高中數(shù)學(xué)人教A版第二章平面向量平面向量的線性運(yùn)算 一等獎(jiǎng)

課題名稱：§2．向量加法運(yùn)算及其幾何意義課程模塊及章節(jié)：必修四第二章第二節(jié)第一課時(shí)備課時(shí)間：2023學(xué)科：數(shù)學(xué)備課組：高一數(shù)學(xué)主備教師：保德懷備課組長：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、張國彪、龍清華、張國彪。教師二次備課教學(xué)背景分析課標(biāo)的理解與把握1.理解向量的加法及其運(yùn)算法則、運(yùn)算律．(重點(diǎn))2.理解向量加法的幾何意義．(難點(diǎn))3.數(shù)的加法與向量的加法的聯(lián)系與區(qū)別．(易混點(diǎn))教材分析：向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景。在本模塊中，學(xué)生將了解向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量及其運(yùn)算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力。向量概念的教學(xué)應(yīng)從物理背景和幾何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，幾何背景是有向線段。了解這些物理背景和幾何背景，對(duì)于學(xué)生理解向量概念和運(yùn)用向量解決實(shí)際問題都是十分重要的。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量解決一些物理和幾何問題。例如，利用向量計(jì)算力使物體沿某方向運(yùn)動(dòng)所做的功，利用向量解決平面內(nèi)兩條直線平行與垂直的位置關(guān)系等問題。對(duì)于向量的非正交分解只要求學(xué)生作一般了解，不必展開。（三）學(xué)情分析：加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)。了解到學(xué)生目前的學(xué)習(xí)情況，大部分學(xué)生對(duì)初中的相關(guān)知識(shí)掌握不好，利用自習(xí)課或課余時(shí)間為他們補(bǔ)充初中知識(shí)的盲點(diǎn)，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)。同時(shí)在上課的時(shí)候，以基礎(chǔ)簡單題目為主，爭取讓大部分學(xué)生在課堂上有所收獲。加強(qiáng)合作學(xué)習(xí)。對(duì)于班級(jí)出現(xiàn)的兩極分化情況，發(fā)動(dòng)成績好的學(xué)生帶動(dòng)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，促使大家共同進(jìn)步。注重情感交流。分層教學(xué)、因材施教。主要方法是對(duì)作業(yè)也要分層次布置，基礎(chǔ)不同，要求不同。多表揚(yáng)、多鼓勵(lì)。教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能(1)掌握向量的加法運(yùn)算，并理解其幾何意義．(2)會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解決問題的能力．2．過程與方法通過將向量運(yùn)算與熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，使學(xué)生掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀(1)通過對(duì)向量的加法運(yùn)算的探究學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過程，體會(huì)由特殊到特殊的認(rèn)識(shí)事物規(guī)律，培養(yǎng)探索精神與創(chuàng)新意識(shí)．(2)通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式解決問題、認(rèn)識(shí)世界，進(jìn)而領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，不斷提高自己的文化修養(yǎng)．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量．難點(diǎn)：理解向量加法的定義．教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)資源和主要教學(xué)方法自主學(xué)習(xí)與合作探究相結(jié)合。教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師為主的活動(dòng)學(xué)生為主的活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課【問題導(dǎo)思】分析下列實(shí)例：(1)飛機(jī)從廣州飛往上海，再從上海飛往北京(如圖)，這兩次位移的結(jié)果與飛機(jī)從廣州直接飛往北京的位移是相同的．(2)有兩條拖輪牽引一艘輪船，它們的牽引力分別是F1＝3000N，F(xiàn)2＝2000N，牽引繩之間的夾角為θ＝60°(如圖)，如果只用一條拖輪來牽引，也能產(chǎn)生跟原來相同的效果．1．從物理學(xué)的角度，上面實(shí)例中位移、牽引力說明了什么？體現(xiàn)了向量的什么運(yùn)算？【提示】后面的一次位移叫前面兩次位移的合位移，四邊形OACB的對(duì)角線eq\o(OC,\s\up12(→))表示的力是eq\o(OA,\s\up12(→))與eq\o(OB,\s\up12(→))表示力的合力．體現(xiàn)了向量的加法運(yùn)算．2．上述實(shí)例中位移的和運(yùn)算、力的和運(yùn)算分別用什么法則？【提示】三角形法則和平行四邊形法則．學(xué)生開始思考從數(shù)形結(jié)合的角度加以研究，避免了代數(shù)方法的繁瑣，直觀而有效，但注意圖形的準(zhǔn)確性．目標(biāo)引領(lǐng)板在黑板的右上角，并對(duì)目標(biāo)進(jìn)行解讀?；顒?dòng)導(dǎo)學(xué)1．向量加法的定義圖2－2－1定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．已知非零向量a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(BC,\s\up12(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up12(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))，如圖2－2－1.對(duì)于零向量與任一向量a，規(guī)定0＋a＝a＋0＝a.2．向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面上任取一點(diǎn)A，作Aeq\o(B,\s\up12(→))＝a，Beq\o(C,\s\up12(→))＝b，則向量Aeq\o(C,\s\up12(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝Aeq\o(B,\s\up12(→))＋Beq\o(C,\s\up12(→))＝Aeq\o(C,\s\up12(→))平行四邊形法則已知兩個(gè)不共線向量a，b，作Aeq\o(B,\s\up12(→))＝a，Aeq\o(D,\s\up12(→))＝b，以Aeq\o(B,\s\up12(→))，Aeq\o(D,\s\up12(→))為鄰邊作?ABCD，則對(duì)角線上的向量Aeq\o(C,\s\up12(→))＝a＋b問題導(dǎo)思】實(shí)數(shù)的運(yùn)算律有哪些？向量的加法是否也有相似的運(yùn)算律？【提示】交換律和結(jié)合律；有.交換律結(jié)合律a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)例一：(1)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→)))＋(eq\o(BO,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＋eq\o(OM,\s\up12(→))化簡后等于()\o(BC,\s\up12(→)) \o(AB,\s\up12(→))\o(AC,\s\up12(→)) D．eq\o(AM,\s\up12(→))(2)如圖所示，已知向量a，b，c，試作出向量a＋b＋c.圖2－2－2【思路探究】1.幾何表示式如何進(jìn)行加法運(yùn)算？2．應(yīng)用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加法運(yùn)算的過程可以分別簡記為什么？【自主解答】(1)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→)))＋(eq\o(BO,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＋eq\o(OM,\s\up12(→))＝(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BO,\s\up12(→)))＋(eq\o(OM,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＝eq\o(AO,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→)).【答案】C(2)如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，再作向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝b，則得向量eq\o(OB,\s\up12(→))＝a＋b，然后作向量eq\o(BC,\s\up12(→))＝c，則向量eq\o(OC,\s\up12(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求．例二：如圖所示，已知E、F分別是?ABCD的邊DC、AB的中點(diǎn)，求證：四邊形AECF是平行四邊形．圖2－2－3【思路探究】要證四邊形AECF為平行四邊形，只需證eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(FC,\s\up12(→)).【自主解答】在?ABCD中，eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))，又由E、F分別是DC、AB的中點(diǎn)，得eq\o(DE,\s\up12(→))＝eq\o(FB,\s\up12(→)).所以eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(DE,\s\up12(→))＝eq\o(FB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(FC,\s\up12(→))，又A、E、C、F四點(diǎn)不共線，故四邊形AECF是平行四邊形．活動(dòng)：讓學(xué)生仔細(xì)觀察圖1，教師適當(dāng)時(shí)候再提示。展示討論結(jié)果向量求和的三角形法則，可推廣到多個(gè)向量求和的多邊形法則：n個(gè)向量經(jīng)過平移，順次使前一個(gè)向量的終點(diǎn)與后一個(gè)向量的起點(diǎn)重合，組成一個(gè)向量折線，這n個(gè)向量的和等于折線起點(diǎn)到終點(diǎn)的向量．1．三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個(gè)法則是統(tǒng)一的．當(dāng)兩個(gè)向量首尾相連時(shí)常選用三角形法則，當(dāng)兩個(gè)向量共始點(diǎn)時(shí)，常選用平行四邊形法則．2．向量的加法滿足交換律，因此在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算時(shí)，可以按照任意的次序和任意的組合去進(jìn)行．在進(jìn)行向量的加、減法運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意一些特殊情況，如零向量、共線向量等．特別是判斷一些相關(guān)命題的真假時(shí)，一定要考慮到這些特殊的情況，如果忽略這些就容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．當(dāng)堂評(píng)價(jià)下列命題：①如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a，b之一的方向相同；②在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0；③在eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0，則A、B、C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；④若a，b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|一定相等．其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【錯(cuò)解】C【錯(cuò)因分析】①中，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，命題不成立，因此①是假命題；②是真命題；③中，當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，也可以有eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0，因此③是假命題；④中，只有當(dāng)a與b為同向向量時(shí)，|a＋b|與|a|＋|b|才相等，其他情況下均為|a|＋|b|>|a＋b|，因此④是假命題．故真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè)．由學(xué)生自主完成。鞏固深化培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立解決問題的能力。學(xué)生課后完成鞏固本節(jié)課所學(xué)過的知識(shí)使學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)有一個(gè)整體性的認(rèn)識(shí)，了解知識(shí)的來龍去脈。板書設(shè)計(jì)§2．向量加法運(yùn)算及其幾何意義例1例二圖形解答過程：變式練習(xí)圖形解答過程：教學(xué)反思課題名稱：§2.2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義課程模塊及章節(jié)：必修四第二章第二節(jié)第二課時(shí)備課時(shí)間：2023學(xué)科：數(shù)學(xué)備課組：高一數(shù)學(xué)主備教師：保德懷備課組長：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、張國彪、龍清華、張國彪。教師二次備課教學(xué)背景分析課標(biāo)的理解與把握1.掌握向量減法的運(yùn)算，理解其幾何意義．(重點(diǎn))2.理解相反向量的含義，能用相反向量說出向量相減的意義．(難點(diǎn))3.能將向量的減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算．(易混點(diǎn))教材分析：向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景。在本模塊中，學(xué)生將了解向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量及其運(yùn)算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力。向量概念的教學(xué)應(yīng)從物理背景和幾何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，幾何背景是有向線段。了解這些物理背景和幾何背景，對(duì)于學(xué)生理解向量概念和運(yùn)用向量解決實(shí)際問題都是十分重要的。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量解決一些物理和幾何問題。例如，利用向量計(jì)算力使物體沿某方向運(yùn)動(dòng)所做的功，利用向量解決平面內(nèi)兩條直線平行與垂直的位置關(guān)系等問題。對(duì)于向量的非正交分解只要求學(xué)生作一般了解，不必展開。（三）學(xué)情分析：加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)。了解到學(xué)生目前的學(xué)習(xí)情況，大部分學(xué)生對(duì)初中的相關(guān)知識(shí)掌握不好，利用自習(xí)課或課余時(shí)間為他們補(bǔ)充初中知識(shí)的盲點(diǎn)，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)。同時(shí)在上課的時(shí)候，以基礎(chǔ)簡單題目為主，爭取讓大部分學(xué)生在課堂上有所收獲。加強(qiáng)合作學(xué)習(xí)。對(duì)于班級(jí)出現(xiàn)的兩極分化情況，發(fā)動(dòng)成績好的學(xué)生帶動(dòng)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，促使大家共同進(jìn)步。注重情感交流。分層教學(xué)、因材施教。主要方法是對(duì)作業(yè)也要分層次布置，基礎(chǔ)不同，要求不同。多表揚(yáng)、多鼓勵(lì)。教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能(1)了解相反向量的概念．(2)掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的減向量，并理解其幾何意義．2．過程與方法通過闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運(yùn)算，使學(xué)生理解事物間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生利用類比的方法探究向量減法的運(yùn)算法則，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神與創(chuàng)新意識(shí)．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：向量減法的概念和向量減法的作圖法．難點(diǎn)：減法運(yùn)算時(shí)方向的確定．教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)資源和主要教學(xué)方法自主學(xué)習(xí)與合作探究相結(jié)合。教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師為主的活動(dòng)學(xué)生為主的活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課【問題導(dǎo)思】1．相反向量就是方向相反的向量嗎？【提示】(1)不是．相反向量是方向相反且長度相等的向量．2．若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b嗎？【提示】若|a|＝|b|，則a，b不一定共線，有可能a≠b且a≠－b.1．定義：如果兩個(gè)向量長度相等，而方向相反，那么稱這兩個(gè)向量是相反向量．2．性質(zhì)：(1)對(duì)于相反向量有：a＋(－a)＝0.(2)若a，b互為相反向量，則a＝－b，a＋b＝0.(3)零向量的相反向量仍是零向量.學(xué)生開始思考從數(shù)形結(jié)合的角度加以研究，避免了代數(shù)方法的繁瑣，直觀而有效，但注意圖形的準(zhǔn)確性．目標(biāo)引領(lǐng)板在黑板的右上角，并對(duì)目標(biāo)進(jìn)行解讀?；顒?dòng)導(dǎo)學(xué)1．向量減法的定義【問題導(dǎo)思】1．兩個(gè)相反數(shù)的和為零，那么兩個(gè)相反向量的和也為零向量嗎？【提示】是零向量．2．根據(jù)向量的加法，如何求作a－b?【提示】先作出－b，再按三角形或平行四邊形法則作出a＋(－b)．1．定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量．2．作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，則向量a－b＝eq\o(BA,\s\up12(→))，如圖2－2－12所示．圖2－2－123．幾何意義：a－b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量．例一：化簡：(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))．【思路探究】解答本題可先去括號(hào)，再利用相反向量及加法交換律、結(jié)合律化簡．【自主解答】法一(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝(eq\o(AB,\s\up12(→))＋Beq\o(D,\s\up12(→)))＋(eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→)))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＝0.法二(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→)))＋(eq\o(DC,\s\up12(→))－eq\o(DB,\s\up12(→)))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝0.法三設(shè)O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝(eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→)))－(Oeq\o(D,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→)))－(eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→)))＋(eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→)))＝eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))＋eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝0.例二：如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)O是正六邊形中一點(diǎn)，若已知eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OF,\s\up12(→))＝b，eq\o(EO,\s\up12(→))＝c，eq\o(DO,\s\up12(→))＝d，試用向量a，b，c，d表示eq\o(ED,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(DB,\s\up12(→)).圖2－2－13【思路探究】運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則，將所求向量用已知向量a、b、c、d的和與差來表示．【自主解答】eq\o(ED,\s\up12(→))＝eq\o(EO,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\o(EO,\s\up12(→))－eq\o(DO,\s\up12(→))＝c－d.eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AO,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))＝－eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(DO,\s\up12(→))＝－a－d.eq\o(DB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→))＝eq\o(FA,\s\up12(→))＋eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OF,\s\up12(→))＋eq\o(OF,\s\up12(→))－eq\o(OE,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(EO,\s\up12(→))＝a＋c.活動(dòng)：讓學(xué)生仔細(xì)觀察圖1，教師適當(dāng)時(shí)候再提示。展示討論結(jié)果1．向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算．利用相反向量的定義，－eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(BA,\s\up12(→))就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法，即：減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量，如：a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法則作向量減法時(shí)，要注意“差向量連接兩向量的終點(diǎn)，箭頭指向被減數(shù)”．解題時(shí)要結(jié)合圖形，準(zhǔn)確判斷，防止混淆．3．以平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB、AD分別表示向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，則兩條對(duì)角線表示的向量為eq\o(AC,\s\up12(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up12(→))＝b－a，eq\o(DB,\s\up12(→))＝a－b.這一結(jié)論在以后應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)該加強(qiáng)理解并記?。?1)首尾相接且為和．(2)起點(diǎn)相同且為差．做題時(shí)要注意觀察是否有這兩種形式，同時(shí)要注意逆向應(yīng)用、統(tǒng)一向量起點(diǎn)方法的應(yīng)用．通過表示向量的有向線段的字母符號(hào)運(yùn)算來解決問題時(shí)，運(yùn)算過程中，將“－”改為“＋”，只需把表示向量的兩個(gè)字母的順序顛倒一下即可，如“－eq\o(AB,\s\up12(→))”改為“＋eq\o(BA,\s\up12(→))”．在作向量的和時(shí)，要合理使用三角形法則和平行四邊形法則；在作兩向量的差時(shí)，應(yīng)注意兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合，差向量的方向指向被減向量．當(dāng)堂評(píng)價(jià)2．設(shè)b是a的相反向量，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．a(chǎn)與b的長度必相等B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)與b一定不相等D．a(chǎn)是b的相反向量【解析】因?yàn)?的相反向量是0，故C不正確．【答案】C3．在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(BC,\s\up12(→))|＝|eq\o(CA,\s\up12(→))|＝1，則|eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))|的值為________．【解析】eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))，而|eq\o(BC,\s\up12(→))|＝1＝|eq\o(CB,\s\up12(→))|.【答案】14．化簡：eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→))－(eq\o(DA,\s\up12(→))－eq\o(CF,\s\up12(→)))．【解】eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→))－(eq\o(DA,\s\up12(→))－eq\o(CF,\s\up12(→)))＝eq\o(DC,\s\up12(→))－eq\o(DA,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\o(AF,\s\up12(→)).由學(xué)生自主完成。鞏固深化培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立解決問題的能力。學(xué)生課后完成鞏固本節(jié)課所學(xué)過的知識(shí)使學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)有一個(gè)整體性的認(rèn)識(shí)，了解知識(shí)的來龍去脈。板書設(shè)計(jì)§2.2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義例1例二圖形解答過程：變式練習(xí)圖形解答過程：教學(xué)反思課題名稱：§2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義課程模塊及章節(jié)：必修四第二章第二節(jié)第三課時(shí)備課時(shí)間：2023學(xué)科：數(shù)學(xué)備課組：高一數(shù)學(xué)主備教師：保德懷備課組長：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、張國彪、龍清華、張國彪。教師二次備課教學(xué)背景分析課標(biāo)的理解與把握1.掌握向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義．(重點(diǎn))2.掌握向量共線定理的應(yīng)用．(難點(diǎn))3.理解實(shí)數(shù)相乘與向量數(shù)乘的區(qū)別．(易混點(diǎn))教材分析：向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景。在本模塊中，學(xué)生將了解向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量及其運(yùn)算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力。向量概念的教學(xué)應(yīng)從物理背景和幾何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，幾何背景是有向線段。了解這些物理背景和幾何背景，對(duì)于學(xué)生理解向量概念和運(yùn)用向量解決實(shí)際問題都是十分重要的。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量解決一些物理和幾何問題。例如，利用向量計(jì)算力使物體沿某方向運(yùn)動(dòng)所做的功，利用向量解決平面內(nèi)兩條直線平行與垂直的位置關(guān)系等問題。對(duì)于向量的非正交分解只要求學(xué)生作一般了解，不必展開。（三）學(xué)情分析：加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)。了解到學(xué)生目前的學(xué)習(xí)情況，大部分學(xué)生對(duì)初中的相關(guān)知識(shí)掌握不好，利用自習(xí)課或課余時(shí)間為他們補(bǔ)充初中知識(shí)的盲點(diǎn)，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)。同時(shí)在上課的時(shí)候，以基礎(chǔ)簡單題目為主，爭取讓大部分學(xué)生在課堂上有所收獲。加強(qiáng)合作學(xué)習(xí)。對(duì)于班級(jí)出現(xiàn)的兩極分化情況，發(fā)動(dòng)成績好的學(xué)生帶動(dòng)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，促使大家共同進(jìn)步。注重情感交流。分層教學(xué)、因材施教。主要方法是對(duì)作業(yè)也要分層次布置，基礎(chǔ)不同，要求不同。多表揚(yáng)、多鼓勵(lì)。教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能(1)掌握向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義．(2)理解向量共線定理，并應(yīng)用其解決相關(guān)問題．2．過程與方法通過由向量加法運(yùn)算探究向量的數(shù)乘運(yùn)算的過程，使學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的研究問題的方法，由λ符號(hào)來判斷λa與a方向是否相同的過程，培養(yǎng)學(xué)生用分類討論的思想研究問題的方法．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過對(duì)向量數(shù)乘運(yùn)算的探究學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)；通過數(shù)乘向量的實(shí)際應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式解決問題．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義，向量共線定理．難點(diǎn)：向量共線定理的應(yīng)用．教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)資源和主要教學(xué)方法自主學(xué)習(xí)與合作探究相結(jié)合。教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師為主的活動(dòng)學(xué)生為主的活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課向量的數(shù)乘運(yùn)算【問題導(dǎo)思】1．向量與實(shí)數(shù)可以求積，能求加、減運(yùn)算嗎？【提示】不能．如λ＋a，λ－a無意義．2．λa＝0?λ＝0或a＝0，對(duì)嗎？【提示】對(duì)．3．?dāng)?shù)乘可以伸縮向量的模，同時(shí)也可以改變向量的方向，對(duì)嗎？【提示】正確．學(xué)生開始思考從數(shù)形結(jié)合的角度加以研究，避免了代數(shù)方法的繁瑣，直觀而有效，但注意圖形的準(zhǔn)確性．目標(biāo)引領(lǐng)板在黑板的右上角，并對(duì)目標(biāo)進(jìn)行解讀。活動(dòng)導(dǎo)學(xué)當(dāng)λ>0時(shí)，不改變方向，當(dāng)λ<0時(shí)，所得向量與原向量反向．1．定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa.2．規(guī)定：①|(zhì)λa|＝|λ||a|，②當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.3．運(yùn)算律設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則(1)λ(μa)＝λμa；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特別地，我們有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.共線向量定理【問題導(dǎo)思】1．a(chǎn)＝λb?a與b共線，對(duì)嗎？【提示】正確．2．若a與b共線，一定有a＝λb嗎？【提示】不一定．當(dāng)b＝0，a＝0時(shí)，λ有無數(shù)個(gè)值；當(dāng)b＝0，a≠0時(shí)，λ無解；只有當(dāng)b≠0時(shí)，才有a＝λb.向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2例一：計(jì)算：(1)3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7【思路探究】利用數(shù)乘向量的運(yùn)算計(jì)算．【自主解答】(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a例二：已知非零向量e1，e2不共線．(1)如果Aeq\o(B,\s\up12(→))＝e1＋e2，Beq\o(C,\s\up12(→))＝2e1＋8e2，Ceq\o(D,\s\up12(→))＝3(e1－e2)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值．【思路探究】對(duì)于(1)，欲證A、B、D共線，只需證存在實(shí)數(shù)λ，使Beq\o(D,\s\up12(→))＝λAeq\o(B,\s\up12(→))即可；對(duì)于(2)，若ke1＋e2與e1＋ke2共線，則一定存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．【自主解答】(1)證明：∵Aeq\o(B,\s\up12(→))＝e1＋e2，Beq\o(D,\s\up12(→))＝Beq\o(C,\