第4章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

第4章

連續(xù)時(shí)間信號(hào)與LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.1雙邊拉普拉斯變換(LT)4.2單邊LT4.3LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)復(fù)頻域(LT)分析4.4LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬

4.5

LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零極圖.穩(wěn)定性及因果性4.1雙邊拉普拉斯變換(LT)p924.1.1由FT引入雙邊LTp92FT要求函數(shù)f(t)滿足狄里赫利條件，即要求信號(hào)f(t)絕對(duì)可積：4.1.2雙邊LT的定義p94定義f(t)又稱為原函數(shù)，F(xiàn)(s)稱為象函數(shù)（1）單位階躍信號(hào)的雙邊LT即：stu1)(?σ：（0，∞）（2）單位沖激信號(hào)的雙邊LT即：[]1)()()(-∞===ò￥-dtettsFstddLσ：（-∞，∞）（3）因果指數(shù)信號(hào)的雙邊LT即：4.1.3雙邊LT的收斂域p95使連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)的拉普拉斯變換存在的S的范圍稱為f(t)的LTF(s)的收斂域。在S平面上用陰影表示。（1）雙邊LT的收斂域是S平面上的一個(gè)帶σ：(α，β)。F(s)既有區(qū)左極點(diǎn)pj（位于收斂域左方），又有區(qū)右極點(diǎn)p’j。區(qū)左極點(diǎn)pj是因果分量f(t)u(t)的貢獻(xiàn)，區(qū)右極點(diǎn)p’j是反因果分量f(t)u(-t)的貢獻(xiàn)。收斂邊界:α=Re（pj）max，β=Re（pj’）min圖4-1雙邊信號(hào)的LT的收斂域wj0sαβ（2）因果信號(hào)的收斂域是S平面的某一右半開平面σ：(α，∞)，全部極點(diǎn)均為區(qū)左極點(diǎn)pj

，收斂邊界α=Re（pj）max圖4-2因果信號(hào)的LT的收斂域wj0sa（3）反因果信號(hào)的收斂域是S平面上的一個(gè)左半開平面σ：(-∞，β)。全部極點(diǎn)均為區(qū)右極點(diǎn)p’j

。收斂邊界β=Re（p’j）min圖4-3反因果信號(hào)的LT的收斂域0swjβ（4）時(shí)限信號(hào)的收斂域是全S平面即σ：(-∞，

∞）。4.1.4雙邊LT與FT的關(guān)系p974.1.5雙邊拉氏變換的性質(zhì)（1）雙邊LT的線性特性p98（2）雙邊LT的時(shí)移（延時(shí)）特性p98此性質(zhì)說明，若時(shí)域波形延遲了t0，則它的拉氏變換應(yīng)乘以（3）雙邊LT的尺度變換特性p100（4）雙邊LT的復(fù)頻移特性p99（6）雙邊LT的時(shí)域微分特性p103（7）雙邊LT的時(shí)域積分特性p106（5）時(shí)域卷積定理p102*（8）復(fù)頻域卷積定理4.1.6拉普拉斯反變換p1074.2

單邊拉氏變換p1104.2.1．單邊LT的定義p110單邊LT的收斂域是S平面某一右半開平面，全部極點(diǎn)均為區(qū)左極點(diǎn)，即4.2.2．單邊LT的性質(zhì)p110單邊LT除具雙邊LT的全部性質(zhì)外，單邊LT還具有如下性質(zhì)：1復(fù)頻域微分特性p110*6.復(fù)頻域積分特性4.周期信號(hào)的單邊LTp115一切周期信號(hào)的雙邊LT均不存在證明：2單邊LT時(shí)域微分特性p1123.始值定理和初值定理p114終值定理*5.單邊LT時(shí)域積分特性拉氏反變換例：已知求其拉氏反變換。解：對(duì)F(s)進(jìn)行長(zhǎng)除運(yùn)算，4.3

LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)復(fù)頻域(LT)分析

p117返回首頁(yè)4.3.1LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)p1171、系統(tǒng)函數(shù)H(s)的定義設(shè)LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)輸入f(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為yf(t)，則定義系統(tǒng)函數(shù)H(s)為：2、h(t)、H(ω)和

H(s)的關(guān)系：3、系統(tǒng)函數(shù)的求解方法：（1）根據(jù)H（s）的定義，對(duì)系統(tǒng)微分方程取拉氏變換，并求得（2）根據(jù)系統(tǒng)時(shí)域沖激響應(yīng)h(t)，求其拉氏氏變換，即（3）根據(jù)電路的S域模型，應(yīng)用電路分析的理論方法，求出響應(yīng)象函數(shù)和激勵(lì)象函數(shù)的比。（4）根據(jù)系統(tǒng)模擬圖，求出輸入象函數(shù)與輸出象函數(shù)的比。

4.3.2LTi連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)對(duì)無(wú)時(shí)限指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)p120

4.3.3

LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的復(fù)頻域分析法p1204.3.4用單邊拉氏變換解微分方程p125(1)對(duì)微分方程取單邊LT，自動(dòng)引入初始條件，化微分方程為代數(shù)方程。(2)解該代數(shù)方程得響應(yīng)的LT

y(s)。(3)取反LT得響應(yīng)y(t)。例4-1、描述LTI系統(tǒng)的微分方程為：2y”(t)+5y’(t)+3y(t)=2f’(t)+8f(t)若輸入激勵(lì)f(t)=e-4tε(t)，初始狀態(tài)y(0-)=2,y’(0-)=1，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)y(t)。

解：對(duì)微分方程等式兩邊取單邊拉氏變換：經(jīng)整理后，得到響應(yīng)象函數(shù)：式中只與激勵(lì)和系統(tǒng)有關(guān)，稱其為零狀態(tài)響應(yīng)拉氏變換式，而只與系統(tǒng)起始狀態(tài)和系統(tǒng)有關(guān)，稱其為零輸入狀態(tài)響應(yīng)拉式變換式。由于，初始狀態(tài)，分別代入拉式變換式和中，得：求得待定系數(shù)A1=2

，

A2=-2

，

A3=4

，

A4=-2

。于是：所以全響應(yīng)為：如果只是求全響應(yīng)，則可以直接代入初始狀態(tài)和激勵(lì)象函數(shù)F(s)，整理后得：取拉氏反變換就可以得全響應(yīng)y(t)，結(jié)果同上。4.3.5電路的復(fù)頻域分析p1281．電路的復(fù)頻(S)域模型p128(1)．電阻元件的S域電路模型電阻元件的時(shí)域電路模型如圖4-4所示，其時(shí)域的伏安關(guān)系為：

對(duì)上式取拉氏變換，得：

（a）時(shí)域電路模型

（b）S域電路模型圖4-4電阻元件時(shí)域與S域電路模型(2)．電容元件的S域電路模型電容元件的時(shí)域電路模型如圖4-5所示，其時(shí)域的伏安特性為：或?qū)ι鲜椒謩e取拉氏變換得：或

（a）時(shí)域電路模型

（b）S域串聯(lián)電路模型

（c）S域并聯(lián)電路模型圖4-5電容元件時(shí)域與S域電路模型(3)．電感元件的S域電路模型電感元件的時(shí)域電路模型如圖4-6所示，其時(shí)域的伏安關(guān)系為：或?qū)ι鲜椒謩e取拉氏變換得：或

（a）時(shí)域電路模型

（b）S域串聯(lián)電路模型

（c）S域并聯(lián)電路模型圖4-6電感元件時(shí)域與S域電路模型2．用拉氏變換法分析電路p130(1)作電路的S域模型。(2)列方程。根據(jù)S域的KVL、KCL（在形式上與相量形式的KVL和KCL相同），應(yīng)用電路分析中的基本分析方法（節(jié)點(diǎn)法、網(wǎng)孔法等）和定理（如疊加定理、戴維南定理等），列出復(fù)頻域模型的方程。(3)求解系統(tǒng)方程，得到響應(yīng)的象函數(shù)。(4)對(duì)響應(yīng)的象函數(shù)取拉氏反變換，即得出響應(yīng)的時(shí)域解。（a）時(shí)域電路模型

（b）S域電路模型圖4-7圖4-8

（a）s域全響應(yīng)電路模型

（b）s域零輸入響應(yīng)電路模型

（c）s域零狀態(tài)電路模型圖4-9s域電路模型返回本節(jié)4.4LTI

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬p133返回首頁(yè)4.4.1子系統(tǒng)的簡(jiǎn)單連接p1331、方框圖的簡(jiǎn)單連接p133一個(gè)系統(tǒng)往往由若干子系統(tǒng)有機(jī)組合而成。子系統(tǒng)之間的連接方式一般有級(jí)聯(lián).并聯(lián)和反饋3種基本形式。如圖4_10所示。級(jí)聯(lián)H(s)=H1(s)H2(s)

H(ω)=H1(ω)H2(ω)

h(t)=h1(t)*h2(t)

并聯(lián)H(s)=H1(s)+H2(s)

H(jω)=H1(ω)+H2(ω)h(t)=h1(t)+h2(t)

(a)兩個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)

(b)

兩個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)圖4-10子系統(tǒng)的簡(jiǎn)單連接)(syF(s)H1(s))(syF(s)?H2(s)H2(s)H1(s)2、連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖用一條有方向的線段代替子系統(tǒng)方框，線段的兩端點(diǎn)（又稱節(jié)點(diǎn)）分別表示該子系統(tǒng)的輸入、輸出信號(hào)。箭頭方向是信號(hào)的傳輸方向，將系統(tǒng)函數(shù)直接寫在箭頭旁邊。加法符號(hào)也用節(jié)點(diǎn)代替，兩有向線段指向一點(diǎn)就表示相加，如遇相減，則將減號(hào)移至子系統(tǒng)函數(shù)之前。這樣構(gòu)成的圖形稱為系統(tǒng)的信號(hào)流通圖，簡(jiǎn)稱信流圖。圖4-11串、并聯(lián)信流圖H1(s)y(s)（a）串聯(lián)信流圖（b）并聯(lián)信流圖F(s)H1(s)H2(s)y(s)F(s)H2(s)3、信流圖的幾個(gè)基本名詞節(jié)點(diǎn)：每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)信號(hào)。該信號(hào)等于所有輸入信號(hào)之和，一切輸出信號(hào)均等于節(jié)點(diǎn)信號(hào)。只有信號(hào)輸入的節(jié)點(diǎn)稱為源點(diǎn)（又稱獨(dú)立節(jié)點(diǎn)）；源點(diǎn)以外的節(jié)點(diǎn)稱為非獨(dú)立節(jié)點(diǎn)。支路：節(jié)點(diǎn)之間的有向線段稱為支路。通路：支路的同向連接組成通路，又可分為環(huán)路和開路。環(huán)路中首尾節(jié)點(diǎn)重合外，其余各節(jié)點(diǎn)只出現(xiàn)一次，開路中的節(jié)點(diǎn)只出現(xiàn)一次。4.連續(xù)系統(tǒng)的信流圖分析——梅森規(guī)則（1）接觸通路：有公共節(jié)點(diǎn)的通路，稱為接觸通路。否則稱為不接觸通路；（2）切斷支路：使支路喪失功能；（3）移去節(jié)點(diǎn)：切斷與其相連的全部支路；（4）移去通路：移去其上所有節(jié)點(diǎn)。（5）信流圖行列式：其中為系統(tǒng)信流圖中所有環(huán)路系統(tǒng)函數(shù)之和;為系統(tǒng)信流圖中所有兩兩不接觸環(huán)路的系統(tǒng)函數(shù)乘積和；為系統(tǒng)信流圖中所有的三個(gè)互不接觸的環(huán)路系統(tǒng)函數(shù)乘積和；……梅森規(guī)則：提供一個(gè)不列寫方程，直接觀察寫出系統(tǒng)函數(shù)H(s)的方法。

系統(tǒng)中任意非獨(dú)立節(jié)點(diǎn)y(s)與任何一個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)F(s)之間的系統(tǒng)函數(shù)為：其中Δ(s)是系統(tǒng)行列式，Tk(s)是從F(s)到y(tǒng)(s)之間的第k條開路的系統(tǒng)函數(shù)；Δk

(s)是移去Tk(s)剩下子圖的行列式。從F(s)到y(tǒng)(s)共m條開路。圖4-12F(s)1H1(s)H2(s)H3(s)H4(s)H5(s)H6(s)H7(s)G1(s)G2(s)G3(s)-G4(s)G5(s)y(s)上圖中，Δ(s)=1-[H1G1+H1H2(-G4)

+H7(-G4)

+H3G2+H1H2H3H4G5+H5G3+H7H3H4G5]+[(H1G1)(H3G2)+(H1G1)(H5G3)+(-H1H2G4)(H5G3)+H7(-G4)(H5G3)]+[(H1G1)(H3G2)(H5G3)]T1(s)=H1H2H3H4H5H6Δ1

(s)=1T2(s)=H7H3H4H5H6Δ2

(s)=1所以：

線性時(shí)不變系統(tǒng)的模擬系統(tǒng)的模擬是采用幾種基本部件的組合形式來描述系統(tǒng)的，并使其與被模擬系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一致，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)仿真。通過計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)可以更加快捷、方便地獲得系統(tǒng)分析的結(jié)果，對(duì)于實(shí)際物理系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與調(diào)試具有重要的工程意義。4.4.2LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)模擬所用的基本部件p135系統(tǒng)除了可以抽象為數(shù)學(xué)模型以外，還可以借助一些能夠反映輸入與輸出關(guān)系的理想運(yùn)算單元的組合來表示系統(tǒng)。將這些具有某種特定運(yùn)算功能的運(yùn)算單元稱為基本部件。常用的基本部件符號(hào)及其運(yùn)算關(guān)系如圖4-14所示。

（a）加法器

（b）倍乘器)(1tf)(2tf)(tf)()()(21tftfty+=)()(tafty=aa為常數(shù)圖4-13系統(tǒng)模擬的基本部件

（c）積分器

)(tfò4.4.3線性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng)的模擬p135（1）直接實(shí)現(xiàn)形式模擬(卡爾曼形式)p135（2）級(jí)聯(lián)模擬p137（3）并聯(lián)模擬p138*（4）用倒相積分器模擬系統(tǒng)4.5LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零極圖.穩(wěn)定性及因果性p1394.5.1

LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零極圖分析p139LTI連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)零點(diǎn)：極點(diǎn)λ：將零點(diǎn)、極點(diǎn)畫于S平面上，分別用“○”“╳”表示，得到系統(tǒng)的零極圖。如遇重根，在其旁標(biāo)明重?cái)?shù)。例如某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：則該系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)圖