高中數(shù)學北師大版3第一章計數(shù)原理二項式定理 第1章二項式系數(shù)的性質(zhì)

二項式系數(shù)的性質(zhì)1．了解楊輝三角．2．掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)．(重點)3．會用賦值法求系數(shù)和．(難點)[基礎·初探]教材整理二項式系數(shù)的性質(zhì)閱讀教材P26～P27“練習”以上部分，完成下列問題．1．楊輝三角的特點(1)在同一行中每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)________．(2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”的兩個數(shù)的________，即Ceq\o\al(r,n＋1)＝________.【答案】(1)相等(2)和Ceq\o\al(r－1,n)＋Ceq\o\al(r,n)2．二項式系數(shù)的性質(zhì)對稱性在(a＋b)n展開式中，與首末兩端“________”的兩個二項式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝________增減性與最大值增減性：當k<eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)是逐漸增大的；當k>eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)是逐漸減小的．最大值：當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大；當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值各二項式系數(shù)的和(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝________.(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝________【答案】等距離Ceq\o\al(n－m,n)(1)2n(2)2n－11．已知(a＋b)n展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則n等于()A．11 B．10C．9 D．8【解析】∵只有第5項的二項式系數(shù)最大，∴eq\f(n,2)＋1＝5，∴n＝8.【答案】D2．如圖1-5-1，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第______行中從左至右第14個與第15個數(shù)的比為2∶3.圖1-5-1【解析】由已知eq\f(C\o\al(13,n),C\o\al(14,n))＝eq\f(2,3)，即eq\f(n！,n－13！·13！)×eq\f(n－14！·14！,n！)＝eq\f(2,3)，化簡得eq\f(14,n－13)＝eq\f(2,3)，解得n＝34.【答案】34[質(zhì)疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]與“楊輝三角”有關(guān)的問題如圖1-5-2，在“楊輝三角”中斜線AB的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，….記其前n項和為Sn，求S19的值．圖1-5-2【精彩點撥】由圖知，數(shù)列中的首項是Ceq\o\al(2,2)，第2項是Ceq\o\al(1,2)，第3項是Ceq\o\al(2,3)，第4項是Ceq\o\al(1,3)，……，第17項是Ceq\o\al(2,10)，第18項是Ceq\o\al(1,10)，第19項是Ceq\o\al(2,11).【自主解答】S19＝(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2))＋(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3))＋(Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,4))＋…＋(Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(1,10))＋Ceq\o\al(2,11)＝(Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋…＋Ceq\o\al(1,10))＋(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋…＋Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(2,11))＝(2＋3＋4＋…＋10)＋Ceq\o\al(3,12)＝eq\f(2＋10×9,2)＋220＝274.“楊輝三角”問題解決的一般方法觀察—分析；試驗—猜想；結(jié)論—證明，要得到楊輝三角中蘊含的諸多規(guī)律，取決于我們的觀察能力，觀察能力有：橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多角度觀察．如表所示：[再練一題]1．如圖1-5-3所示，滿足如下條件：①第n行首尾兩數(shù)均為n；②表中的遞推關(guān)系類似“楊輝三角”．則第10行的第2個數(shù)是________，第n行的第2個數(shù)是________．圖1-5-3【解析】由圖表可知第10行的第2個數(shù)為：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2個數(shù)為：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝eq\f(nn－1,2)＋1＝eq\f(n2－n＋2,2).【答案】46eq\f(n2－n＋2,2)求展開式的系數(shù)和設(1－2x)2017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2017·x2017(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2017的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2017的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2017|的值．【精彩點撥】先觀察所求式子與展開式各項的特點，利用賦值法求解．【自主解答】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2017＝(－1)2017＝－1.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2017＝32017.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2017)＝－1－32017，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝eq\f(－1－32017,2).(3)∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,2017)(－2x)r＝(－1)r·Ceq\o\al(r,2017)·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N＋)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2017|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2017＝32017.1．解決二項式系數(shù)和問題思維流程．2．“賦值法”是解決二項展開式中項的系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同值．一般地，要使展開式中項的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系，令x＝0可得常數(shù)項，令x＝1可得所有項系數(shù)之和，令x＝－1可得偶次項系數(shù)之和與奇次項系數(shù)之和的差．[再練一題]2．已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，則a2＋a3＋…＋a9＋a10的值為()A．－20 B．0C．1 D．20【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝Ceq\o\al(9,10)×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.【答案】D[探究共研型]二項式系數(shù)性質(zhì)的應用探究1根據(jù)楊輝三角的特點，在楊輝三角同一行中與兩個1等距離的項的系數(shù)相等，你可以得到二項式系數(shù)的什么性質(zhì)？【提示】對稱性，因為Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，也可以從f(r)＝Ceq\o\al(r,n)的圖象中得到．探究2計算eq\f(C\o\al(k,n),C\o\al(k－1,n))，并說明你得到的結(jié)論．【提示】eq\f(C\o\al(k,n),C\o\al(k－1,n))＝eq\f(n－k＋1,k).當k<eq\f(n＋1,2)時，eq\f(C\o\al(k,n),C\o\al(k－1,n))>1，說明二項式系數(shù)逐漸增大；同理，當k>eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)逐漸減小．探究3二項式系數(shù)何時取得最大值？【提示】當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當n是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最大值．已知f(x)＝(eq\r(3,x2)＋3x2)n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項．【精彩點撥】求二項式系數(shù)最大的項，利用性質(zhì)知展開式中中間項(或中間兩項)是二項式系數(shù)最大的項；求展開式中系數(shù)最大的項，必須將x，y的系數(shù)均考慮進去，包括“＋”“－”號．【自主解答】令x＝1，則二項式各項系數(shù)的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5為奇數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項，它們分別是T3＝Ceq\o\al(2,5)()3(3x2)2＝90x6，T4＝Ceq\o\al(3,5)()2(3x2)3＝270.(2)展開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)3r·．假設Tr＋1項系數(shù)最大，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,5)3r≥C\o\al(r－1,5)·3r－1，,C\o\al(r,5)3r≥C\o\al(r＋1,5)·3r＋1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5！,5－r！r！)×3≥\f(5！,6－r！r－1！)，,\f(5！,5－r！r！)≥\f(5！,4－r！r＋1！)×3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,r)≥\f(1,6－r)，,\f(1,5－r)≥\f(3,r＋1).))∴eq\f(7,2)≤r≤eq\f(9,2)，∵r∈N＋，∴r＝4.∴展開式中系數(shù)最大的項為T5＝Ceq\o\al(4,5)(3x2)4＝405.1．求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大；當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大．2．求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況，一般采用列不等式組，解不等式的方法求得．[再練一題]3．已知(a2＋1)n展開式中的各項系數(shù)之和等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5的展開式的常數(shù)項，而(a2＋1)n的展開式的系數(shù)最大的項等于54，求a的值．【解】由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5，得Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2))5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))5－r·Ceq\o\al(r,5)·，令Tr＋1為常數(shù)項，則20－5r＝0，所以r＝4，常數(shù)項T5＝Ceq\o\al(4,5)×eq\f(16,5)＝16.又(a2＋1)n展開式中的各項系數(shù)之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.所以(a2＋1)4展開式中系數(shù)最大項是中間項T3＝Ceq\o\al(2,4)a4＝54，所以a＝±eq\r(3).[構(gòu)建·體系]1．(1＋x)2n＋1的展開式中，二項式系數(shù)最大的項所在項數(shù)是()A．n，n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3【解析】該展開式共2n＋2項，中間兩項為第n＋1項與第n＋2項，所以第n＋1項與第n＋2項為二項式系數(shù)最大的項．【答案】C2．已知Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝729，則Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)的值等于()A．64 B．32C．63 D．31【解析】Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(5,6)＝32.【答案】B3．若(x＋3y)n的展開式中各項系數(shù)的和等于(7a＋b)10的展開式中二項式系數(shù)的和，則n【解析】(7a＋b)10的展開式中二項式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210，令(x＋3y)n中x＝y(tǒng)＝1，則由題設知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.【答案】54．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，則a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________.【導學號：62690023】【解析】(a－x)5展開式的通項為Tk＋1＝(－1)kCeq\o\al(k,5)·a5－kxk，令k＝2，得a2＝(－1)2Ceq\o\al(2,5)a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.【答案】15．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f