高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章三角函數(shù)任意角的三角函數(shù) 校賽得獎(jiǎng)

數(shù)學(xué)《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)案例江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)楊志文【教學(xué)目標(biāo)】1、學(xué)生能認(rèn)識(shí)到定義任意角三角函數(shù)的必要性和任意角三角函數(shù)定義規(guī)定的合理性；能從函數(shù)的概念理解三角函數(shù)的定義，會(huì)根據(jù)已知角的終邊，求出角的三角函數(shù)值；2、學(xué)生自己能根據(jù)三角函數(shù)的定義，得到三角函數(shù)的定義域、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)。會(huì)確定已知角的三角函數(shù)值的符號(hào)；3、知道有向線段、有向線段的數(shù)量的概念，理解三角函數(shù)值的幾何意義，會(huì)用正弦線、余弦線和正切線表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值?！窘虒W(xué)實(shí)錄】1．創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣（多媒體顯示）日出日落，寒來暑往……自然界中有許多“按一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象，一個(gè)簡單又基本的例子便是“圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).T：問題1：如何將圓周上一點(diǎn)P的位置表示出來呢？（提出問題后，讓學(xué)生思考、探索、談想法。稍后，有學(xué)生舉手）S1:可用直角坐標(biāo)系將圓周上一點(diǎn)P的位置表示出來。以圓心為原點(diǎn)，以一條水平直徑為軸，過圓心且與這條直徑垂直的直徑為軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P的位置可用坐標(biāo)來表示。（學(xué)生講，教師用PPT顯示預(yù)設(shè)的圖形，如圖1）T：很好！還有其他表示法嗎？S2：我想還可用圓的半徑及過點(diǎn)P的半徑和一條水平半徑的角點(diǎn)P的位置。（學(xué)生講，教師用PPT顯示預(yù)設(shè)的圖形，如圖2。圖1、圖2可根據(jù)學(xué)生講得次序顯示）xOxOyP(x,y)PArO（圖1）（圖2）2.問題引動(dòng)，探究新知T：問題2：既然是同一個(gè)點(diǎn)可用兩種方法表示，那么這兩種表示法之間有怎樣的聯(lián)系那？即α,r,x,y之間有著怎樣的內(nèi)在聯(lián)系呢？T：初中時(shí)，我們?cè)鯓永弥苯侨切味x銳角三角函數(shù)呢？S3：畫直角三角形，所對(duì)的邊長分別為則有：BBACabc(學(xué)生講，教師板書)T：回答的很正確。問題3：若α為任意角，怎樣定義任意角α的三角函數(shù)呢？如怎樣求它的三角函數(shù)值呢？（讓學(xué)生思考，這個(gè)角在直角三角形中“放不下，怎么辦？讓學(xué)生提出解決問題的設(shè)想，學(xué)生若有困難，教師可引導(dǎo)學(xué)生回顧任意角的定義方法——借助直角坐標(biāo)系）S4:借助直角坐標(biāo)系,把角放在直角坐標(biāo)系中來研究。yxyxOP(x,y)rS５：T:這些關(guān)系是函數(shù)嗎？若是，自變量是什么？誰是函數(shù)？S6：（平時(shí)喜歡發(fā)言，但不大動(dòng)腦）自變量是，是函數(shù)。T：請(qǐng)同學(xué)們想想，有沒有不同意見。S7：我認(rèn)為角是自變量，比值是函數(shù)。T：請(qǐng)說說你的理由。S7：點(diǎn)P的坐標(biāo),是線段OP的長度，比值隨角變化而變化，所以角是自變量，比值是函數(shù)。T：這位同學(xué)的看法不錯(cuò)！但比值是否是角的函數(shù)，我們應(yīng)用函數(shù)的定義來衡量一下。請(qǐng)同學(xué)們回顧函數(shù)的定義，想一想，比值究竟是否是角的函數(shù)？（過一會(huì)，有同學(xué)舉手）yxyxOP(x,y)rT：（這時(shí)需要扶一把）那么當(dāng)點(diǎn)P取角終邊上不同點(diǎn)時(shí)，這個(gè)比值唯一確定嗎？S9：我認(rèn)為當(dāng)點(diǎn)P取角終邊上不同點(diǎn)時(shí)，這個(gè)比值不變。T：請(qǐng)你說說理由（向這位同學(xué)點(diǎn)頭微笑，鼓勵(lì)他說下去）。S9：在角終邊上另取一點(diǎn)，設(shè)由三角形相似，可得T：哇！太棒了。這位同學(xué)證明了對(duì)每一個(gè)角，有唯一的比值與它對(duì)應(yīng)，比值與點(diǎn)P在角終邊上的位置無關(guān)。yxyxO的終邊P(x,y)rT：能否將銳角的三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)呢？S10：可類似的規(guī)定任意角的三角函數(shù)。在角的終邊上任意取一點(diǎn)P，規(guī)定任意角的三角函數(shù)如下：T：這樣推廣到任意角，符合函數(shù)的定義嗎？（對(duì)規(guī)定的合理性提出質(zhì)疑）。（此時(shí)，學(xué)生有點(diǎn)困惑，教師及時(shí)點(diǎn)點(diǎn)撥）T：我們一起來分析：角角（圖形）角的弧度（實(shí)數(shù)）比值（唯一實(shí)數(shù)）S11:：由前面對(duì)銳角三角函數(shù)的研究可知，對(duì)任意角，比值與點(diǎn)P在角終邊上的位置無關(guān)。對(duì)于確定的角，比值都唯一確定，故正弦、余弦都是角的函數(shù)。當(dāng)時(shí)無意義。對(duì)于的每一個(gè)角，比值也唯一確定，所以正切也是角的函數(shù)。T：非常好！這位同學(xué)比較深刻的闡明了規(guī)定任意角的三角函數(shù)：的合理性。這三種函數(shù)都稱為三角函數(shù)。問題4.由三角函數(shù)的定義，能得到三角函數(shù)的那些性質(zhì)呢？S12：可以知道三角函數(shù)的定義域，的定義域都是R，的定義域是：。S13：還可知道三角函數(shù)在各象限的符號(hào)。一、二象限為正，三、四象限為負(fù);一、四象限為正，二、三象限為負(fù)；一、三象限為正，二、四象限為負(fù)。T：（老師根據(jù)學(xué)生所講的進(jìn)行板書或畫圖表示）S14：我還可以知道的值都比1小，…。T：好的，有關(guān)三角函數(shù)的其他性質(zhì)我們以后再進(jìn)一步研究?！驹u(píng)課反饋】本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)以轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式（新課改的核心理念）為指導(dǎo)，運(yùn)用“創(chuàng)設(shè)情境——問題引動(dòng)——主動(dòng)探究——意義建構(gòu)——數(shù)學(xué)運(yùn)用”的探究性學(xué)習(xí)課堂教學(xué)模式，力求使課堂成為學(xué)生主動(dòng)探究、展示自我的舞臺(tái)。上課開始從自然界中的普遍現(xiàn)象提出問題，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，引發(fā)學(xué)生思考。從學(xué)生知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)提出問題，再從學(xué)生的認(rèn)知沖突中認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)的必要性。先從特殊入手，認(rèn)識(shí)在坐標(biāo)系中銳角三角函數(shù)的定義，學(xué)生深刻理解三角函數(shù)值與點(diǎn)P在角ɑ的終邊上的位置無關(guān)，從特殊到一般探究任意角的三角函數(shù)定義，讓學(xué)生從映射、函數(shù)的定義認(rèn)識(shí)、感受任意角三角函數(shù)定義規(guī)定的合理性。由任意角的三角函數(shù)定義，自然生成三角函數(shù)的定義域及三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)。運(yùn)用幾何畫板演示讓學(xué)生直觀體驗(yàn)三角函數(shù)的幾何意義，得出三角函數(shù)線。最后通過課外探究題把探究性學(xué)習(xí)延伸到課外。本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)中值得商榷的問題是：《任意角的三角函數(shù)》這節(jié)內(nèi)容，是1課時(shí)完成，還是分2課時(shí)完成。1課時(shí)完成，優(yōu)點(diǎn)是學(xué)生對(duì)任意角的三角函數(shù)能從數(shù)與形兩個(gè)方面較完整的認(rèn)識(shí)。缺點(diǎn)是內(nèi)容較多，課堂留給學(xué)生思考、探究的時(shí)間較少。分兩課時(shí)完成，缺點(diǎn)是知識(shí)體系不夠完整。優(yōu)點(diǎn)是時(shí)間教寬裕，可給學(xué)生充分的思考、探究的時(shí)間。在三角函數(shù)線的教學(xué)中可生成較多的三角函數(shù)的性質(zhì)。在教學(xué)內(nèi)容多、課時(shí)少的情況下，究竟怎樣處理比較好，敬請(qǐng)專家、同行出招?！菊n后反思】本節(jié)課是在陜西師范大學(xué)數(shù)科院與吳江市在震澤中學(xué)聯(lián)合舉辦的“自能?探究”公開教學(xué)活動(dòng)中本人開設(shè)的公開課。由于是借班上課，課前沒有和學(xué)生接觸，也沒有布置學(xué)生預(yù)習(xí)，是一堂原生態(tài)的課。之前很擔(dān)心與學(xué)生的配合，但出乎我的意料，學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)，使本節(jié)課成為自我感覺較滿意的一堂課。反思本節(jié)課的教學(xué)，成功之處主要有一下三點(diǎn)：（1）創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣新課程改革的重點(diǎn)是課堂教學(xué)改革，課堂教學(xué)改革的核心是轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式，變“被動(dòng)接受式”學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)。學(xué)生學(xué)習(xí)某一知識(shí)，首先要有興趣，有了興趣，才會(huì)主動(dòng)去學(xué)習(xí)，如果沒有興趣，只能被動(dòng)接受。興趣是主動(dòng)學(xué)習(xí)的前提。創(chuàng)設(shè)問題情境是激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的有效途徑?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“要重視從學(xué)生的生活實(shí)踐和已有知識(shí)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)”.在數(shù)學(xué)課堂中，通過有效合理的實(shí)際生活情境，激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中去.創(chuàng)設(shè)生活情境，可以直觀的再現(xiàn)問題，將數(shù)學(xué)與生活緊密相連，激發(fā)學(xué)生探索規(guī)律的興趣，新課程標(biāo)準(zhǔn)中很重要的改革是注重學(xué)生的情感與態(tài)度的培養(yǎng).新《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)“要讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)、生動(dòng)具體的情境中和已有知識(shí)的基礎(chǔ)上體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)”.教師依據(jù)教學(xué)目標(biāo)創(chuàng)設(shè)以形象為主體、富有感情色彩的具體場景或氛圍，激發(fā)和吸引學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，達(dá)到最佳教學(xué)效果。本節(jié)課從學(xué)生熟悉的直角三角形中銳角的三角函數(shù)入手，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)在坐標(biāo)系中銳角三角函數(shù)的定義，從特殊到一般探究任意角的三角函數(shù)定義規(guī)定的合理性。由于教學(xué)起點(diǎn)定位準(zhǔn)確，問題設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知水平，學(xué)生課堂思維活躍，爭先發(fā)言，積極參與課堂教學(xué)活動(dòng)。（2）問題引動(dòng)，為學(xué)生主動(dòng)探究學(xué)習(xí)提供了動(dòng)力?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)。高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式”。豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，為終身學(xué)習(xí)和終身發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)，是高中數(shù)學(xué)課程追求的基本理念。這是因?yàn)?，社?huì)的發(fā)展需要終身教育，而學(xué)生在學(xué)校中只能獲得其需要的部分知識(shí)和初步能力，更多的必須在其未來的人生歷程中依靠自主的探索、主動(dòng)的學(xué)習(xí)，去不斷地充實(shí)自我，以適應(yīng)不斷變化的社會(huì)需要。此外，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是記憶一些重要的數(shù)學(xué)結(jié)論，還要發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力和積極的情感態(tài)度，再加上數(shù)學(xué)學(xué)科高度抽象的特點(diǎn)，這就需要學(xué)習(xí)者有積極主動(dòng)、勇于探索的精神，需要有自主探索的過程，需要有多種豐富的學(xué)習(xí)方式。但由于我國數(shù)學(xué)教育長期以來受傳統(tǒng)思想及應(yīng)試教育影響，傳統(tǒng)意義上的數(shù)學(xué)教學(xué)，強(qiáng)調(diào)的是知識(shí)的傳授，技能的訓(xùn)練，教師的主導(dǎo)（實(shí)際上是教師的控制）。課堂教學(xué)方式基本上是灌輸式的講授法，學(xué)生的學(xué)習(xí)基本上是聽講、模仿、記憶、再現(xiàn)教師傳授的知識(shí)。因此，是一個(gè)被動(dòng)接受知識(shí)、強(qiáng)化儲(chǔ)存的過程，忽視了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體性，也就缺乏師生之間、生生之間的互動(dòng)。對(duì)于抽象程度很高的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，這樣一種數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)導(dǎo)致的一個(gè)直接結(jié)果就是扼制了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極情感，使學(xué)生覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)枯燥無味，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)畏懼、沒有興趣，或越學(xué)越?jīng)]有興趣，認(rèn)為數(shù)學(xué)就是做題，數(shù)學(xué)沒什么用處，學(xué)數(shù)學(xué)也就沒有用，這就不僅在客觀上由于教師的控制太多影響了學(xué)生的主體參與，而且在學(xué)生主觀上也缺乏主體參與的意向。這種教學(xué)方法顯然是一種被動(dòng)的、接受式的應(yīng)試教育。新課程改革的重點(diǎn)是課堂教學(xué)改革，課堂教學(xué)改革的核心是轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式，變“被動(dòng)接受式”學(xué)習(xí)為主動(dòng)探究性學(xué)習(xí)。課堂教學(xué)中怎樣才能使學(xué)生主動(dòng)探究學(xué)習(xí)呢？主動(dòng)探究學(xué)習(xí)的動(dòng)力來自哪里呢？早在我國古代就有了“學(xué)起于思，思源于疑”的提法，它深刻地揭示了疑、思、學(xué)三者的關(guān)系.一個(gè)好的問題是學(xué)生主動(dòng)探究學(xué)習(xí)的動(dòng)力。所謂好的問題是指所設(shè)計(jì)的問題要具有科學(xué)性、趣味性，有探究的價(jià)值。問題的設(shè)計(jì)應(yīng)遵循了以下三個(gè)原則：①目標(biāo)性原則：針對(duì)學(xué)生實(shí)際，針對(duì)課堂教學(xué)所要構(gòu)建的知識(shí)結(jié)構(gòu)，針對(duì)教學(xué)目標(biāo).②啟發(fā)性原則：能啟發(fā)學(xué)生深入思考，有利學(xué)生思維訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究能力.③最近發(fā)展區(qū)原則：所選問題都是在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)上，學(xué)生有能力解決.問題是科學(xué)思維的起點(diǎn)。在教學(xué)過程中以問題為中心，進(jìn)行創(chuàng)造性教學(xué).這里所說“以問題為中心”，就是以創(chuàng)造的開始——問題為紐帶來組織教學(xué)過程的各個(gè)環(huán)節(jié)，把問題貫穿于教學(xué)過程的始終，以滿足學(xué)生的求知欲，不斷給學(xué)生主動(dòng)探究學(xué)習(xí)的動(dòng)力。這樣就使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為感受、理解知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，把學(xué)習(xí)知識(shí)的過程，變成了學(xué)生自主探究的“再發(fā)現(xiàn)”、“再創(chuàng)造”的過程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)和科學(xué)精神.探究性學(xué)習(xí)，有兩個(gè)最顯著的特征，一是教學(xué)內(nèi)容的問題化；二是教學(xué)過程的探索化。問題是科學(xué)思維的起點(diǎn)，好的問題是學(xué)生主動(dòng)探究學(xué)習(xí)的強(qiáng)勁動(dòng)力。在本堂課的教學(xué)過程中，以問題“α,r,x,y之間有著怎樣的內(nèi)在聯(lián)系呢？”為主干問題，設(shè)置問題組，以問題為紐帶組織教學(xué)過程的各個(gè)環(huán)節(jié)，把問題貫穿于教學(xué)過程的始終，以滿足學(xué)生的求知欲，不斷給學(xué)生主動(dòng)探究學(xué)習(xí)的動(dòng)力。學(xué)生在課堂隨著一個(gè)個(gè)問題解決的自豪，又面對(duì)一個(gè)個(gè)新的問題的出現(xiàn)，自豪感和求知欲促使他們始終處在興奮狀態(tài)。課堂上多次出現(xiàn)“我能”、“我要說”的主動(dòng)探究的場景，探究，讓課堂煥發(fā)生命活力。（3）多元評(píng)價(jià)是學(xué)生主動(dòng)探究加油站課堂評(píng)價(jià)的目的是促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)。不能認(rèn)為對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)就是測驗(yàn)、考試；課堂對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)就是看學(xué)生的解題的正確率。這種單一的課堂評(píng)價(jià)方式會(huì)導(dǎo)致課堂教學(xué)忽視數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展的過程，不給學(xué)生思考探究的時(shí)間和空間，一味的講題做練習(xí)，把一節(jié)課變成大量解題訓(xùn)練。課堂評(píng)價(jià)的形式應(yīng)多元化，課堂評(píng)價(jià)的內(nèi)容和方式要靈活多樣，將表現(xiàn)性評(píng)價(jià)（如學(xué)生的表情、發(fā)言、課堂問答等）、交流式評(píng)價(jià)（如師生、生生之間討論、互動(dòng)等）和檢測性評(píng)（如課堂練習(xí)板演、課外作業(yè)等）相結(jié)合；將師生互評(píng)與生生互評(píng)相結(jié)合。評(píng)價(jià)是獲得設(shè)計(jì)、調(diào)整教學(xué)所必須的信息的手段，是教學(xué)過程不可分割的一部分。數(shù)學(xué)課可以根據(jù)不同的課型設(shè)計(jì)不同的評(píng)價(jià)方式。如在新授課教學(xué)中，重點(diǎn)應(yīng)放在數(shù)學(xué)知識(shí)（數(shù)學(xué)概念、定理、結(jié)論）的發(fā)生發(fā)展的過程的教學(xué)，可采用表現(xiàn)性評(píng)價(jià)，根據(jù)學(xué)生課堂表現(xiàn)（學(xué)生的表情、發(fā)言、回答問題的程度）情況來判斷他的學(xué)習(xí)情況，也可以采用交流式評(píng)價(jià)，通過師生、生生之間交流互動(dòng)進(jìn)一步了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況；在習(xí)題課或復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，可以根據(jù)學(xué)生具體的解題情況，采用檢測性評(píng)（如課堂練習(xí)板演、小測驗(yàn)）來判斷學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況和運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。對(duì)學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)及時(shí)給予激勵(lì)性評(píng)價(jià)（如表揚(yáng)、贊美等），使學(xué)生始終處在積極興奮狀態(tài)中，使課堂評(píng)價(jià)成為學(xué)生主動(dòng)探究學(xué)習(xí)的加油站。在本節(jié)課的教學(xué)中，運(yùn)用多種形式對(duì)學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)進(jìn)行評(píng)價(jià)。在教學(xué)過程中，陳老師多次激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行探究，如“很好！”、“哇！這個(gè)證法太妙了！”、“回答的很棒！”等對(duì)學(xué)生的課堂表現(xiàn)進(jìn)行贊賞，評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。由于不斷給學(xué)生打氣加油，課堂上學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情高漲，表現(xiàn)積極主動(dòng)。（4）課堂應(yīng)是學(xué)生的舞臺(tái)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》以全新的教學(xué)觀念作為課程的基本理念，把數(shù)學(xué)教育提升為“