第一章復(fù)變函數(shù)

場(chǎng)論與復(fù)變函數(shù)通信工程學(xué)院場(chǎng)論與復(fù)變函數(shù)教學(xué)團(tuán)隊(duì)課程編號(hào)：MS1009-01課程名：場(chǎng)論與復(fù)變函數(shù)

（FieldTheoryandComplexVariableFunctions）課程性質(zhì)：必修學(xué)分/學(xué)時(shí)：3/48考核方式：平時(shí)成績(jī)+作業(yè)成績(jī)+期末考試成績(jī)教材：1.《復(fù)變函數(shù)》.西安交大高等數(shù)學(xué)教研室，第四版，北京：高等教育出版社，19962.《矢量分析與場(chǎng)論》.謝樹(shù)藝，第三版，北京：高等教育出版社，20053.《場(chǎng)論與復(fù)變函數(shù)習(xí)題冊(cè)》.西安電子科技大學(xué)場(chǎng)論與復(fù)變函數(shù)教學(xué)團(tuán)隊(duì)，2015.

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1

第八章場(chǎng)論8

第七章矢量分析7

第六章共性映射6

第五章留數(shù)5

第四章級(jí)數(shù)4

第三章復(fù)變函數(shù)的積分3

第二章解析函數(shù)2第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算

第二節(jié)復(fù)數(shù)的幾何表示

第三節(jié)復(fù)數(shù)的乘冪與方根

第四節(jié)區(qū)域

第五節(jié)復(fù)變函數(shù)

第六節(jié)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性第一節(jié)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的概念二、代數(shù)運(yùn)算三、共軛復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)的概念定義(1)設(shè)

x

和

y是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，(或者

)的數(shù)稱為復(fù)數(shù)。(2)x

和

y分別稱為復(fù)數(shù)

z的實(shí)部與虛部，并分別表示為：當(dāng)y=0時(shí)，因此，實(shí)數(shù)可以看作是復(fù)數(shù)的特殊情形。(3)當(dāng)x

=0時(shí)，稱為純虛數(shù)；就是實(shí)數(shù)。將形如其中

i

稱為虛數(shù)單位，即設(shè)與是兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果則稱與相等。它們之間只有相等與不相等的關(guān)系。相等當(dāng)且僅當(dāng)特別地，復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)不同，兩個(gè)復(fù)數(shù)(虛部不為零)不能比較大小，注一、復(fù)數(shù)的概念設(shè)與是兩個(gè)復(fù)數(shù)，(1)復(fù)數(shù)的加減法加法減法(2)復(fù)數(shù)的乘除法乘法如果存在復(fù)數(shù)z，使得則除法二、代數(shù)運(yùn)算四則運(yùn)算(3)運(yùn)算法則交換律結(jié)合律分配律二、代數(shù)運(yùn)算三、共軛復(fù)數(shù)1.共軛復(fù)數(shù)的定義設(shè)是一個(gè)復(fù)數(shù)，定義稱為

z

的共軛復(fù)數(shù)，記作。共軛復(fù)數(shù)有許多用途。注比如2.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)其中，“”可以是(2)(1)性質(zhì)三、共軛復(fù)數(shù)解(1)(2)證明復(fù)數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開(kāi)平方的情況。在很長(zhǎng)時(shí)間里，人們對(duì)這類數(shù)不能理解。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這類數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來(lái)。

附：歷史知識(shí)——虛數(shù)史話卡爾丹稱它們?yōu)椤疤摌?gòu)的量”或“詭辯的量”。他還把它

們與負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為“虛偽數(shù)”；把正數(shù)稱為“證實(shí)數(shù)”兩數(shù)的和是

10

,積是

40

,求這兩數(shù)．卡爾丹發(fā)現(xiàn)只要把

10

分成和即可

1545

年，卡爾丹第一個(gè)認(rèn)真地討論了虛數(shù)，他在《大術(shù)》中求解這樣的問(wèn)題：卡爾丹的這種處理，遭到了當(dāng)時(shí)的代數(shù)學(xué)權(quán)威韋達(dá)和他的學(xué)生哈里奧特的責(zé)難附：歷史知識(shí)——虛數(shù)史話整個(gè)十七世紀(jì)，很少有人理睬這種“虛構(gòu)的量”。僅有

極少數(shù)的科學(xué)家對(duì)其存在性問(wèn)題爭(zhēng)論不休。1632

年，笛卡爾在《幾何學(xué)》中首先把這種“虛構(gòu)的量”

改稱為“虛數(shù)”，與“實(shí)數(shù)”相對(duì)應(yīng)。同時(shí)，還給出了如

今意義下的“復(fù)數(shù)”的名稱。附：歷史知識(shí)——虛數(shù)史話到了十八世紀(jì)，虛數(shù)才開(kāi)始被關(guān)注起來(lái)。1722

年，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗給出棣莫弗定理：

其中

n

是大于零的整數(shù)。1748

年，歐拉給出了著名的公式：并證明了棣莫弗定理對(duì)

n是實(shí)數(shù)時(shí)也成立。1777

年，歐拉在遞交給彼德堡科學(xué)院的論文《微分公式》中首次使用

i來(lái)表示附：歷史知識(shí)——虛數(shù)史話十八世紀(jì)末，高斯的出現(xiàn)使得復(fù)數(shù)的地位被確立下來(lái)。1797

年，當(dāng)時(shí)年僅20歲的高斯在他的博士論文中證明了代數(shù)基本定理。高斯在證明中巧妙地給出了復(fù)數(shù)的幾何表示，使得人們直觀地理解了復(fù)數(shù)的真實(shí)意義。十九世紀(jì)中葉以后，復(fù)變函數(shù)論開(kāi)始形成，并逐漸發(fā)展成為一個(gè)龐大的數(shù)學(xué)分支。而且

n次多項(xiàng)式恰好有

n個(gè)根。任何多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域里必有根，即附：歷史知識(shí)——虛數(shù)史話附：人物介紹——高斯許多數(shù)學(xué)學(xué)科的開(kāi)創(chuàng)者和奠基人。幾乎對(duì)數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域都做出了重大貢獻(xiàn)。享有數(shù)學(xué)王子的美譽(yù)。德國(guó)數(shù)學(xué)家、

(1777～1855)高斯JohannCarlFriedrichGauss物理學(xué)家、天文學(xué)家高斯去世后，哥廷根大學(xué)對(duì)高斯的文稿進(jìn)行了整理，歷時(shí)67年，出版了《高斯全集》，共12卷。在哥廷根大學(xué)的廣場(chǎng)上，矗立著一座用白色大理石砌成的紀(jì)念碑，它的底座砌成正十七邊形，紀(jì)念碑上是高斯的青銅雕像。附：人物介紹——高斯第二節(jié)復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法二、曲線的復(fù)數(shù)方程一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法此時(shí)，x軸稱為實(shí)軸，y軸稱為虛軸。在平面上建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，定義用坐標(biāo)為

的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)從而將全體復(fù)數(shù)和平面上的全部點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，的平面稱為復(fù)平面或者這樣表示復(fù)數(shù)zz

平面。1.1復(fù)平面引進(jìn)復(fù)平面后，復(fù)數(shù)

z

與點(diǎn)

z

以及向量

z

視為同一個(gè)概念。在復(fù)平面上，從原點(diǎn)到點(diǎn)所引的向量與該復(fù)數(shù)z

也構(gòu)成一一y

實(shí)軸虛軸xO對(duì)應(yīng)關(guān)系(復(fù)數(shù)零對(duì)應(yīng)零向量)。

比如，復(fù)數(shù)的加減法等同于向量的平行四邊形法則。一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法1.1復(fù)平面將復(fù)數(shù)和向量對(duì)應(yīng)之后，除了利用實(shí)部與虛部來(lái)給定一個(gè)復(fù)數(shù)以外，還可以借y

xOxy定義設(shè)

z

是一個(gè)不為

0

的復(fù)數(shù)，(1)向量

z

的長(zhǎng)度

r稱為復(fù)數(shù)

z

的模，記為助向量的長(zhǎng)度與方向來(lái)給定一個(gè)復(fù)數(shù)。(2)向量

z

的“方向角”稱為復(fù)數(shù)

z

的輻角，記為P一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法1.1復(fù)平面1.2復(fù)數(shù)的模與輻角向量法:復(fù)數(shù)的模三角不等式幾何上oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法xy+-

兩點(diǎn)說(shuō)明(1)輻角是多值的，(2)輻角的符號(hào)約定為：逆時(shí)針取正號(hào)，順時(shí)針取負(fù)號(hào)。相互之間可相差其中

k

為整數(shù)。例如對(duì)于復(fù)數(shù)則有復(fù)數(shù)

0

的模為

0，輻角無(wú)意義。注1.2復(fù)數(shù)的模與輻角一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法由此就有如下關(guān)系：主輻角對(duì)于給定的復(fù)數(shù)

設(shè)有滿足：且則稱為復(fù)數(shù)

z

的主輻角，或輻角的主值，記作(z不在負(fù)實(shí)軸和原點(diǎn))1.2復(fù)數(shù)的模與輻角一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法(1)已知實(shí)部與虛部，求模與輻角。y

xOxy1.3相互轉(zhuǎn)換關(guān)系一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法解(1)已知實(shí)部與虛部，求模與輻角。(2)已知模與輻角，求實(shí)部與虛部。

由此引出復(fù)數(shù)的三角表示式。一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法1.3相互轉(zhuǎn)換關(guān)系y

xOxy稱為復(fù)數(shù)

z

的三角表示式。y

xOxy如圖，有定義設(shè)復(fù)數(shù)

r

是

z

的模，是z

的任意一個(gè)輻角，由一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法2.1復(fù)數(shù)的三角表示利用歐拉公式得稱為復(fù)數(shù)

z

的指數(shù)表示式。定義設(shè)復(fù)數(shù)

r

是

z

的模，是z

的任意一個(gè)輻角，但習(xí)慣上一般取為主輻角。在復(fù)數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式中，輻角不是唯一的，注一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法2.2復(fù)數(shù)的指數(shù)表示解復(fù)數(shù)z的三角表示式為復(fù)數(shù)z

的指數(shù)表示式為設(shè)乘法即兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和。模等于它們的模的乘積；2.3利用指數(shù)表示進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法設(shè)除法兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的幅角等于它們幅角的差。模等于它們的模的商；即2.3利用指數(shù)表示進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法正確理解特別注意：由于輻角的多值性，該等式兩端都是由無(wú)窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)集，等式兩端可能取的值的全體是相同的。也就是說(shuō)，對(duì)于左端的任一值，右端必有一值和它相等，反過(guò)來(lái)也一樣。分別從集合中與集合中任取一個(gè)元素(即輻角)，相加后，得到集合中的一個(gè)元素(即輻角)。也就是說(shuō)：例計(jì)算解由有附一些“簡(jiǎn)單”復(fù)數(shù)的指數(shù)形式解由有附：人物介紹——?dú)W拉如今幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字：初等幾何的歐拉線多面體的歐拉定理解析幾何的歐拉變換四次方程的歐拉解法數(shù)論中的歐拉函數(shù)微分方程的歐拉方程級(jí)數(shù)論的歐拉常數(shù)變分學(xué)的歐拉方程復(fù)變函數(shù)的歐拉公式…………附：人物介紹——?dú)W拉瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家(1707～1783)歐拉LeonhardEuler十八世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一。數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，而且把數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理領(lǐng)域。(牛頓全集

8

卷，高斯全集

12

卷)彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了47年。整理出他的研究成果多達(dá)74卷。歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家。以每年平和論文。均800

頁(yè)的速度寫(xiě)出創(chuàng)造性論文。一生共寫(xiě)下886本書(shū)籍分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學(xué)占28%，天文學(xué)占11%，彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占3%，其中附：人物介紹——?dú)W拉歐拉極其頑強(qiáng)的毅力！可以在任何不良的環(huán)境中工作。常常抱著孩子在膝上完成論文。在雙目失明以后，也沒(méi)有停止對(duì)數(shù)學(xué)的研究。在失明后的17年間，還口述了400篇左右的論文。附：人物介紹——?dú)W拉其中，N為北極，S

為南極。這樣的球面稱作復(fù)球面。對(duì)復(fù)平面上的任一點(diǎn)用直線將

點(diǎn)

相反的，球面上除

N

點(diǎn)外的任意點(diǎn)，用一直線段把點(diǎn)

和

N

連接起來(lái)，這條線的延長(zhǎng)線與復(fù)平面相交于一點(diǎn)p。即與

N點(diǎn)相連，與球面相交于點(diǎn)。p如圖，作一球面與復(fù)平面在坐標(biāo)圓點(diǎn)相切pp3.1復(fù)球面一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法定義在復(fù)數(shù)中與復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的唯一復(fù)數(shù)，稱為無(wú)窮大，記為。定義當(dāng)z點(diǎn)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，或當(dāng)無(wú)限變大時(shí)，點(diǎn)P

就無(wú)

限接近于N，即。與復(fù)球面上點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的復(fù)平面上的唯一點(diǎn)，稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。3.2無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無(wú)窮大一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法(2)(3)

法則(1)均無(wú)意義。無(wú)意義。

實(shí)部虛部是多少?問(wèn)題

模與輻角是多少?3.2無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無(wú)窮大一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法(2)不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面，或者簡(jiǎn)稱為復(fù)平面。(1)包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面；定義3.3擴(kuò)充復(fù)平面一、復(fù)數(shù)的幾種表示方法二、曲線的復(fù)數(shù)方程

如何相互轉(zhuǎn)換？(1)(2)在直角平面上在復(fù)平面上考察以原點(diǎn)為圓心、以

R

為半徑的圓周的方程。(2)在復(fù)平面上(1)在直角平面上例1指出下列方程表示的曲線解:法1.法2.解:解:解:由向量的性質(zhì)解:由幾何意義，圓的方程為?例4指出滿足下列條件的點(diǎn)z的全體所構(gòu)成的圖形.解:解:解:如圖:另解:第三節(jié)復(fù)數(shù)的乘冪與方根一、復(fù)數(shù)的乘冪二、復(fù)數(shù)的方根復(fù)數(shù)z的乘冪，設(shè)

z

是給定的復(fù)數(shù)，

n為正整數(shù)，n個(gè)

z相乘的積稱為定義一、復(fù)數(shù)的乘冪設(shè)則法則

利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到乘冪法則。即記為定義由以及復(fù)數(shù)的三角表示式可得在上式中令r=

1，則得到棣莫弗(DeMoivre)公式：

棣莫弗(DeMoivre)公式一、復(fù)數(shù)的乘冪例復(fù)數(shù)求方根是復(fù)數(shù)乘冪的逆運(yùn)算。設(shè)z是給定的復(fù)數(shù)，n是正整數(shù)，求所有滿足的復(fù)數(shù)w，稱為把復(fù)數(shù)z

開(kāi)n次方，或者稱為求復(fù)數(shù)z的n

次方根，定義記作或

復(fù)數(shù)z的

n

次方根一般是多值的。二、復(fù)數(shù)的方根

利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到開(kāi)方法則。設(shè)推導(dǎo)即得——正實(shí)數(shù)的算術(shù)根。由有二、復(fù)數(shù)的方根描述在復(fù)平面上，這

n

個(gè)根均勻地為半徑的圓周上。根的輻角是分布在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、以其中一個(gè)當(dāng)k=0，1，…，n-1時(shí)，可得n個(gè)不同的根，而k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。二、復(fù)數(shù)的方根例求解具體為：例求解方程解具體為：第四節(jié)區(qū)域一、區(qū)域的概念二、連通域設(shè)為復(fù)平面上的一點(diǎn)，定義dz0dz0(1)稱點(diǎn)集為點(diǎn)的鄰域；(2)稱點(diǎn)集為點(diǎn)的去心鄰域。一、區(qū)域的概念1.1

鄰域M設(shè)實(shí)數(shù)

M

>

0，定義(1)包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)且滿足的所有點(diǎn)的集合，稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域。(2)不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)且滿足的所有點(diǎn)的集合，稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域，也可記為1.2無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域一、區(qū)域的概念內(nèi)點(diǎn)1.3內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)與邊界點(diǎn)(1)內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)邊界點(diǎn)考慮某平面點(diǎn)集

G

以及某一點(diǎn)，(2)有外點(diǎn)(1)(2)有邊界點(diǎn)(1)不一定屬于

G

；在中，(2)既有又有邊界G

的邊界點(diǎn)的全體稱為

G的邊界。一、區(qū)域的概念1.4開(kāi)集與閉集開(kāi)集如果

G

的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，則稱

G為開(kāi)集。閉集如果

G的邊界點(diǎn)全部都屬于

G

，則稱

G為閉集。一、區(qū)域的概念1.5區(qū)域與閉區(qū)域區(qū)域平面點(diǎn)集

D

稱為一個(gè)區(qū)域，如果它滿足下列兩個(gè)條件:(1)D

是一個(gè)開(kāi)集；(2)D是連通的，閉區(qū)域區(qū)域

D

與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域,記作

D。不連通的一條折線連接起來(lái)。即

D

中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于

D連通有界區(qū)域:稱D為有界區(qū)域。一、區(qū)域的概念區(qū)域1-

2

+

i閉區(qū)域(角形)區(qū)域2.1平面曲線連續(xù)曲線:稱為復(fù)變量實(shí)參數(shù)曲線方程。光滑曲線:有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線。二、連通域考慮連續(xù)曲線簡(jiǎn)單曲線當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單曲線且簡(jiǎn)單、不閉簡(jiǎn)單、閉不簡(jiǎn)單、閉不簡(jiǎn)單、不閉或稱為若爾當(dāng)(Jardan)曲線,即無(wú)重點(diǎn)曲線即起點(diǎn)與終點(diǎn)重合2.1平面曲線二、連通域任一條簡(jiǎn)單閉曲線

C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的部分：有界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個(gè)是無(wú)界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個(gè)是它們的公共邊界。有向曲線：設(shè)

C

為平面上一條給定的光滑(或分段光滑)曲線，指定

C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正向，則

C為帶有方向的曲線，稱為有向曲線，仍記為

C。代表與

C的方向相反(即

C的負(fù)方向)的曲線。如果相應(yīng)地，

則2.1平面曲線二、連通域逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

簡(jiǎn)單閉曲線的正向一般約定為：當(dāng)曲線上的點(diǎn)

P順此方向沿曲線前進(jìn)時(shí),曲線所圍成的

區(qū)域邊界曲線的正向一般約定為：當(dāng)邊界上的點(diǎn)

P順此方向沿邊界前進(jìn)時(shí),所考察的區(qū)域有界區(qū)域始終位于

P點(diǎn)的左邊。始終位于

P

點(diǎn)的左邊。注意區(qū)域可以是多連域。2.1平面曲線二、連通域2.2單連通域與多連通域定義復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B，如果B內(nèi)的任何簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部總在B內(nèi)，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域。單連通域B，屬于B的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線，在B內(nèi)可以經(jīng)過(guò)連續(xù)的變形而縮成一點(diǎn)，而多連通域不具備這個(gè)特征。特征單連通域（無(wú)洞）多連通域（有洞）B二、連通域第五節(jié)復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的定義二、映射的概念基本概念定義—與實(shí)變函數(shù)定義相類似一、復(fù)變函數(shù)的定義一般情形下，所討論的“函數(shù)”都是指單值函數(shù)。比如

多值函數(shù)對(duì)每個(gè)有多個(gè)

w

與它對(duì)應(yīng)；比如對(duì)每個(gè)有唯一的

w

與它對(duì)應(yīng)；

單值函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的定義例如:基本概念——復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)之間的關(guān)系

一個(gè)復(fù)變函數(shù)對(duì)應(yīng)兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)——

轉(zhuǎn)化為對(duì)實(shí)變函數(shù)的研究一、復(fù)變函數(shù)的定義分開(kāi)實(shí)部與虛部即得代入得解記G*映射復(fù)變函數(shù)在幾何上被看作是

z平面上的一個(gè)平面z平面w點(diǎn)集變到

w

平面上的一個(gè)點(diǎn)集的映射(或者變換)。其中，點(diǎn)集稱為像，點(diǎn)集稱為原像。

函數(shù)、映射以及變換可視為同一個(gè)概念。Gzxywuv圖形表示——復(fù)變函數(shù)的幾何意義二、映射的概念反函數(shù)與逆映射一一映射為

w

平面上的點(diǎn)集

，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閦平面上的點(diǎn)集,函數(shù)值集合一個(gè)(或幾個(gè))點(diǎn)z，函數(shù)它稱為函數(shù)

的反函數(shù)，也稱為映射的逆映射。若映射

與它的逆映射都是單值的，則稱映射是一一映射。則

中的每個(gè)點(diǎn)

w

必將對(duì)應(yīng)著

中的按照函數(shù)的定義，在

上就確定了一個(gè)二、映射的概念解(1)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2)

區(qū)域D

可改寫(xiě)為：令則可得區(qū)域D

的像(區(qū)域)G

滿足即函數(shù)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)例因此，它把

z

平面上的兩族雙曲線分別映射成

w

平面上的兩族平行直線xy1-1-11-6-10-8-4-2246810-10-8-6-4-2uv1010-10-102468100c1c20解法1.Z法287第六節(jié)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性一、復(fù)變函數(shù)的極限二、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性定義設(shè)函數(shù)在的去心領(lǐng)域

內(nèi)有定義

,若存在復(fù)數(shù)當(dāng)時(shí)，有記作或(1)

函數(shù)在點(diǎn)可以無(wú)定義；(2)

趨向于的方式是任意的；則稱A為函數(shù)當(dāng)z趨向于z0時(shí)的極限，使得(3)若f(z)

在處有極限,其極限是唯一的一、極限注xyz0d幾何意義uvAef

(z)z

當(dāng)變點(diǎn)z

一旦進(jìn)入z0

的充分小去心鄰域時(shí),它的象點(diǎn)f(z)就落入A的一個(gè)預(yù)先給定的ε鄰域中一、極限定理一設(shè)證明如果則當(dāng)時(shí)，則必要性一、極限充分性則當(dāng)時(shí)，如果證明定理一設(shè)則一、極限意義：此定理的意義在于，復(fù)變量