分組分解法分解因式

§8．3分組分解法

1．理解分組分解法在因式分解中的重要意義．2．在運(yùn)用分組分解法分解因式時(shí)，會(huì)篩選合理的分組方案．3．能綜合運(yùn)用各種方法完成因式分解．一、學(xué)習(xí)目標(biāo)本節(jié)的重點(diǎn)：運(yùn)用分組分解法分解因式．

本節(jié)的難點(diǎn)：篩選合理的分組方案和綜合

運(yùn)用各種方法完成因式分解．二、重點(diǎn)難點(diǎn)很多多項(xiàng)式不能直接運(yùn)用提公因式法或直接運(yùn)用公式法分解，但是，進(jìn)行分組后，就可以先在局部上，進(jìn)而在整體上運(yùn)用這兩種方法進(jìn)行分解，使問(wèn)題迎刃而解．所以，“分組”的作用在于促進(jìn)了提公因式法和公式法的運(yùn)用，使多項(xiàng)式從不能分解向能分解轉(zhuǎn)化．三、引入例1

把多項(xiàng)式分解因式．四．新課【分析】這是一個(gè)四項(xiàng)式，它的各項(xiàng)沒(méi)有公因式，而且也沒(méi)有供四項(xiàng)式作分解的公式可用，所以用這些基本方法都無(wú)法直接達(dá)到分解的目的．但是，如果分組后在局部分別分解，就可以創(chuàng)造整體分解的機(jī)會(huì)．

例1

把多項(xiàng)式分解因式．【解法一】＝＝＝＝＝＝【解法二】四．新課(1)a2x＋a2y＋b2x＋b2y(2)mx＋mx2－n－nx

例2

分解因式：【解】a2x＋a2y＋b2x＋b2y＝(a2x＋a2y)＋(b2x＋b2y)＝a2(x＋y)＋b2(x＋y)

＝(x＋y)(a2＋b2)【解】mx＋mx2－n－nx

＝(mx＋mx2)－(n＋nx)

＝mx(1＋x)－n(1＋x)

＝(1＋x)(mx－n)四．新課【點(diǎn)評(píng)】(1)把有公因式的各項(xiàng)歸為一組，并使組之間產(chǎn)生新的公因式，這是正確分組的關(guān)鍵，因此，設(shè)計(jì)分組方案是否有效要有預(yù)見(jiàn)性；(2)分組的方法不唯一，而合理地選擇分組方案，會(huì)使分解過(guò)程簡(jiǎn)單；(3)分組時(shí)要用到添括號(hào)法則，注意在添加帶有“－”號(hào)的括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)每項(xiàng)的符號(hào)都要改變；

(4)實(shí)際上，分組只是為完成分解創(chuàng)造條件，并沒(méi)有直接達(dá)到分解的目的．(1)a2x＋a2y＋b2x＋b2y(2)mx＋mx2－n－nx

四．新課例2

分解因式：【解】＝＝＝＝例3

把多項(xiàng)式分解因式．【分析】觀察多項(xiàng)式，前兩項(xiàng)有公因式，后三項(xiàng)符合完全平方公式．四．新課【解法一】a3－a2b－ab2＋b3＝(a3－a2b)－(ab2－b3)＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)【解法二】a3－a2b－ab2＋b3＝(a3－ab2)－(a2b－b3)＝a(a2－b2)－b(a2－b2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)四．新課例4

分解因式a3－a2b－ab2＋b3．注意，分解的結(jié)果中，如果有相同的因式，要寫(xiě)成乘方的形式．本題的結(jié)果不要寫(xiě)成(a－b)(a－b)(a＋b)．【分析】為了確定p與q的值，可以從分解常數(shù)項(xiàng)入手．由于1×91＝91，13×7＝91，所以乘積為－91的兩個(gè)數(shù)可以有

1×(－91)，(－1)×91，13×(－7)，(－13)×7

四種可能．其中只有(－13)×7一組能使得

(－13)＋7＝－6(一次項(xiàng)的系數(shù))，所以確定的兩個(gè)數(shù)是－13和7，于是分解結(jié)果可以寫(xiě)為例5

分解二次三項(xiàng)式四．新課例6

分解因式：(a＋2b)2－10(a＋2b)＋21

四．新課【分析】本題應(yīng)該把(a＋2b)2看成二次項(xiàng)，－10(a＋2b)看成一次項(xiàng)，－10看成一次項(xiàng)的系數(shù)，21看成常數(shù)項(xiàng)，從而可以用十字相乘法．【解】(a＋2b)2－10(a＋2b)＋21a＋2b－3)(a＋2b－7)＝(a＋2b－3

a＋2b－7例7

分解因式(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3．【解】(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3＝(x2＋2x－3)(x2＋2x＋1)＝(x＋3)(x－1)(x＋1)2．四．新課【點(diǎn)評(píng)】本題要注意分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止．1．練習(xí)把下列各式分解因式：

2．3．練習(xí)把下列各式分解因式：

4．5．6．練習(xí)把下列各式分解因式：

8．7．9．2x2－4x－6

2(x＋1)(x－3)練習(xí)把下列各式分解因式：

10．11．12．－m2－m＋6

－(m－2)(m＋3)13．14．練習(xí)把下列各式分解因式：

15．3x2＋11x＋10

3x2＋11x＋10

練習(xí)把下列各式分解因式：

16．17．18．a(chǎn)4－50a2＋625

練習(xí)把下列各式分解因式：

(a＋5)2(a－5)2

19．16x4－72x2＋81

(2x＋3)2(2x－3)2

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