高中數(shù)學(xué) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)16 新人教A必修4

人教A版高中數(shù)學(xué)必修4.正弦函數(shù)、

余弦函數(shù)的性質(zhì).y=sinx,x∈RxyO-11π2π-π-2π-3π3π4π-4πyy=cosx,x∈RxO-114π-4π.(1)周期性對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有

f(x+T)=f(x)那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期..正弦函數(shù)是周期函數(shù),2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.y=sinx,x∈RxyO-11π2π-π-2π-3π3π4π-4π.yy=cosx,x∈RxO-114π-4π余弦函數(shù)是周期函數(shù),2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π..例2求下列函數(shù)的周期:解:(1)因?yàn)?cos(x+2π)=3cosx所以由周期函數(shù)的定義可知,原函數(shù)的周期為2π(2)因?yàn)閟in2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以由周期函數(shù)的定義可知,原函數(shù)的周期為π.所以由周期函數(shù)的定義可知,原函數(shù)的周期為4π例2求下列函數(shù)的周期:.π2π4π這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)?與自變量的系數(shù)有關(guān).求下列函數(shù)的周期練習(xí).探究函數(shù)y=Asin(wx+j)及函數(shù)y=Acos(wx+j)的周期(其中A,w,j為常數(shù),且A≠0,w>0)的周期僅與自變量的系數(shù)有關(guān).如何利用自變量的系數(shù)表示上述函數(shù)的周期呢?令z=wx+j,z∈Ry=Asinz,z∈R及y=Asinz,z∈R的周期都是2π自變量x只要并且至少要增加到函數(shù)值才能重復(fù)出現(xiàn).是使等式成立的最小正數(shù)函數(shù)y=Asin(wx+j),x∈R及函數(shù)y=Acos(wx+j)x∈R的周期.思考“如果函數(shù)y=f(x)的周期是T,那么函數(shù)y=f(ωx)的周期是”能否成立？令z=ωx有y=f(z)且周期為Ty=f(ωx)的周期是.(2)奇偶性正弦函數(shù)是奇函數(shù)y=sinx,x∈RxyO-11π2π-π-2π-3π3π4π-4πyy=cosx,x∈RxO-114π-4π關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱sin(-x)=-sinx余弦函數(shù)是偶函數(shù)cos(-x)=cosx.(3)單調(diào)性x···0······π···sinxyxO1-1-1↘0↘1↗0↗-1正弦的一個(gè)周期上.正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間上都是增函數(shù),其值從-1增大到1;在每一個(gè)閉區(qū)間上都是減函數(shù),其值從1減小到-1.x-π······0······πsinx余弦的一個(gè)周期上[-π,π]yxO1-1-1↘0↘1↗0↗-1.余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間上都是增函數(shù),其值從-1增大到1;在每一個(gè)閉區(qū)間上都是減函數(shù),其值從1減小到-1.(4)最大值與最小值正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x=_____________時(shí)取得最大值1,當(dāng)且僅當(dāng)x=_____________時(shí)取得最小值-1;余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x=_____________時(shí)取得最大值1,當(dāng)且僅當(dāng)x=_______________時(shí)取得最小值-1..例3下列函數(shù)有最大值、最小值嗎?如果有,請(qǐng)寫出取最大值、最小值時(shí)的自變量x的集合,并說(shuō)出最大值、最小值分別是什么.(1)y=cosx+1,x∈R;(2)y=-3sin2x,x∈R.解:(1)使函數(shù)y=cosx+1,x∈R取得最大值的x的集合,就是使函數(shù)y=cosx,x∈R取得最大值的x的集合{x|x=2kπ,k∈Z}取最小值時(shí)x的集合{x|x=(2k+1)π,k∈Z}.(2)令z=2x,使函數(shù)y=-3sinz,z∈R取得最大值的z的集合是由因此使函數(shù)y=-3sin2x,x∈R取得最大值的x的集合取得最小值的x的集合.例4利用三角函數(shù)的單調(diào)性,比較下列各組數(shù)的大小:分析:利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小,可以用誘導(dǎo)公式將已知角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角,然后再比較大小..解:(1)因?yàn)檎液瘮?shù)y=sinx在區(qū)間上是增函數(shù),所以.(2)因?yàn)榍液瘮?shù)y=cosx,x∈[0,π]是減函數(shù),所以.例5求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間函數(shù)y