2022年度遼寧省沈陽市第三十六中學高三數(shù)學理下學期期末試題含解析

2022年度遼寧省沈陽市第三十六中學高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.過拋物線的焦點F的直線交該拋物線于A、B兩點，若|AF|=3，則|BF|=(

)A.2 B. C.1 D.參考答案：B【分析】設，及，利用拋物線的定義直接求出得值，進而得到的值，即可求解.【詳解】如圖所示，設，及，則點到準線的距離為，得到，即，又由，整理得，故選B.【點睛】本題主要考查了拋物線的定義和標準方程，以及幾何性質(zhì)的應用，其中解答中熟練利用拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.2.若，則的值為(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：C3.（5分）（2015?青島一模）如圖是某體育比賽現(xiàn)場上七位評委為某選手打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（）A．5和1.6B．85和1.6C．85和0.4D．5和0.4參考答案：B【考點】：莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專題】：圖表型．【分析】：根據(jù)均值與方差的計算公式，分布計算出所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分即可．解：根據(jù)題意可得：評委為某選手打出的分數(shù)還剩84，84，84，86，87，所以所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=85，所剩數(shù)據(jù)的方差為[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]=1.6．故選B．【點評】：本題考查莖葉圖、平均數(shù)和方差，對于一組數(shù)據(jù)通常要求的是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，方差，它們分別表示一組數(shù)據(jù)的特征，這樣的問題可以出現(xiàn)在選擇題或填空題．4.已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸是，則函數(shù)

的最大值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A5.已知復數(shù)z滿足，則z=（

）A． B． C． D．參考答案：A因為，所以．6.已知，則sin2x=（

）A.

B.C.D.參考答案：C略7.已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C．

D．參考答案：A由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，，所以可得，故選A.

8.有下列關于三角函數(shù)的命題P1：?x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，則sin2x＞0；P2：函數(shù)y=sin（x﹣）與函數(shù)y=cosx的圖象相同；P3：?x0∈R，2cosx0=3；P4：函數(shù)y=|cosx|（x∈R）的最小正周期為2π，其中真命題是（）A．P1，P4 B．P2，P4 C．P2，P3 D．P1，P2參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】閱讀型；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；簡易邏輯．【分析】運用二倍角的正弦公式和同角的平方關系以及商數(shù)關系，即可化簡判斷P1；運用三角函數(shù)的誘導公式化簡，即可判斷P2；由余弦函數(shù)的值域，即可判斷P3；運用周期函數(shù)的定義，結(jié)合誘導公式，即可判斷P4．【解答】解：對于P1，?x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，則sin2x=2sinxcosx==＞0，則P1為真命題；對于P2，函數(shù)y=sin（x﹣）=sin（2π+x﹣）=sin（x+）=cosx，則P2為真命題；對于P3，由于cosx∈[﹣1，1]，?[﹣1，1]，則P3為假命題；對于P4，函數(shù)y=|cosx|（x∈R），f（x+π）=|cos（x+π）|=|﹣cosx|=|cosx|=f（x），則f（x）的最小正周期為π，則P4為假命題．故選D．【點評】本題考查全稱性命題和存在性命題的真假，以及三角函數(shù)的圖象和周期，運用二倍角公式和誘導公式以及周期函數(shù)的定義是解題的關鍵，屬于基礎題和易錯題．9.設函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間（▲）A.

B.，

C.

D.參考答案：A略10.設定義在R上的函數(shù)，滿足，為奇函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A．(1,+∞)

B．(－∞,0)∪(1,+∞)

C．(－∞,0)∪(0,+∞)

D．(0,+∞)參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三棱錐O-ABC的體積為10，OA＝3，OB＝4，，則三棱錐O-ABC的外接球的表面積為________。參考答案：50π

12.設x、y滿足約束條件，若目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，當+的最小值為m時，則y=sin（mx+）的圖象向右平移后的表達式為．參考答案：y=sin2x【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；簡單線性規(guī)劃． 【分析】首先根據(jù)線性規(guī)劃問題和基本不等式求出函數(shù)的最值，再利用正弦型函數(shù)的圖象變換問題，求出結(jié)果． 【解答】解：設x、y的線性約束條件 解得A（1，1）目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2 即：a+b=2 所以： 則：則y=sin（2x+）的圖象向右平移后的表達式為：y=sin2x 故答案為：y=sin2x 【點評】本題考查的知識要點：線性規(guī)劃問題，基本不等式的應用，正弦型函數(shù)的圖象變換問題，屬于基礎題型． 13.在平面直角坐標系中，若不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于1，則a的值為

．參考答案：1題意得直線過定點．①當a<0時，不等式組所表示的平面區(qū)域為上圖中的M，一個無限的角形區(qū)域，面積不可能為2，故a<0不合題意；②當a≥0時，不等式組所表示的平面區(qū)域為上圖中的N，為三角形區(qū)域．若這個三角形的面積為1，則有AB=2，所以點B的坐標為(1,2)，代入，得a=1．

14.設長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為

；參考答案：略15.設正三棱柱的所有頂點都在一個球面上，且該正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為2，則該球的表面積為________．參考答案：8π略16.已知菱形ABCD的一條對角線BD長為2，點E為AD上一點且滿足，點F為CD的中點，若，則________.參考答案：-7由題意可知，故.17.設實數(shù)x，y滿足，則2y﹣x的最大值為

．參考答案：5【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出可行域，將目標函數(shù)變形畫出相應的直線，將直線平移至A時縱截距最大，z最大．【解答】解：畫出，的可行域如圖：將z=2y﹣x變形為y=x+z作直線y=x將其平移至A時，直線的縱截距最大，z最大，由可得A（﹣1，2），z的最大值為：5．故答案為：5．【點評】利用線性規(guī)劃求函數(shù)的最值時，關鍵是將目標函數(shù)賦予幾何意義．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C1的極坐標方程為ρ2=，直線l的極坐標方程為ρ=．（Ⅰ）寫出曲線C1與直線l的直角坐標方程；（Ⅱ）設Q為曲線C1上一動點，求Q點到直線l距離的最小值．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程．【專題】坐標系和參數(shù)方程．【分析】（Ⅰ）根據(jù)互化公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，將極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程．（Ⅱ）設出Q點坐標，Q，再根據(jù)點到直線的距離公式求出最小值．【解答】（Ⅰ）以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρ2=，直線l的極坐標方程為ρ=，根據(jù)ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，則C1的直角坐標方程為x2+2y2=2，直線l的直角坐標方程為．（Ⅱ）設Q，則點Q到直線l的距離為=，當且僅當，即（k∈Z）時取等號．∴Q點到直線l距離的最小值為．【點評】本題考查了極坐標方程和直角坐標系中一般方程的轉(zhuǎn)化，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，題目難度不大；另外第二問中對橢圓的參數(shù)方程也有考查，然后將問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題，即化成同一個角的三角函數(shù)并求出其最小值．19.2016年射陽縣洋馬鎮(zhèn)政府決定投資8千萬元啟動“鶴鄉(xiāng)菊?！庇^光旅游及菊花產(chǎn)業(yè)項目．規(guī)劃從2017年起，在相當長的年份里，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此項目.2016年該項目的凈收入為5百萬元（含旅游凈收入與菊花產(chǎn)業(yè)凈收入），并預測在相當長的年份里，每年的凈收入均為上一年的1.5倍．記2016年為第1年，f（n）為第1年至此后第n（n∈N*）年的累計利潤（注：含第n年，累計利潤=累計凈收入﹣累計投入，單位：千萬元），且當f（n）為正值時，認為該項目贏利．（1）試求f（n）的表達式；（2）根據(jù)預測，該項目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：()4≈5，ln2≈0.7，ln3≈1.1）參考答案：【考點】數(shù)列的應用．【分析】（1）由題意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累計投入為8+2（n﹣1）（千萬元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累計凈收入為，利用等比數(shù)列的求和公式可得f（n）．（2）方法一：由f（n+1）﹣f（n）=，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．方法二：設，求導利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．【解答】解：（1）由題意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累計投入為8+2（n﹣1）=2n+6（千萬元），…第1年至此后第n（n∈N*）年的累計凈收入為=（千萬元）．…所以（千萬元）．…（2）方法一：因為=，所以當n≤3時，f（n+1）﹣f（n）＜0，故當n≤4時，f（n）遞減；當n≥4時，f（n+1）﹣f（n）＞0，故當n≥4時，f（n）遞增．…又，，．所以，該項目將從第8年開始并持續(xù)贏利．…答：該項目將從2023年開始并持續(xù)贏利．…方法二：設，則，令f'（x）=0，得，所以x≈4．從而當x∈[1，4）時，f'（x）＜0，f（x）遞減；當x∈（4，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增．…又，，．所以，該項目將從第8年開始并持續(xù)贏利．…答：該項目將從2023年開始并持續(xù)贏利．…20.（本小題滿分12分）設數(shù)列的各項都是正數(shù)，且對任意，都有，其中為數(shù)列的前項和。(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列；(2）若數(shù)列的前項和為Tn,求Tn。參考答案：（1）∵，當時，，兩式相減，得，即，又，∴.

………………4分當時,,∴,又,∴.所以,數(shù)列是以3為首項,2為公差的等差數(shù)列.

……………6分（2）由（1）,,∴.設,；∵，

∴