第一節(jié)微分方程

第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2/4/20231本章的主要內(nèi)容控制系統(tǒng)的微分方程-建立和求解控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖-等效變換控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖-梅遜公式脈沖響應(yīng)函數(shù)各種數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換2/4/20232概述[數(shù)學(xué)模型]描述控制系統(tǒng)變量（物理量）之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、信號(hào)流圖、頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。例如對(duì)一個(gè)微分方程，若已知初值和輸入值，對(duì)微分方程求解，就可以得出輸出量的時(shí)域表達(dá)式。據(jù)此可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。所以建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的第一步也是最重要的一步?？刂葡到y(tǒng)如按照數(shù)學(xué)模型分類的話，可以分為線性和非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)。概述2/4/20233[線性系統(tǒng)]

如果系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱其為線性系統(tǒng)。疊加原理說(shuō)明，兩個(gè)不同的作用函數(shù)同時(shí)作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于兩個(gè)作用函數(shù)單獨(dú)作用的響應(yīng)之和。線性系統(tǒng)對(duì)幾個(gè)輸入量同時(shí)作用的響應(yīng)可以一個(gè)一個(gè)地處理，然后對(duì)每一個(gè)輸入量響應(yīng)的結(jié)果進(jìn)行疊加。[線性定常系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)]

可以用線性定常（常系數(shù)）微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)是時(shí)間的函數(shù)，則這類系統(tǒng)為線性時(shí)變系統(tǒng)。宇宙飛船控制系統(tǒng)就是時(shí)變控制的一個(gè)例子（宇宙飛船的質(zhì)量隨著燃料的消耗而變化）。概述2/4/20234經(jīng)典控制理論中（我們正在學(xué)習(xí)的），采用的是單輸入單輸出描述方法。主要是針對(duì)線性定常系統(tǒng)，對(duì)此有一套完整的理論和方法。但對(duì)于非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，解決問(wèn)題的能力是極其有限的，可以在一定的近似條件下簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)。[非線性系統(tǒng)]如果系統(tǒng)不能滿足疊加原理，則系統(tǒng)是非線性的。概述下面是非線性系統(tǒng)的一些例子：典型非線性環(huán)節(jié)：飽和、滯環(huán)、間隙、干摩擦等2/4/20235

微分方程的編寫(xiě)應(yīng)根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過(guò)程中所遵循的物理定理來(lái)進(jìn)行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等，這種方法稱為用分析法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。另外一種方法是實(shí)驗(yàn)法。即人為地給系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)財(cái)?shù)學(xué)模型逼近，這種方法又成為系統(tǒng)辨識(shí)，現(xiàn)在成為一門(mén)獨(dú)立學(xué)科分支?？刂葡到y(tǒng)的微分方程第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程本節(jié)討論用分析法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。2/4/20236輸入輸出LRCi例2-1寫(xiě)出RLC串聯(lián)電路的微分方程。①②[解]：根據(jù)電路定理：由②：，代入①得：這是一個(gè)線性定常二階微分方程。2/4/20237例2-2

求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機(jī)械位移系統(tǒng)的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移x。[解]：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。mfmFF圖2圖1控制系統(tǒng)的微分方程根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：這也是一個(gè)二階定常微分方程。x為輸出量，F(xiàn)為輸入量。在國(guó)際單位制中，m,f和k的單位分別為：2/4/20238[需要討論的幾個(gè)問(wèn)題]1、相似系統(tǒng)和相似量：我們注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一樣的。這是因?yàn)椋喝袅睿姾桑?，則例2-1①式的結(jié)果變?yōu)椋嚎梢?jiàn)，同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。相似系統(tǒng)和相似量[定義]具有相同的數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。例2-1和例2-2稱為力-電荷相似系統(tǒng)，在此系統(tǒng)中，分別與為相似量。[作用]

利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個(gè)易于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來(lái)模擬相對(duì)復(fù)雜的系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)仿真研究。2/4/202392、非線性元件（環(huán)節(jié)）微分方程的線性化在經(jīng)典控制領(lǐng)域，主要研究的是線性定常控制系統(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)的微分方程，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，其最重要的特性便是可以應(yīng)用線性疊加原理，即系統(tǒng)的總輸出可以由若干個(gè)輸入引起的輸出疊加得到。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化若描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性（微分）方程，則相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，這種系統(tǒng)不能用線性疊加原理。在經(jīng)典控制領(lǐng)域?qū)Ψ蔷€性環(huán)節(jié)的處理能力是很小的。但在工程應(yīng)用中，除了含有強(qiáng)非線性環(huán)節(jié)或系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間變化較大的情況，一般采用近似的線性化方法。對(duì)于非線性方程，可在工作點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，取前面的線性項(xiàng)?？梢缘玫降刃У木€性環(huán)節(jié)。2/4/202310設(shè)具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)為:y=f(x)，若取某一平衡狀態(tài)為工作點(diǎn)，如右圖中的

。A點(diǎn)附近有點(diǎn)為

，當(dāng)很小時(shí)，AB段可近似看做線性的。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化AByx02/4/202311AByx0設(shè)f(x)在點(diǎn)連續(xù)可微，則將函數(shù)在該點(diǎn)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，得：若很小，則，即式中，K為與工作點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)，顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性近似。為了保證近似的精度，只能在工作點(diǎn)附近展開(kāi)。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化2/4/202312對(duì)于具有兩個(gè)自變量的非線性方程，也可以在靜態(tài)工作點(diǎn)附近展開(kāi)。設(shè)雙變量非線性方程為：，工作點(diǎn)為。則可近似為：式中：，。 為與工作點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)。閱讀教材例2-5求液壓伺服油缸的線性化數(shù)學(xué)模型。[注意]：⑴上述非線性環(huán)節(jié)不是指典型的非線性特性（如間隙、庫(kù)侖干摩擦、飽和特性等），它是可以用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的。⑵實(shí)際的工作情況在工作點(diǎn)附近。⑶變量的變化必須是小范圍的。其近似程度與工作點(diǎn)附近的非線性情況及變量變化范圍有關(guān)。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化2/4/2023133.線性系統(tǒng)微分方程的編寫(xiě)步驟：⑴確定系統(tǒng)和各元部件的輸入量和輸出量。⑵對(duì)系統(tǒng)中每一個(gè)元件列寫(xiě)出與其輸入、輸出量有關(guān)的物理的方程。⑶對(duì)上述方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，比如略去一些對(duì)系統(tǒng)影響小的次要因素，對(duì)非線性元部件進(jìn)行線性化等。⑷從系統(tǒng)的輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系的微分方程。線性系統(tǒng)微分方程的編寫(xiě)步驟2/4/202314例2-6編寫(xiě)下圖所示的速度控制系統(tǒng)的微分方程。負(fù)載-+-+功率放大器測(cè)速發(fā)電機(jī)[解]：⑴該系統(tǒng)的組成和原理；⑵該系統(tǒng)的輸出量是，輸入量是，擾動(dòng)量是線性系統(tǒng)微分方程的編寫(xiě)例子[例2-6]2/4/202315線性系統(tǒng)微分方程的編寫(xiě)例子[例2-6]⑸消去中間變量：推出之間的關(guān)系：顯然，轉(zhuǎn)速既與輸入量有關(guān)，也與干擾有關(guān)。⑷各環(huán)節(jié)微分方程：運(yùn)放Ⅰ：，運(yùn)放Ⅱ：功率放大：，反饋環(huán)節(jié)：電動(dòng)機(jī)環(huán)節(jié)：見(jiàn)例2-4測(cè)速-運(yùn)放Ⅰ運(yùn)放Ⅱ功放電動(dòng)機(jī)⑶速度控制系統(tǒng)方塊圖：2/4/202316線性系統(tǒng)微分方程的編寫(xiě)例子[例2-6]⑴對(duì)于恒值調(diào)速系統(tǒng)，=常量，則。轉(zhuǎn)速的變化僅由負(fù)載干擾引起。增量表達(dá)式如下：⑵對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng)，則=常數(shù)，，故：根據(jù)上式可以討論輸出轉(zhuǎn)速跟隨給定輸入電壓的變化情況。⑶若和都是變化的，則對(duì)于線性系統(tǒng)應(yīng)用疊加原理分別討論兩種輸入作用引起的轉(zhuǎn)速變化，然后相加。[增量式分析](上式等號(hào)兩端取增量)：2/4/202317①定義：如果有一個(gè)以時(shí)間t為自變量的函數(shù)f(t)，它的定義域t>0，那么下式即是拉氏變換式：,式中s為復(fù)數(shù)。記作一個(gè)函數(shù)可以進(jìn)行拉氏變換的充分條件是：⑴t<0時(shí)，f(t)=0；⑵t≥0時(shí)，f(t)分段連續(xù)；⑶。F(s)—象函數(shù)，f(t)—原函數(shù)。記為反拉氏變換。復(fù)習(xí)拉氏變換4、復(fù)習(xí)拉氏變換2/4/202318⑴線性性質(zhì)：⑵微分定理：⑶積分定理：（設(shè)初值為零）⑷時(shí)滯定理：⑸初值定理：復(fù)習(xí)拉氏變換②性質(zhì)：2/4/202319⑹終值定理：⑺卷積定理：③常用函數(shù)的拉氏變換：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)：?jiǎn)挝恍逼潞瘮?shù)：?jiǎn)挝粧佄锞€函數(shù)：正弦函數(shù)：其他函數(shù)可以查閱相關(guān)表格獲得。復(fù)習(xí)拉氏變換2/4/2023205、線性方程的求解：研究控制系統(tǒng)在一定的輸入作用下，輸出量的變化情況。方法有經(jīng)典法，拉氏變換法和數(shù)字求解。在自動(dòng)系統(tǒng)理論中主要使用拉氏變換法。[拉氏變換求微分方程解的步驟]：①對(duì)微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換，將時(shí)域方程轉(zhuǎn)換為s域的代數(shù)方程。②求拉氏反變換，求得輸出函數(shù)的時(shí)域解。