順序時(shí)，要求3道選D的題目任意兩道不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為(）A．72B．144C．288D．363．計(jì)劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一列陳列，要求同一種畫必須連在一起,并且水彩畫不能放在兩端，那么不同的陳列方式的種數(shù)為（）A．Aeq\o\al(2，2)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al（5，5) B．Aeq\o\al(2，3）Aeq\o\al（4,4）Aeq\o\al(5，5）C．Aeq\o\al（4,4）Aeq\o\al(5,5）Aeq\o\al（3，3） D．Aeq\o\al（4，4）Aeq\o\al(5,5）4．從6名短跑運(yùn)動員中選出4人參加4×100m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒，問共有________種參賽方案．5．用數(shù)字0,1,2,3,4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字,并且比20000大的五位偶數(shù)共________個(gè)．求解排列問題的主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列,同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后,再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法答案精析知識梳理知識點(diǎn)1．n（n－1）(n－2）…(n－m＋1)eq\f（n!,n－m！)n(n－1）(n－2）…2·1n！1題型探究類型一例1解（1)從7本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，相當(dāng)于從7個(gè)元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，所以共有Aeq\o\al(3,7)＝7×6×5＝210（種）不同的送法．（2)從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有7×7×7＝343(種)不同的送法．跟蹤訓(xùn)練1解第1類:掛1面旗表示信號，有Aeq\o\al(1，3）種不同的方法；第2類：掛2面旗表示信號，有Aeq\o\al(2，3)種不同的方法;第3類：掛3面旗表示信號，有Aeq\o\al（3,3)種不同的方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,得可以表示的信號共有Aeq\o\al（1,3）＋Aeq\o\al（2，3）＋Aeq\o\al（3，3）＝3＋3×2＋3×2×1＝15(種）．例2解（1)(相鄰問題捆綁法)男生必須站在一起,即把3名男生進(jìn)行全排列,有Aeq\o\al(3,3）種排法，女生必須站在一起，即把4名女生進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(4,4）種排法，全體男生、女生各看作一個(gè)元素全排列有Aeq\o\al(2，2)種排法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有Aeq\o\al（3，3)·Aeq\o\al(4,4）·Aeq\o\al(2,2)＝288(種)排法．(2）(捆綁法）把所有男生看作一個(gè)元素，與4名女生組成5個(gè)元素全排列，故有Aeq\o\al(3，3）·Aeq\o\al(5，5)＝720（種）不同的排法．（3)(不相鄰問題插空法）先排女生有Aeq\o\al(4,4）種排法,把3名男生安排在4名女生隔成的5個(gè)空中，有Aeq\o\al(3，5)種排法,故有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440（種)不同的排法．(4)先排男生有Aeq\o\al（3，3）種排法．讓女生插空，有Aeq\o\al(3，3)Aeq\o\al（4，4）＝144（種)不同的排法．跟蹤訓(xùn)練2解(1)先排歌唱節(jié)目有Aeq\o\al(5，5)種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)空位，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有Aeq\o\al(4,6)種方法，所以任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有Aeq\o\al（5，5）·Aeq\o\al（4,6)＝43200(種)方法．（2)先排舞蹈節(jié)目有Aeq\o\al(4，4）種方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目放入．所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有Aeq\o\al（4，4）·Aeq\o\al(5，5）＝2880(種）方法．（3）將AB捆綁一起，CDE也捆綁一起，應(yīng)用捆綁法共有Aeq\o\al(2，2）Aeq\o\al（3,3）Aeq\o\al(6,6)＝8640（種）方法．例3解（1）甲在乙前面的排法種數(shù)占全體全排列種數(shù)的一半，故有eq\f(A\o\al(7,7）,A\o\al(2，2）)＝2520(種）不同的排法．(2）甲、乙、丙自左向右的順序保持不變，即甲、乙、丙自左向右順序的排法種數(shù)占全體全排列種數(shù)的eq\f(1，A\o\al（3,3)).故有eq\f（A\o\al(7,7)，A\o\al(3，3))＝840（種)不同的排法．跟蹤訓(xùn)練3解7人全排列中，4名男生不考慮身高順序的站法有Aeq\o\al（4,4）種，而由高到低有從左到右和從右到左的不同的站法，所以共有2·eq\f(A\o\al(7,7）,A\o\al（4,4））＝420（種)不同的站法．例4解(1）方法一把同學(xué)作為研究對象．第一類：不含甲，此時(shí)只需從甲以外的其他6名同學(xué)中取出5名放在5個(gè)位置上，有Aeq\o\al(5,6)種．第二類：含有甲，甲不在首位：先從4個(gè)位置中選出1個(gè)放甲,再從甲以外的6名同學(xué)中選出4名排在沒有甲的位置上，有Aeq\o\al(4，6)種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,含有甲時(shí)共有4×Aeq\o\al（4，6)種排法．由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al（5，6）＋4×Aeq\o\al（4,6）＝2160(種）排法．方法二把位置作為研究對象．第一步,從甲以外的6名同學(xué)中選1名排在首位，有Aeq\o\al（1,6）種方法．第二步，從占據(jù)首位以外的6名同學(xué)中選4名排在除首位以外的其他4個(gè)位置上,有Aeq\o\al（4，6）種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得共有Aeq\o\al（1，6)·Aeq\o\al（4，6)＝2160（種）排法．方法三（間接法)：即先不考慮限制條件,從7名同學(xué)中選出5名進(jìn)行排列，然后把不滿足條件的排列去掉．不考慮甲不在首位的要求,總的可能情況有Aeq\o\al（5,7）種；甲在首位的情況有Aeq\o\al(4,6)種，所以符合要求的排法有Aeq\o\al(5,7）－Aeq\o\al（4，6)＝2160（種)．（2)把位置作為研究對象，先滿足特殊位置．第一步,從甲以外的6名同學(xué)中選2名排在首末2個(gè)位置上，有Aeq\o\al（2,6）種方法．第二步，從未排上的5名同學(xué)中選出3名排在中間3個(gè)位置上，有Aeq\o\al（3,5)種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有Aeq\o\al(2,6）·Aeq\o\al(3,5）＝1800（種)方法．(3)把位置作為研究對象．第一步，從甲、乙以外的5名同學(xué)中選2名排在首末2個(gè)位置，有Aeq\o\al（2，5）種方法．第二步,從未排上的5名同學(xué)中選出3名排在中間3個(gè)位置上，有Aeq\o\al(3，5）種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(2,5）·Aeq\o\al（3，5）＝1200（種）方法．（4）用間接法．總的可能情況是Aeq\o\al（5,7)種,減去甲在首位的Aeq\o\al（4,6）種，再減去乙在末位的Aeq\o\al（4，6）種．注意到甲在首位同時(shí)乙在末位的情況被減去了兩次，所以還需補(bǔ)回一次Aeq\o\al（3,5)種，所以共有Aeq\o\al（5,7）－2Aeq\o\al（4,6)＋Aeq\o\al（3，5）＝1860(種)排法．跟蹤訓(xùn)練4解6門課總的排法是Aeq\o\al(6，6），其中不符合要求的可分為體育排在第一節(jié)，有Aeq\o\al(5,5)種排法；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，有Aeq\o\al(5，5)種排法，但這兩種方法,都包括體育排在第一節(jié)，數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，這種情況有Aeq\o\al(4，4)種排法．因此符合條件的排法有Aeq\o\al(6,6）－2Aeq\o\al(5，5）＋Aeq\o\al(4,4)＝504（種)．例5解（1)個(gè)位上的數(shù)字必須是0或5.個(gè)位上是0，有Aeq\o\al(4,5）個(gè);個(gè)位上是5，若不含0，則有Aeq\o\al（4，4)個(gè);若含0，但0不作首位，則0的位置有Aeq\o\al（1,3)種排法,其余各位有Aeq\o\al（3,4)種排法,故共有Aeq\o\al（4,5)＋Aeq\o\al（4,4)＋Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4）＝216（個(gè)）能被5整除的五位數(shù)．（2）能被3整除的條件是各位數(shù)字之和能被3整除，則5個(gè)數(shù)可能有｛1，2，3,4,5}和｛0，1，2，4，5}兩種情況,能夠組成的五位數(shù)分別有Aeq\o\al（5，5)個(gè)和Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4，4）個(gè)．故能被3整除的五位數(shù)有Aeq\o\al(5,5）＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al（4，4）＝216(個(gè))．(3)由于是六位數(shù),首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有Aeq\o\al（5,5)個(gè)數(shù)，首位數(shù)字為2，萬位上為0,1,3中的一個(gè),有3Aeq\o\al（4，4)個(gè)數(shù)，∴240135的項(xiàng)數(shù)是Aeq\o\al(5,5)＋3Aeq\o\al(4,4）＋1＝193，即240135是數(shù)列的第193項(xiàng)．跟蹤訓(xùn)練5解（1)第一類，首位為奇數(shù)的奇偶數(shù)字相間且無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)．第一步：把1,3，5三個(gè)數(shù)排列在奇數(shù)位上，有Aeq\o\al（3，3）種方法．第二步：把0,2，4三個(gè)數(shù)排列在偶數(shù)位上,有Aeq\