《線性代數(shù)》電子教程4(矩陣的定義及運(yùn)算)

《線性代數(shù)》

電子教案之四1主要內(nèi)容第四講

矩陣及其運(yùn)算矩陣的概念；零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、對稱矩陣等特殊矩陣；矩陣的線性運(yùn)算（矩陣的加法及矩陣與數(shù)的乘法）、矩陣與矩陣的乘法、矩陣的轉(zhuǎn)置、方陣的行列式以及他們的運(yùn)算規(guī)律.基本要求理解矩陣的概念，知道零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、對稱矩陣等特殊矩陣；熟練掌握矩陣的運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律.2一、矩陣的定義與記號第一節(jié)矩陣1.定義

由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為行列矩陣，簡稱矩陣.為表示這個(gè)數(shù)表是一個(gè)整體，總是加一個(gè)括弧，并用大寫黑體字母表示它，記作3這個(gè)數(shù)稱為矩陣的元素，簡稱為元，數(shù)位于矩陣的第行第列，稱為矩陣的元.以數(shù)為元的矩陣可簡記作或.矩陣也記作注意（1）矩陣的記號是在數(shù)表外加上括弧，與行列式的記號（在數(shù)表外加上雙豎線）是不同的，這是兩個(gè)不同的概念，注意區(qū)別.（2）矩陣的行數(shù)和列數(shù)不一定相等.4二、小結(jié)在線性代數(shù)里，矩陣是一個(gè)主要工具，也是一個(gè)主要的研究對象.1850年由西爾維斯特（Sylvester）首先提出矩陣的概念矩陣的應(yīng)用十分廣泛：自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)等許多領(lǐng)域。如在觀測、導(dǎo)航、機(jī)器人的位移、化學(xué)分子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析、密碼通訊、模糊識別，以及計(jì)算機(jī)層析X射線照相術(shù)等方面，都有廣泛的應(yīng)用1858年卡萊（A.Cayley）建立了矩陣運(yùn)算規(guī)則5一、矩陣的加減法第二節(jié)矩陣的運(yùn)算1.定義兩個(gè)同為的矩陣相加（減）后得一矩陣，其元素為兩矩陣對應(yīng)元素的和（差）.特別注意只有兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加（減）法.6例如72.矩陣的加減法_運(yùn)算規(guī)則交換律：結(jié)合律：設(shè)矩陣記稱為矩陣的負(fù)矩陣.

8二、矩陣與數(shù)的乘法（矩陣的數(shù)乘）1.定義階矩陣與一個(gè)數(shù)相乘后得一矩陣，其元素為原矩陣對應(yīng)元素乘以這個(gè)數(shù).記作說明矩陣的負(fù)矩陣；

純量矩陣.

9例如102.矩陣的數(shù)乘_運(yùn)算規(guī)則

說明

矩陣的加法與矩陣的數(shù)乘合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.11三、矩陣與矩陣的乘法（矩陣的乘法）1.概念的引入某家電公司向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量如下表空調(diào)冰箱29``彩電25``彩電甲商店30205020乙商店07100丙商店5040505012這四種產(chǎn)品的售價(jià)（單位：百元）及重量（單位：千克）如下售價(jià)重量空調(diào)3040冰箱163029``彩電223025``彩電1820問：該公司向每個(gè)商店出售產(chǎn)品的總售價(jià)及總重量分別是多少？13甲商店乙商店丙商店售價(jià)重量142.定義定義如下：若則其中設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，與的乘積是一個(gè)矩陣，記作說明：

的元就是的第行元素與的第列元素對應(yīng)乘積之和.15特別注意_乘積不可交換可乘的前提是的列數(shù)等于的行數(shù).

乘積一般不可以交換，1）

為矩陣，但無意義；2）為和均有意義，但2階矩陣，為3階矩陣，不相等；3）若則稱矩陣乘積可交換.16例題例5求矩陣與的乘積解析：是矩陣，是矩陣，的列數(shù)等于的行數(shù)，所以矩陣與可以相乘.17例題例5求矩陣與的乘積解析：是矩陣，是矩陣，的列數(shù)等于的行數(shù)，所以矩陣與可以相乘.18例題例5求矩陣與的乘積解析：是矩陣，是矩陣，的列數(shù)等于的行數(shù)，所以矩陣與可以相乘.19例題例5求矩陣與的乘積解析：是矩陣，是矩陣，的列數(shù)等于的行數(shù)，所以矩陣與可以相乘.20例6求矩陣與的乘積及

解說明

此例不僅表明矩陣的乘法不滿足交換律，而且還表明矩陣的乘法不滿足消去律，即1）若不能推出2）若不能推出21３．矩陣的乘法_運(yùn)算規(guī)則

或簡寫成

純量矩陣與方陣的乘積說明

第五條規(guī)則表明，純量矩陣與方陣都是可交換的．22４．方陣的冪定義設(shè)是階方陣，定義說明

此定義表明，就是個(gè)連乘，并且顯然，只有方陣，它的冪才有意義.運(yùn)算規(guī)則

特別注意

一般來說，與不相等.23方陣的多項(xiàng)式設(shè)稱為方陣

的次多項(xiàng)式.為數(shù)的次多項(xiàng)式，記同一個(gè)方陣的兩個(gè)矩陣多項(xiàng)式是可交換的：設(shè)是的兩個(gè)多項(xiàng)式，則由此可知，方陣的多項(xiàng)式可以像數(shù)的多項(xiàng)式一樣分解因式.如24說明

當(dāng)與可交換時(shí)，有類似與數(shù)的乘法公式.

與為同階方陣：255.行矩陣與列矩陣的乘積設(shè)則26四、矩陣的轉(zhuǎn)置1.定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.即若則其中例如則的轉(zhuǎn)置矩陣為設(shè)矩陣272.對稱矩陣設(shè)為階方陣，如果滿足，即那么稱為對稱矩陣，簡稱對稱陣.例如對稱陣的特點(diǎn)是：它的元素以對角線為對稱軸，對應(yīng)相等.283.矩陣的轉(zhuǎn)置_運(yùn)算規(guī)則

29例8已知求解法1解法2

此例驗(yàn)證了矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)則430五、方陣的行列式1.定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣的行列式，記作或特別注意方陣與行列式是兩個(gè)不同的概念，方陣是一個(gè)數(shù)表，而行列式則是一個(gè)數(shù).方陣與它的行列式又是緊密相關(guān)的，行列式是方陣確定的一個(gè)數(shù)，所以行列式可看作方陣的函數(shù)；同時(shí)，行列式是方陣特性的重要標(biāo)志.312.由確定_運(yùn)算規(guī)則

證明注意但但322.有關(guān)概念實(shí)矩陣與復(fù)矩陣：元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣；除特別說明外，都指實(shí)矩陣.行矩陣（行向量）：只有一行的矩陣，記作列矩陣（列向量）：只有一列的矩陣，記作矩陣矩陣33方陣：行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣稱為階矩陣或階方陣.階矩陣也記作同型矩陣:兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí)，就稱它們是同型矩陣.矩陣相等：如果與是同型矩陣，并且它們的對應(yīng)元素相等，即那么就稱矩陣與矩陣相等，記作34三、幾個(gè)特殊矩陣單位矩陣（單位陣）：從左上角到右下角的直線（叫做（主）對角線）上的元素都是1，其它元素都是0，這種矩陣稱為單位矩陣，簡稱單位陣，用表示，即35對角矩陣：不在對角線上的元素都是0.這種方陣稱為對角矩陣，簡稱對角陣，用表示，即36零矩陣：元素都是零的矩陣，記作0.注意

不同型的零矩陣是不同的，例如37數(shù)量矩陣（純量矩陣）：不在對角線上的元素都是0，對角線上的元素相同，這種矩陣稱為數(shù)量矩陣，又稱純量矩陣，用表示，