第五章定積分、廣義積分

一、基本概念及結(jié)論1.定義：2.可積(充分)條件：第五章:定積分與廣義積分(4)定積分的幾何意義:曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值abxyooyabxb03.定積分的性質(zhì):反之不然例1.估計積分值:解在[1,4]上的最小值、最大值分別為：所以如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少存在一點(8)積分中值定理：注4.定積分的計算方法（1）Newton—Leibniz公式：注1：注2Newton——Leibniz公式表明：

(2)求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)不定積分的問題.(2)定積分的換元積分注：變量不必回代；用湊微分法求定積分時若用同除法（同除一因子），此因子在積分范圍內(nèi)不能為0.（3）定積分的分部積法注：u,dv的選取與不定積分相同；若被積函數(shù)中含有變上限積分或被積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時一般用分部積分。125.廣義積分(1)無窮區(qū)間上的廣義積分(2)無界函數(shù)的廣義積分(瑕積分)注：廣義積分的計算轉(zhuǎn)化為計算一個定積分的極限，極限存在時收斂，極限不存在時發(fā)散；（3）性質(zhì)：123分部積分公式45也有相應(yīng)的換元法；6789記住以下幾個廣義積分的斂散性：利用以上結(jié)論可直接判定一些廣義積分的斂散性:6.微積分的常用公式奇函數(shù)偶函數(shù)(2)若,則二、基本問題及解法問題(一)有關(guān)變上限積分的運算★問題(二)：定積分的計算例1.

例3.求解：由于被積函數(shù)例2.例1

計算解:設(shè)當(dāng)時,;當(dāng)時,于是,例2計算解

設(shè)定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式的適用范圍及使用方法與不定積分類同例1

計算例2計算解解令

例3.計算注:僅當(dāng)右端兩個極限都存在時,左端的積分才收斂.例1.計算解xyo1A另解例2.計算另解注1;右端的極限存在時,左端的廣義積分收斂,否則發(fā)散.注2：當(dāng)且僅當(dāng)上述兩個極限同時存在時,廣義積分收斂例3:計算廣義積分解:因所以另解★問題(三)定積分的應(yīng)用1.面積的基本公式ooooo2.求面積的步驟:畫草圖.例１所圍成圖形的面積.計算由解得交點(0,0)和(1,1)解方程組另解.畫草圖.得交點計算拋物線與直線所圍成圖形的面積.例２解.由所求面積為:-24或

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺2.旋轉(zhuǎn)體體積的基本公式o(底在坐標(biāo)軸的曲邊梯形)(化為底在坐標(biāo)軸的曲邊梯形旋轉(zhuǎn))oo例1.求圓形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.yxo312-2解.所求體積為:201面積問題(四)與定積分有關(guān)的證明題又例4.設(shè)在上連續(xù)，，求證：證明：因為