第八章互感電路

4.1電路的頻率特性及網(wǎng)絡(luò)函數(shù)第8章互感電路8.1互感一、互感當(dāng)線圈1中通入電流i1時(shí)，在線圈1中產(chǎn)生磁通(magnetic

flux)11

，產(chǎn)生的自感磁通鏈為11，同時(shí)，有部分磁通穿過臨近線圈2，產(chǎn)生互感磁通鏈為21。i1稱為施感電流,11=N111,21=N221

+–u11+–u21N1N211

21i1當(dāng)線圈2中通入電流i2時(shí)，在線圈2中產(chǎn)生磁通22

，產(chǎn)生的自感磁通鏈為22，同時(shí)，有部分磁通穿過臨近線圈1，產(chǎn)生互感磁通鏈為12。每個(gè)耦合線圈中的磁通鏈等于自感磁通鏈和互感磁通鏈的代數(shù)和。即：+–u11+–u21N1N21=11±122=±21+2212

22i2當(dāng)線圈周圍無鐵磁物質(zhì)(空心線圈)時(shí)，11、21與i1成正比，12、22與i2成正比。即：11=L1i1，21=M21i1，22=L2i2，12=M12i2M21=

M12=MM恒大于零1=L1i1±M

i22=±M

i1+

L2i2二、互感線圈的同名端1=L1i1±M

i22=±M

i1+

L2i2

互感的作用有兩種可能性。若互感磁鏈與自感磁鏈方向一致，稱為互感的增助作用，此時(shí)，M前符號(hào)為正；若互感磁鏈與自感磁鏈方向相反，稱為互感的削弱作用，此時(shí)，M前符號(hào)為負(fù)。為便于反映互感的增助或削弱作用，簡化圖形表示，采用同名端標(biāo)記方法。對(duì)兩個(gè)有耦合的線圈各取一對(duì)端子(產(chǎn)生的磁通方向相同)，用相同的符號(hào)如“”或“*”加以標(biāo)記，則稱這一對(duì)端子為同名端。

21+–u11+–u21i111N1N2i2i2當(dāng)有兩個(gè)以上的電感彼此之間存在耦合時(shí)，同名端應(yīng)一對(duì)一對(duì)地加以標(biāo)記。每一對(duì)采用不同的符號(hào)。如果每一電感都有電流時(shí)，則每一電感中的磁通鏈將等于自感磁通鏈與所有互感磁通鏈的代數(shù)和。+–u11+–u21i111

0N1N2+–u31N3

s**△△同名端表明了線圈的相互繞法關(guān)系。確定同名端的方法：(1)當(dāng)兩個(gè)線圈中電流同時(shí)由同名端流入(或流出)時(shí)，兩個(gè)電流產(chǎn)生的磁場相互增強(qiáng)。（根據(jù)繞向判別）i11'22'**(2)當(dāng)隨時(shí)間增大的時(shí)變電流從一線圈的一端流入時(shí)，將會(huì)引起另一線圈相應(yīng)同名端的電位升高。(實(shí)驗(yàn)法判別)V+–i11'22'**RS電壓表正偏，則1、2為同名端。如圖電路，當(dāng)閉合開關(guān)S時(shí)，i增加，交流法測定同名端1、2是一線圈兩端，3、4為另一線圈兩端。用導(dǎo)線將兩線圈的一端相連（圖中2、4），線圈12接交流電源，用交流電壓表測量（1，3）端電壓，若此電壓比兩個(gè)線圈各自的端電壓都大，則（1，4）為同名端；否則，（1，3）端為同名端線圈12通過開關(guān)s接通一直流電源，當(dāng)開關(guān)閉合瞬間，若直流毫安表指針?biāo)矔r(shí)正偏，則表明1，3端為同名端；若直流毫安表指針?biāo)矔r(shí)反偏，則表明1，4端為同名端。u-+V1234UmA1234+-S直流法測定同名端互感的圖形符號(hào)

“*”號(hào)表示互感的同名端

L1、L2

代表自感M

代表互感M2i1i2u1u++——**L1L2

當(dāng)兩個(gè)線圈同時(shí)通以變動(dòng)的電流時(shí)，各電感的磁鏈將隨電流的變動(dòng)而變動(dòng)，在每個(gè)線圈兩端將產(chǎn)生感應(yīng)電壓（包含自感電壓和互感電壓），設(shè)L1

和L2的電壓和電流分別為u1

、i1和u2、

i2

，且方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考方向，互感為M，則有：注意：如果互感電壓“+”極性端子與產(chǎn)生它的電流流進(jìn)的端子為一對(duì)同名端時(shí)，互感電壓前應(yīng)取“+”號(hào)，反之取“-”號(hào)。三、互感線圈的伏安特性i1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2M例

圖示電路，i1=10A，i2=5cos(10t)，L1=2H，L2=3H，M=1H，求兩耦合線圈的端電壓u1和u2。i1**L1L2+_u1+_u2i2M在正弦交流電路中，其相量形式的方程為jL1jL2+––++–+–還可以用電流控制電壓源來表示互感電壓的作用。

耦合系數(shù)

(couplingcoefficient)k：工程上為了定量描述兩個(gè)線圈的耦合緊密程度，定義耦合系數(shù)，用k表示。影響

k大小的因素有線圈結(jié)構(gòu)、相互位置及周圍介質(zhì).全耦合:F11=F21，F(xiàn)22=F12可以證明，k1。

例（a）解：寫出圖示互感元件相量模型的電壓電流關(guān)系式。

（b）對(duì)于互感電路，可直接應(yīng)用回路法、支路電流法等進(jìn)行求解。須注意含有互感的線圈上同時(shí)含有互感電壓和自感電壓，在列KVL方程時(shí)要正確計(jì)入互感電壓?；蛘呖梢杂肅CVS來表示互感電壓的作用。一、分析含互感電路的一般分析方法對(duì)于有些含耦合電感的電路，為分析簡便起見，可以先進(jìn)行“去耦”處理(即等效為無互感作用的電感)，再進(jìn)行分析。二、有些含互感的電路可以先簡化，再進(jìn)行分析對(duì)于含互感電路的分析，常用去耦等效法和受控源等效法

8.2含互感電路的分析一、互感線圈的串聯(lián)電路1.順串(即互感起增助作用)電路的去耦：i**u2+–MR1R2L1L2u1+–u+–順串電路電流i

從兩線圈的同名端流入，這種接法稱為順串．

8.2.1去耦等效法*L2i*u2+–MR1R2L1u1+–u+–iRLu+–順串電路順串電路的去耦等效電路i**u2+–R1R2L1L2u1+–u+–M反串電路：2.反串(即互感起削弱作用)電路的去耦：電流i

從兩線圈的異名端流入，稱為反串。Mi**u2+–R1R2L1L2u1+–u+–iRLu+–互感不大于兩個(gè)自感的算術(shù)平均值。在正弦激勵(lì)下：**+–R1R2jL1+–+–jL2jM–RjwLI&U&根據(jù)上式可以給出去耦等效電路的相量模型：相量圖：jU.IL

j2w.IR1.I.1U.IL

j1w.IR2.

I

M

j

w.2U.順串電路反串電路二、互感線圈的并聯(lián)電路的去耦1.同側(cè)并聯(lián)電路的去耦：線圈的同名端在同一側(cè)，稱為同側(cè)并聯(lián)。

**jL1+jL2jM–10R1R2同側(cè)并聯(lián)電路整理得**jL1+jL2jM–10R1R2–j(L1-M)+1’0R1R21j(L2-M)jM同側(cè)并聯(lián)電路的去耦等效電路同側(cè)并聯(lián)電路注意：節(jié)點(diǎn)1的位置

聯(lián)立解得：

KCL：

得等效阻抗

若則2.異側(cè)并聯(lián)電路的去耦：電路中，同名端不在同一側(cè)，稱為異側(cè)并聯(lián)。**jL1+jL2jM–10R1R2異側(cè)并聯(lián)電路整理得–j(L1+M)+1’0R1R21j(L2+M)–jM異側(cè)并聯(lián)電路的去耦等效電路異側(cè)并聯(lián)電路**jL1+jL2jM–10R1R2注意：節(jié)點(diǎn)1的位置可見:同側(cè)并聯(lián)時(shí)，磁場增強(qiáng)，等效電感增加；異側(cè)并聯(lián)時(shí)，磁場減弱，等效電感減少。則若等效阻抗三、三端互感的去耦等效電路（1）當(dāng)同名端聯(lián)在同一節(jié)點(diǎn)上時(shí)（同名端如圖a中“*”所示），則圖b中等效電路的

L3=M，L1′=L1?M，L2′=L2?M。b：

a：（2）當(dāng)異名端聯(lián)在同一節(jié)點(diǎn)上時(shí)（同名端如圖a中“.”所示），則圖b中等效電路的

L3=?M，L1′=L1+M，L2′=L2+M。1）串聯(lián)：等效為一個(gè)電感，L=L1+L2±2M

順接時(shí)取“+”，反接時(shí)取“－”2）并聯(lián)：如果耦合電感的2條支路各有一端與第3支路形成一個(gè)僅含3條支路的共同結(jié)點(diǎn)，則可以用3條無耦合的電感支路等效替代，3條支路的等效電感分別為：同側(cè)并聯(lián)異側(cè)并聯(lián)

Lc=MLc=－MLa=L1－MLa=L1＋MLb=L2－MLb=L2＋M注意：互感M前的符號(hào)。去耦方法的歸納：3)三端互感的去耦方法的歸納：(支路1)L1

M(支路2)L2

M(支路3)

±M

(同側(cè)取“+”，異側(cè)取“–”)M前符號(hào)與支路3中相反2、去耦等效電路與原電路的節(jié)點(diǎn)發(fā)生變化。注意：1、等效電感與電流的參考方向無關(guān)；例1

已知兩個(gè)線圈的參數(shù)R1=R2=100，L1=3H，L2=10H，M=5H，正弦交流電壓源電壓US=220V，

=100rad/s。解：

這是兩互感線圈反串電路作去耦等效電路求兩線圈的端電壓U1和U2。R2R1**jwL1j?L21U&2U&I&jwMSU&RLuiL=L1+L2?2M=3HR=R1+R2=

200令利用等效電路可以求出兩線圈的端電壓分別為:U1=136.4V，

U2=311.04VRLui例2求圖示電路的及負(fù)載的有功功率PL。已知

將ZL

支路斷開，如圖示，求從斷開端口看入的戴維寧等效電路。據(jù)圖示電路有：解：

求這個(gè)電路的戴維寧等效阻抗與含受控源的電路一樣，將原來的獨(dú)立電源置零，在端口處外加電源，電路如圖示。此電路中兩互感線圈為異側(cè)并聯(lián)，所以有

由此可得如圖所示的戴維寧等效電路，

此題也可用網(wǎng)孔法求解。再將ZL接入，則例3

解：

**2U&j5Wj10W-j4Wj6W3W5WSU&已知求輸出電壓應(yīng)用戴維寧定理，求5電阻以外電路的戴維寧等效電路方法一用互感電路直接列方程求解

SU&**j5Wj10W-j4Ωj6W1I&ocU&3W（1）求開路電壓（2）求等效內(nèi)阻抗Zeq

首先將網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的電壓源短路，在斷開處外加一電壓**j5Wj10W-j4Wj6W2I&I&U&3W則等效內(nèi)阻抗

回路電流方程式為化簡（3）求則兩節(jié)點(diǎn)間的電壓為方法二

采用去耦等效法求解

畫出去耦等效電路求電壓

2U&-jWj4W-j4Wj6W3W5WSU&**2U&j5Wj10W-j4Wj6W3W5WSU&8.2.2受控源等效電路法互感的作用實(shí)質(zhì)是由一個(gè)線圈中電流變化，在另一個(gè)線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓，此感應(yīng)電壓受到引起它的電流控制。可用CCVS來表示互感電壓的作用。順串電路R2R1**jwL1jwL2U&1U&2U&I&jwMR2R1jwL1jwL2U&1U&2U&I&IM&wjIM&wj反串電路同側(cè)并接電路異側(cè)并接電路R2R1**jwL1jwL2U&1U&2U&I&jwMR2jwL2R1jwL1I&1I&2I&**U&jwMR2jwL2R1jwL1I&1I&2I&**U&jwMR2R1jwL1jwL2U&1U&2U&I&IM&wjIM&wjR2R1jwL1I&1I&2I&U&2jIM&w1jIM&wjwL2R2R1jwL1I&1I&2I&U&2jIM&w1jIM&wjwL2**2U&j5Wj10W-j4Wj6W3W5WSU&例解：

利用受控源等效電路法重做前例已知求輸出電壓1I&2I&2U&j5Wj10W-j4W3W5W16jI&26jI&SU&畫出電路的受控源等效電路列網(wǎng)孔電流方程解方程所以

例空心變壓器變壓器是工程上常用的一種電氣設(shè)備，通常是在一個(gè)鐵心上繞制幾個(gè)線圈構(gòu)成的，它是利用互感來傳遞能量或信號(hào)的。典型的空心變壓器是由兩個(gè)耦合線圈繞在非鐵磁材料的心架上構(gòu)成，這里強(qiáng)調(diào)“空心”（無鐵心）的原因是帶鐵心的變壓器互感為非線性的，超出目前討論的線性電路范圍。空心變壓器雖然耦合系數(shù)低，但因無鐵心的各種功率損耗，在高頻電路和測量儀器中被廣泛采用。詳細(xì)介紹空心變壓器示意圖+–ZL=RL+jXL空心變壓器電路模型心子:非鐵磁材料11′22′一次側(cè)(原邊、初級(jí)回路)二次側(cè)(副邊、次級(jí)回路)**jL1jL2jM+–R1R2ZL=RL+jXL11′22′一次側(cè)(原邊、初級(jí)回路)二次側(cè)(副邊、次級(jí)回路)？Z1eq用“加流求壓法”求Z1eq:**jL1jL2jMR1R2ZL=RL+jXL11′22′+–求一次側(cè)電流的等效電路為：一次側(cè)等效阻抗Z1eq中，(M)2Y22稱引入阻抗(反映阻抗)，是二次側(cè)通過互感反映到一次側(cè)的等效阻抗，性質(zhì)與Z22相反。+–Z1111′先求一次側(cè)等效電路，再求電流負(fù)號(hào)反映了二次側(cè)的感性阻抗反映到一次側(cè)為一個(gè)容性阻抗二次側(cè)對(duì)一次側(cè)的引入阻抗：二次回路對(duì)一次回路的影響可以用引入阻抗來考慮。從物理意義講，雖然兩邊沒有電的聯(lián)系，但由于互感作用使閉合的二次側(cè)產(chǎn)生電流，反過來這個(gè)電流又影響一次側(cè)電流、電壓。從能量角度來說

:不論變壓器的繞法如何，二次側(cè)對(duì)一次側(cè)的引入電阻為恒為正,這表示二次側(cè)電路吸收能量電源發(fā)出有功=電阻吸收有功=I12(R1+R12)I12R1消耗在一次側(cè)；I12R12消耗在二次側(cè)，由互感傳輸。求二次側(cè)電流的等效電路為：先求二次側(cè)等效電路，再求電流**jL1jL2jM+–R1R211′22′Z2eq22′+–易知，開路電壓參考Z1eq的求解，易知：Z2eq22′+–ZL=RL+jXL一次側(cè)對(duì)二次側(cè)的引入阻抗+–Z22一次側(cè)等效電路+–Z11二次側(cè)等效電路一次側(cè)、二次側(cè)等效電路對(duì)比：+–Z22例1.

已知US=20V,一次側(cè)引入阻抗Z=10–j10.求:ZX并求負(fù)載獲得的有功功率.此時(shí)負(fù)載獲得的功率：解：**j10j10j2+–10ZX+–10+j10Z=10–j10(實(shí)際是最佳匹配：)例2.

L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20W,R2=0.08W,RL=42W,w=314rad/s,法一：回路法。法二：空心變壓器一次側(cè)等效電路。**jL1jL2jM+–R1R2RL+–Z11例3.支路法、回路法：方程較易列寫，因?yàn)榛ジ须妷嚎梢灾苯佑?jì)入KVL方程中。分析：節(jié)點(diǎn)法：方程列寫較繁，因?yàn)榛ジ兄返碾妷翰粌H與本支路電流有關(guān)，還與其他支路電流有關(guān)。關(guān)鍵：正確考慮互感電壓作用，要注意表達(dá)式中的正負(fù)號(hào)，不要漏項(xiàng)。M12+_+_**M23M13L1L2L3Z1Z2Z3M12+_+_**M23M13L1L2L3Z1Z2Z3支路法：整理，得回路法：M12+_+_**M23M13L1L2L3Z1Z2Z3整理，得此題也可先作出去耦等效電路，再列方程:M12**M23M13L1L2L3**M23M13L1–M12L2–M12L3+M12L1–M12–M13+M23L2–M12+M13–M23L3+M12–M13–M23一、實(shí)際變壓器實(shí)際變壓器是在鐵心上繞幾個(gè)線圈（稱為繞組）構(gòu)成利用互感來工作2i1i1u2uF122'1'當(dāng)原邊11’接通交變電源u1時(shí)，產(chǎn)生電流i1和交變磁通，在各繞組中產(chǎn)生感應(yīng)電壓；若副邊22’接通負(fù)載時(shí)，產(chǎn)生副邊電流i2，變壓器將從電源吸收的功率傳送至負(fù)載。

8.3理想變壓器(IdealTransformer)及其電路的計(jì)算二、理想變壓器構(gòu)成的條件（1）全耦合，即穿過每個(gè)線圈的磁通相同，無漏磁通，耦合系數(shù)k=1；（2）無損耗，即各線圈的電阻為零，鐵心中損耗亦為零；

（3）鐵心導(dǎo)磁率趨于無限大，各線圈的電感及互感即L1、L2、M都趨于無限大，但n為線圈的匝數(shù)比，稱為變比。

理想變壓器的電路模型：u2+–+–u1i1i2+–變比或**+–+–n:1N1N2u1u2i1i2一次側(cè)匝數(shù)二次側(cè)匝數(shù)