層次分析法法

層次分析法法第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日

層次分析法（AHP）是美國運籌學家匹茨堡大學教授薩蒂(T.L.Saaty)于上世紀70年代初，為美國國防部研究“根據(jù)各個工業(yè)部門對國家福利的貢獻大小而進行電力分配”課題時，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)理論和多目標綜合評價方法，提出的一種層次權(quán)重決策分析方法。這種方法的特點是在對復雜的決策問題的本質(zhì)、影響因素及其內(nèi)在關(guān)系等進行深入分析的基礎(chǔ)上，利用較少的定量信息使決策的思維過程數(shù)學化，從而為多目標、多準則或無結(jié)構(gòu)特性的復雜決策問題提供簡便的決策方法。是對難于完全定量的復雜系統(tǒng)作出決策的模型和方法。第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日決策是指在面臨多種方案時需要依據(jù)一定的標準選擇某一種方案。日常生活中有許多決策問題。舉例

1.在海爾、新飛、容聲和雪花四個牌號的電冰箱中選購一種。要考慮品牌的信譽、冰箱的功能、價格和耗電量。

2.在泰山、杭州和承德三處選擇一個旅游點。要考慮景點的景色、居住的環(huán)境、飲食的特色、交通便利和旅游的費用。

3.在基礎(chǔ)研究、應(yīng)用研究和數(shù)學教育中選擇一個領(lǐng)域申報科研課題。要考慮成果的貢獻（實用價值、科學意義），可行性（難度、周期和經(jīng)費）和人才培養(yǎng)。第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日一、層次分析法概述人們在對社會、經(jīng)濟以及管理領(lǐng)域的問題進行系統(tǒng)分析時，面臨的經(jīng)常是一個由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復雜系統(tǒng)。層次分析法則為研究這類復雜的系統(tǒng)，提供了一種新的、簡潔的、實用的決策方法。層次分析法(AHP法)是一種解決多目標的復雜問題的定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。該方法將定量分析與定性分析結(jié)合起來，用決策者的經(jīng)驗判斷各衡量目標能否實現(xiàn)的標準之間的相對重要程度，并合理地給出每個決策方案的每個標準的權(quán)數(shù)，利用權(quán)數(shù)求出各方案的優(yōu)劣次序，比較有效地應(yīng)用于那些難以用定量方法解決的課題。

第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日層次分析法是社會、經(jīng)濟系統(tǒng)決策中的有效工具。其特征是合理地將定性與定量的決策結(jié)合起來，按照思維、心理的規(guī)律把決策過程層次化、數(shù)量化。是系統(tǒng)科學中常用的一種系統(tǒng)分析方法。該方法自1982年被介紹到我國以來，以其定性與定量相結(jié)合地處理各種決策因素的特點，以及其系統(tǒng)靈活簡潔的優(yōu)點，迅速地在我國社會經(jīng)濟各個領(lǐng)域內(nèi)，如工程計劃、資源分配、方案排序、政策制定、沖突問題、性能評價、能源系統(tǒng)分析、城市規(guī)劃、經(jīng)濟管理、科研評價等，得到了廣泛的重視和應(yīng)用。第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日二、層次分析法的基本原理層次分析法根據(jù)問題的性質(zhì)和要達到的總目標，將問題分解為不同的組成因素，并按照因素間的相互關(guān)聯(lián)影響以及隸屬關(guān)系將因素按不同層次聚集組合，形成一個多層次的分析結(jié)構(gòu)模型，從而最終使問題歸結(jié)為最低層(供決策的方案、措施等)相對于最高層(總目標)的相對重要權(quán)值的確定或相對優(yōu)劣次序的排定。第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日三、層次分析法的步驟和方法

運用層次分析法構(gòu)造系統(tǒng)模型時，大體可以分為以下四個步驟：

1.建立層次結(jié)構(gòu)模型

2.構(gòu)造判斷(成對比較)矩陣

3.層次單排序及其一致性檢驗

4.層次總排序及其一致性檢驗

第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日1.建立層次結(jié)構(gòu)模型將決策的目標、考慮的因素（決策準則）和決策對象按它們之間的相互關(guān)系分為最高層、中間層和最低層，繪出層次結(jié)構(gòu)圖。

最高層：決策的目的、要解決的問題。

最低層：決策時的備選方案。

中間層：考慮的因素、決策的準則。對于相鄰的兩層，稱高層為目標層，低層為因素層。下面舉例說明。第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途例.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日將決策問題分為3個或多個層次：最高層：目標層。表示解決問題的目的，即層次分析要達到的總目標。通常只有一個總目標。中間層：準則層、指標層、…。表示采取某種措施、政策、方案等實現(xiàn)預定總目標所涉及的中間環(huán)節(jié)；一般又分為準則層、指標層、策略層、約束層等。最低層：方案層。表示將選用的解決問題的各種措施、政策、方案等。通常有幾個方案可選。每層有若干元素，層間元素的關(guān)系用相連直線表示。層次分析法的思維過程的歸納層次分析法所要解決的問題是關(guān)于最低層對最高層的相對權(quán)重問題，按此相對權(quán)重可以對最低層中的各種方案、措施進行排序，從而在不同的方案中作出選擇或形成選擇方案的原則。第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日2.構(gòu)造判斷(成對比較)矩陣在確定各層次各因素之間的權(quán)重時，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而Santy等人提出：一致矩陣法，即：1.不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較。2.對此時采用相對尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，以提高準確度。心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個，即每層不要超過9個因素。判斷矩陣是表示本層所有因素針對上一層某一個因素的相對重要性的比較。判斷矩陣的元素aij用Santy的1—9標度方法給出。第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日判斷矩陣元素aij的標度方法標度含義1表示兩個因素相比，具有同樣重要性3表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素稍微重要5表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素明顯重要7表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素強烈重要9表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素極端重要2，4，6，8上述兩相鄰判斷的中值倒數(shù)因素i與j比較的判斷aij，則因素j與i比較的判斷aji=1/aij第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日設(shè)要比較各準則C1,C2,…,Cn對目標O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權(quán)向量選擇旅游地目標層O(選擇旅游地)準則層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途C1C2C3C4C5C1C2C3C4C5稍加分析就發(fā)現(xiàn)上述成對比較矩陣有問題第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日考察完全一致的情況可作為一個排序向量成對比較滿足的正互反陣A稱一致陣。

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n非零特征根n所對應(yīng)的特征向量歸一化后可作為權(quán)向量對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，Saaty等人建議用對應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w

，即一致陣性質(zhì)但允許范圍是多大？如何界定？第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日3.層次單排序及其一致性檢驗對應(yīng)于判斷矩陣最大特征根λmax的特征向量，經(jīng)歸一化(使向量中各元素之和等于1)后記為W。

W的元素為同一層次因素對于上一層次因素某因素相對重要性的排序權(quán)值，這一過程稱為層次單排序。能否確認層次單排序，需要進行一致性檢驗，所謂一致性檢驗是指對A確定不一致的允許范圍。

定理：n階一致陣的唯一非零特征根為n定理：n

階正互反陣A的最大特征根

n,當且僅當

=n時A為一致陣第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日由于λ連續(xù)的依賴于aij，則λ比n大的越多，A的不一致性越嚴重。用最大特征值對應(yīng)的特征向量作為被比較因素對上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用λ-n數(shù)值的大小來衡量A的不一致程度。定義一致性指標:CI=0，有完全的一致性CI接近于0，有滿意的一致性CI越大，不一致越嚴重第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標RI。方法為Saaty的結(jié)果如下隨機一致性指標RI則可得一致性指標隨機構(gòu)造500個成對比較矩陣第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日一致性檢驗：利用一致性指標和一致性比率<0.1及隨機一致性指標的數(shù)值表，對進行檢驗的過程。一般，當一致性比率的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，有滿意的一致性，通過一致性檢驗?？捎闷錃w一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對比較矩陣A，對aij

加以調(diào)整。時，認為定義一致性比率：第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日“選擇旅游地”中準則層對目標的權(quán)向量及一致性檢驗準則層對目標的成對比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標隨機一致性指標RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算精確計算的復雜和不必要簡化計算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。和法——取列向量的算術(shù)平均列向量歸一化求

行

和

歸

一

化精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日旅游問題(1)建模分別分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日（2）構(gòu)造成對比較矩陣第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日(3)計算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗成對比較矩陣的最大特征值表明通過了一致性驗證。故則該特征值對應(yīng)的歸一化特征向量第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日

對成對比較矩陣可以求層次總排序的權(quán)向量并進行一致性檢驗，結(jié)果如下：計算可知