第十章機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩

機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩第十章§10-1諧振動(dòng)

§10-2阻尼振動(dòng)

§10-3受迫振動(dòng)共振

§10-4電磁振蕩

§10-5一維諧振動(dòng)的合成*§10-6二維諧振動(dòng)的合成*§10-7振動(dòng)的分解頻譜*§10-8非線性振動(dòng)與混沌第十章機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩簡(jiǎn)諧振動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)規(guī)律隨時(shí)間變化。一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式§10-1諧振動(dòng)忽略了質(zhì)量的彈簧+不發(fā)生形變的物體。彈簧振子：1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)例：回復(fù)力：3.動(dòng)力學(xué)特征:

據(jù)牛頓第二定律，得動(dòng)力學(xué)特征令2.力學(xué)特征：——作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受的合外力與位移成正比且反向。或4.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征:速度：加速度：位移：

——物體的加速度與位移成正比而方向相反，物體的位移按余弦規(guī)律變化。注：簡(jiǎn)諧振動(dòng)以上三特征具有等價(jià)性。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系:

1.振幅(A):

物體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。由初始條件確定

2.周期和頻率

周期：物體作一次完全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體所作完全振動(dòng)的次數(shù)。二、描述諧振動(dòng)的特征量角頻率:

物體在秒內(nèi)所作的完全振動(dòng)的次數(shù)。利用上述關(guān)系式，得諧振動(dòng)表達(dá)式：對(duì)于彈簧振子，因有，得3.相位和初相相位：決定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。初相位：t

=0

時(shí)的相位?！辔桓拍羁捎糜诒容^兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)步調(diào)上的差異。設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為二者的相位差為

a.當(dāng)

時(shí),稱兩個(gè)振動(dòng)為同相；討論：

b.當(dāng)時(shí),稱兩個(gè)振動(dòng)為反相；

c.當(dāng)

時(shí),稱第二個(gè)振動(dòng)超前第一個(gè)振動(dòng)；

d.當(dāng)時(shí),稱第二個(gè)振動(dòng)落后第一個(gè)振動(dòng)

。注意：相位可以用來(lái)比較不同物理量變化的步調(diào)。如：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度和加速度速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。存在兩個(gè)值，可根據(jù)在到之間，通常進(jìn)行取舍。4.常量和的確定根據(jù)初始條件：時(shí)，,，得旋轉(zhuǎn)矢量:一長(zhǎng)度等于振幅A的矢量在紙平面——可直觀地描述表達(dá)式中各個(gè)物理量。三、諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法內(nèi)繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其角速度與諧振動(dòng)的角頻率相等，這個(gè)矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。振動(dòng)相位逆時(shí)針?lè)较颚?/p>

M點(diǎn)在

x

軸上投影(P點(diǎn))的坐標(biāo)：

的長(zhǎng)度旋轉(zhuǎn)的角速度旋轉(zhuǎn)的方向與參考方向x的夾角xOMPx振幅A振動(dòng)圓頻率——諧振動(dòng)位移

M點(diǎn)在

x

軸上投影(P點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)速度：

——諧振動(dòng)速度兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：相位之差為采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為例題10-1

一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時(shí),物體的位移x=0.06m,且向x軸正向運(yùn)動(dòng)。求:(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式;(2)t=T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度;(3)物體從x=-0.06

m向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，到第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解:

(1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),諧振動(dòng)方程寫(xiě)為初始條件：t=0s,x0=0.06m,可得其中A=0.12m,T=2s,據(jù)初始條件

O若用旋轉(zhuǎn)矢量法求解，根據(jù)初始條件可畫(huà)出振幅的初始位置，如下圖所示。A得從而可得(2)由(1)求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得在t=T/4=0.5s時(shí)，從前面所列的表達(dá)式可得(3)當(dāng)x=-0.06m時(shí)，該時(shí)刻設(shè)為t1,得因該時(shí)刻速度為負(fù)，應(yīng)舍去，設(shè)物體在t2時(shí)刻第一次回到平衡位置，相位是因此從x=-0.06m處第一次回到平衡位置的時(shí)間：解法二：從t1時(shí)刻到t2時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為1.單擺四、幾種常見(jiàn)的諧振動(dòng)根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可得很小時(shí)（小于），可取其中動(dòng)能：勢(shì)能：以水平彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量。系統(tǒng)總的機(jī)械能：五、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量能量平均值——上述結(jié)果對(duì)任一諧振系統(tǒng)均成立。考慮到，系統(tǒng)總能量為，注意:(1)豎直放置的彈簧振子其勢(shì)能中已經(jīng)包含重力勢(shì)能。(2)振幅計(jì)算體現(xiàn)了能量守恒?！偰芰渴睾?。諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線:

§10-0教學(xué)基本要求

§10-1諧振動(dòng)

§10-2阻尼振動(dòng)

§10-3受迫振動(dòng)共振

§10-4電磁振蕩

§10-5一維諧振動(dòng)的合成*§10-6二維諧振動(dòng)的合成*§10-7振動(dòng)的分解頻譜*§10-8非線性振動(dòng)與混沌電路中電壓和電流的周期性變化稱為電磁振蕩。LC振蕩電路§10-4

電磁振蕩一、LC電路的振蕩(1)LC

回路與彈簧振子振動(dòng)的類比LC電路電磁振蕩過(guò)程設(shè)某一時(shí)刻電容器極板上電量為q,電路中電流為i，得到:LC

回路自由振蕩角頻率

Q0是電荷振幅，是振蕩初相，均由初始條件確定。將電量表達(dá)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到電流表達(dá)式：其中為電流振幅?！鲜龇治鼋Y(jié)果可知，電量和電流都作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。而且電荷和電流的振蕩頻率相同，電流的相位比電荷的相位超前，如下圖所示：將電場(chǎng)和磁場(chǎng)能量相加，并利用，得——電能和磁能均隨時(shí)間變化，但總能量守恒。設(shè)t時(shí)刻電容器極板上電量為q，相應(yīng)的電場(chǎng)能量為此刻電流為i，則線圈中的磁場(chǎng)能量為機(jī)械振動(dòng)電磁振蕩(串聯(lián)電路)位移x速度

v質(zhì)量

m勁度系數(shù)

k阻力系數(shù)

g驅(qū)動(dòng)力

F彈性勢(shì)能

kx2/2動(dòng)能

mv2/2電荷

q電流

i電感

L電容的倒數(shù)

1/C電阻R電動(dòng)勢(shì)

e電場(chǎng)能量

q2/2C磁場(chǎng)能量

Li2/2二、力電類比

§10-1諧振動(dòng)

§10-2阻尼振動(dòng)

§10-3受迫振動(dòng)共振

§10-4電磁振蕩

§10-5一維諧振動(dòng)的合成*§10-6二維諧振動(dòng)的合成*§10-7振動(dòng)的分解頻譜*§10-8非線性振動(dòng)與混沌設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與沿同一方向(x

軸)的兩個(gè)獨(dú)立的同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，兩個(gè)振動(dòng)位移為合位移：合振動(dòng)仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其方向和頻率與原來(lái)相同。一、同一直線上兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)的合成其中§10-5一維諧振動(dòng)的合成旋轉(zhuǎn)矢量法矢量沿x

軸之投影表征了合運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。1.當(dāng)兩振動(dòng)同相同相疊加，合振幅最大。討論：2.兩振動(dòng)反相反相疊加，合振幅最小。當(dāng)A1=A2

時(shí)，A=0。3.通常情況下，合振幅介于之間。和注：

對(duì)合振幅A有決定性影響兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得

當(dāng)兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率不同時(shí)，在旋轉(zhuǎn)矢量法中兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度不相同，二者的相位差與時(shí)間有關(guān)，合矢量的長(zhǎng)度和角速度都將隨時(shí)間變化。x=x1+

x2二、同一直線上兩個(gè)不同頻率的諧振動(dòng)的合成拍兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率很接近，且和——合振動(dòng)的振幅隨時(shí)間作緩慢的周期性的變化，振動(dòng)出現(xiàn)時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的拍現(xiàn)象。拍頻:單位時(shí)間內(nèi)振幅強(qiáng)弱變化的次數(shù)。因或有拍頻的形成§10-1諧振動(dòng)

§10-2阻尼振動(dòng)

§10-3受迫振動(dòng)共振

§10-4電磁振蕩

§10-5一維諧振動(dòng)的合成

§10-6二維諧振動(dòng)的合成*§10-7振動(dòng)的分解頻譜*§10-8非線性振動(dòng)與混沌兩個(gè)同頻率的相互垂直的分運(yùn)動(dòng)位移表達(dá)式：消時(shí)間參數(shù)，得——合運(yùn)動(dòng)一般是在

(

x

向)、

(

y

向)范圍內(nèi)的一個(gè)橢圓?！?0-6二維諧振動(dòng)的合成注：橢圓的性質(zhì)(方位、長(zhǎng)短軸、左右旋)在

A1、A2確定之后,主要決定于。（1）

或（2）

討論：（3）

用旋轉(zhuǎn)矢量描繪振