高中數(shù)學(xué)北師大版第一章立體幾何初步 精品

(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．在三棱錐A－BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有()A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD解析：如圖，∵AD⊥BC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD.又AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDC.答案：C2．設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若a∥b，a∥α，則b∥α B．若α⊥β，a∥α，則a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，則a∥α D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β解析：A錯(cuò)，可能bα；B錯(cuò)；C錯(cuò)，可能aα.只有D正確．答案：D3．如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：由題意知，在四邊形ABCD中，CD⊥BD，在三棱錐A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，兩平面的交線為BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD，又因?yàn)锳B⊥AD，且CD∩AD＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC，故選D.答案：D4．在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC解析：如圖所示，∵DF∥BC，BC平面PDF，∴BC∥平面PDF.∴A正確；連接AE，PE，則BC⊥AE，BC⊥PE.∵BC∥DF，∴DF⊥AE，DF⊥PE，DF⊥平面PAE，故B正確，又BC⊥平面PAE，∴平面ABC⊥平面PAE.故D正確．答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．如圖，在三棱錐D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則平面ADC與平面BDE的關(guān)系是________．解析：∵AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，∴BE⊥AC，DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE，又AC平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDE.答案：垂直6．如圖，若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，則該圖中相互垂直的平面有________對(duì)．解析：由PA垂直于矩形ABCD所在的平面，知平面PAD⊥平面ABCD和平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD，知平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB，知平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD，知平面PDC⊥平面PAD.所以題圖中相互垂直的平面共有5對(duì)．答案：5三、解答題(每小題10分，共20分)7．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點(diǎn)．證明：平面ABM⊥平面A1B1M.證明：由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M為CC1的中點(diǎn)，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝eq\r(B1C\o\al(2,1)＋MC\o\al(2,1))＝eq\r(2)，同理BM＝eq\r(BC2＋CM2)＝eq\r(2)，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，從而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，因?yàn)锽M平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.8．如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為SC的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥CD；(2)求證：平面SCD⊥平面SCE.證明：(1)連接AC，AF，BF.∵SA⊥平面ABCD，∴AF為Rt△SAC斜邊SC上的中線，∴AF＝eq\f(1,2)SC.又∵四邊形ABCD是正方形，∴CB⊥AB.而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA，∴CB⊥平面SAB，∴CB⊥SB，∴BF為Rt△SBC斜邊SC上的中線，∴BF＝eq\f(1,2)SC，∴AF＝BF，∴△AFB為等腰三角形．∵E為AB的中點(diǎn)，∴EF⊥AB.又CD∥AB，∴EF⊥CD.(2)由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE，∴SE＝EC，即△SEC是等腰三角形，∴EF⊥SC.又∵SC∩CD＝C，EF⊥CD，∴EF⊥平面SCD.又EF平面SCE，∴平面SCD⊥平面SCE.eq\x(尖子生題庫(kù))☆☆☆9．(10分)如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn)．(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．解析：(1)證明：由AB是圓的直徑，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)如圖，過C作CM⊥AB于M，因?yàn)镻A⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以PA⊥CM.又因?yàn)镻A∩AB＝A，且PA?平面PAB，AB?平面PAB，所以CM⊥平面PAB.過M作MN⊥PB于N，連接NC，易證CN⊥PB，所以∠CNM為二面角C－PB－A的平面角．在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，得BC＝eq\r(3)，CM＝eq\f(\r(3),2)，BM＝eq\f(3,2).在Rt△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝eq\r(5).因?yàn)镽t△BNM∽R(shí)t△BAP，所以eq\f(MN,1)＝eq\