概率的意義及古典概型

3.1.2

概率的意義1.概率的正確理解：若某地氣象局預(yù)報說，明天本地降水概率為70%，你認(rèn)為下面兩個解釋哪一個能代表氣象局的觀點(diǎn)？（1）明天本地有70%的區(qū)域下雨，30%的區(qū)域不下雨；（2）明天有70%的時間下雨，30%的時間不下雨；（3）明天本地有70%的機(jī)會下雨。（1）概率與公平性的關(guān)系：利用概率解釋游戲規(guī)則的公平性，判斷實(shí)際生活中的一些現(xiàn)象是否合理。（2）概率與決策的關(guān)系：在“風(fēng)險與決策”中經(jīng)常會用到統(tǒng)計中的極大似然法：在一次實(shí)驗(yàn)中，概率大的事件發(fā)生的可能性大。（3）概率與預(yù)報的關(guān)系：在對各種自然現(xiàn)象、災(zāi)害的研究過程中經(jīng)常會用到概率的思想來進(jìn)行預(yù)測。2.概率在實(shí)際問題中的應(yīng)用：2.概率在實(shí)際問題中的應(yīng)用——公平性某中學(xué)高一年級有12個班，要從中選2個班代表學(xué)校參加某項(xiàng)活動，由于某種原因，1班必須參加，另外再從2至12班中選一個班，有人提議用如下方法：擲兩個骰子得到的點(diǎn)數(shù)和是幾，就選幾班，你認(rèn)為這種方法公平嗎？1點(diǎn)2點(diǎn)3點(diǎn)4點(diǎn)5點(diǎn)6點(diǎn)1點(diǎn)2345672點(diǎn)3456783點(diǎn)4567894點(diǎn)56789105點(diǎn)678910116點(diǎn)7891011122.概率在實(shí)際問題中的應(yīng)用——風(fēng)險與決策福利彩票雙色球中獎概率計算

一等獎（6+1）概率為：紅球33選6乘以藍(lán)球16選1=0.0000056%；

二等獎（6+0）概率為：紅球33選6乘以藍(lán)球16選0=0.00009%；

三等獎（5+1）概率為：紅球33選5乘以藍(lán)球16選1=0.000026%；

四等獎（5+0）概率為：紅球33選5乘以藍(lán)球16選0=0.00042%；

四等獎（4+1）概率為：紅球33選4乘以藍(lán)球16選1=0.015%；

五等獎（4+0）概率為：紅球33選4乘以藍(lán)球16選0=0.24%；

五等獎（3+1）概率為：紅球33選3乘以藍(lán)球16選1=0.11%；

六等獎（2+1）概率為：紅球33選2乘以藍(lán)球16選1=0.012%；

六等獎（1+1）概率為：紅球33選1乘以藍(lán)球16選1=0.189%；

六等獎（0+1）概率為：紅球33選0乘以藍(lán)球16選1=6.25%.

雙色球的總中獎率:6.709453％。

按照這個概率，如果守一個號,可能中一等獎可能需要48550年孟德爾小傳

從維也納大學(xué)回到布魯恩不久，孟德爾就開始了長達(dá)8年的豌豆實(shí)驗(yàn)。孟德爾首先從許多種子商那里，弄來了34個品種的豌豆，從中挑選出22個品種用于實(shí)驗(yàn)。它們都具有某種可以相互區(qū)分的穩(wěn)定性狀，例如高莖或矮莖、圓料或皺科、灰色種皮或白色種皮等。2.概率在實(shí)際問題中的應(yīng)用——自然現(xiàn)象規(guī)律豌豆雜交試驗(yàn)孟德爾把黃色和綠色的豌豆雜交，第一年收獲的豌豆是黃色的。第二年，當(dāng)他把第一年收獲的黃色豌豆再種下時，收獲的豌豆既有黃色的又有綠色的。同樣他把圓形和皺皮豌豆雜交，第一年收獲的都是圓形豌豆，連一粒。皺皮豌豆都沒有。第二年，當(dāng)他把這種雜交圓形再種下時，得到的卻既有圓形豌豆，又有皺皮豌豆。豌豆雜交試驗(yàn)的子二代結(jié)果性狀顯性隱性顯性:隱性子葉的顏色黃色6022綠色20013.01:1種子的性狀圓形5474皺皮18502.96:1莖的高度長莖787短莖2772.84:1遺傳機(jī)理中的統(tǒng)計規(guī)律第二代第一代親本yyYYYYYyYyYyYyyyYY表示純黃色的豌豆yy表示純綠色的豌豆(其中Y為顯性因子y為隱性因子)必修33.2.1古典概型考察兩個試驗(yàn)：（1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗(yàn)；（2）擲一顆質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn).在這兩個試驗(yàn)中，可能的結(jié)果分別有哪些？（2）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，結(jié)果只有6個，即“1點(diǎn)”、“2點(diǎn)”、“3點(diǎn)”、“4點(diǎn)”、“5點(diǎn)”和“6點(diǎn)”.（1）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，結(jié)果只有2個，即“正面朝上”或“反面朝上它們都是隨機(jī)事件，我們把這類隨機(jī)事件稱為基本事件.基本事件：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果稱為基本事件。把一枚骰子拋6次，設(shè)正面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為x1、求出x的可能取值情況2、下列事件由哪些基本事件組成（1）x的取值為2的倍數(shù)（記為事件B）（2）x的取值大于4（記為事件C）（3）x的取值為不超過1（記為事件D）（4）x的取值為奇數(shù)（記為事件E）事件的關(guān)系及運(yùn)算（1）x的取值為2的倍數(shù)（記為事件B）（2）x的取值大于4（記為事件C）（3）x的取值為不超過1（記為事件D）（4）x的取值為奇數(shù)（記為事件E）解：（1）點(diǎn)數(shù)

1

2

3

4

5

6（2）點(diǎn)數(shù)

1

2

3

4

5

6（3）點(diǎn)數(shù)

1

2

3

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5

6（1）點(diǎn)數(shù)

1

2

3

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5

6分別記6個點(diǎn)數(shù)為6個基本事件：A1={出現(xiàn)1點(diǎn)}；A2={出現(xiàn)2點(diǎn)}；A3={出現(xiàn)3點(diǎn)}；A4={出現(xiàn)4點(diǎn)}；A5={出現(xiàn)5點(diǎn)}；A6={出現(xiàn)6點(diǎn)}；123456點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)問題1：（1）（2）在一次試驗(yàn)中，會同時出現(xiàn)與

這兩個基本事件嗎？“1點(diǎn)”“2點(diǎn)”事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”包含哪幾個基本事件？“2點(diǎn)”“4點(diǎn)”“6點(diǎn)”不會任何兩個基本事件是互斥的任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于4”包含哪幾個基本事件？“1點(diǎn)”“2點(diǎn)”“3點(diǎn)”“4點(diǎn)”基本事件有什么特點(diǎn)：基本事件基本事件的特點(diǎn)：任何兩個基本事件是互斥的任何事件都可以表示成基本事件的和。例1從字母a、b、c、d任意取出兩個不同字母的試驗(yàn)中，有哪些基本事件？abcdbcdcd樹狀圖解：所求的基本事件共有6個：A={a,b}，B={a,c}，C={a,d}，D={b,c}，E={b,d}，F(xiàn)={c,d}，分析：列舉法（包括樹狀圖、列表法，按某種順序列舉等）2、某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽．判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對立事件．(1)恰有一名男生與恰有2名男生；(2)至少有1名男生與全是男生；(3)至少有1名男生與全是女生；(4)至少有1名男生與至少有1名女生．不互斥遷移運(yùn)用，鞏固提高互斥不對立不互斥互斥且對立3、袋中裝有白球3個，黑球4個，從中任取3個，是對立事件的為()①恰有1個白球和全是白球；②至少有1個白球和全是黑球；③至少有1個白球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個黑球．

A．①B．②

C．③

D．④B遷移運(yùn)用，鞏固提高4.從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝｛三件產(chǎn)品全不是次品｝B＝｛三件產(chǎn)品全是次品｝C＝｛三件產(chǎn)品不全是次品｝則下列結(jié)論正確的是（）A.只有A和C互斥B.只有B與C互斥C.任何兩個均互斥D.任何兩個均不互斥C遷移運(yùn)用，鞏固提高123456點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)（“1點(diǎn)”）P（“2點(diǎn)”）P（“3點(diǎn)”）P（“4點(diǎn)”）P（“5點(diǎn)”）P（“6點(diǎn)”）P反面向上正面向上（“正面向上”）P（“反面向上”）P問題2：以下每個基本事件出現(xiàn)的概率是多少？試驗(yàn)1試驗(yàn)2（1）x的取值為2的倍數(shù)（記為事件B）（2）x的取值大于4（記為事件C）（3）x的取值為不超過1（記為事件D）（4）x的取值為奇數(shù)（記為事件E）解：（1）點(diǎn)數(shù)

1

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6（2）點(diǎn)數(shù)

1

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6（3）點(diǎn)數(shù)

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6（1）點(diǎn)數(shù)

1

2

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4

5

6分別記6個點(diǎn)數(shù)為6個基本事件：A1={出現(xiàn)1點(diǎn)}；A2={出現(xiàn)2點(diǎn)}；A3={出現(xiàn)3點(diǎn)}；A4={出現(xiàn)4點(diǎn)}；A5={出現(xiàn)5點(diǎn)}；A6={出現(xiàn)6點(diǎn)}；分別求出這四個事件發(fā)生的概率例1從字母a、b、c、d任意取出兩個不同字母的試驗(yàn)中，有哪些基本事件？abcdbcdcd樹狀圖解：所求的基本事件共有6個：A={a,b}，B={a,c}，C={a,d}，D={b,c}，E={b,d}，F(xiàn)={c,d}，分析：列舉法（包括樹狀圖、列表法，按某種順序列舉等）計算事件G={取到的兩個字母中含有a}發(fā)生的概率。對于某些隨機(jī)事件，也可以不通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，而只通過對一次實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果的分析來計算概率。歸納：共同特點(diǎn)：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。我們將具有這兩個特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型。有限性等可能性（A）PA包含的基本事件的個數(shù)基本事件的總數(shù)2.互斥事件同時發(fā)生的概率加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(AB)=P(A)+P(B)若事件A，B為對立事件,則P(B)=1－P(A)3.對立事件的概率關(guān)系公式剖析概念，夯實(shí)基礎(chǔ)1.若一個古典概型有n個基本事件，則每個基本事件發(fā)生的概率同時拋擲兩枚均勻的硬幣，會出現(xiàn)幾種結(jié)果？列舉出來.出現(xiàn)的概率是多少？“一枚正面向上，一枚反面向上”例2．解：基本事件有：（，）正正（，）正反（，）反正（，）反反Ｐ（“一正一反”）＝正正反正反反在遇到“拋硬幣”的問題時,要對硬幣進(jìn)行編號用于區(qū)分例：同時拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)“三枚均是正面向上”的概率是多少？出現(xiàn)“三枚不完全同面”的概率呢？解：所有的基本事件共有８個：A=｛正，正，正｝,B=｛正，正，反｝,C=｛正，反，正｝,D=｛正，反，反｝,E=｛反，正，正｝,F=｛反，正，反｝，G=｛反，反，正｝,H=｛反，反，反｝,例3、同時擲兩個骰子，計算：（1）一共有多少種不同的結(jié)果？（2）其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？（3）向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率是多少？

解：（1）擲一個骰子的結(jié)果有6種，我們把兩個骰子標(biāo)上記號1，2以便區(qū)分，它總共出現(xiàn)的情況如下表所示：（6，6）（6，5）（6，4）（6，3）（6，2）（6，1）（5，6）（5，5）（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）（4，6）（4，5）（4，4）（4，3）（4，2）（4，1）（3，6）（3，5）（3，4）（3，3）（3，2）（3，1）（2，6）（2，5）（2，4）（2，3）（2，2）（2，1）（1，6）（1，5）（1，4）（1，3）（1，2）（1，1）（4，1）（3，2）（2，3）（1，4）6543216543211號骰子

2號骰子從表中可以看出同時擲兩個骰子的結(jié)果共有36種。（6，6）（6，5）（6，4）（6，3）（6，2）（6，1）（5，6）（5，5）（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）（4，6）（4，5）（4，4）（4，3）（4，2）（4，1）（3，6）（3，5）（3，4）（3，3）（3，2）（3，1）（2，6）（2，5）（2，4）（2，3）（2，2）（2，1）（1，6）（1，5）（1，4）（1，3）（1，2）（1，1）（4，1）（3，2）（2，3）（1，4）6543216543211號骰子

2號骰子（2）在上面的結(jié)果中，向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有4種，分別為：（1，4）,（2，3）,（3，2）,（4，1）。（3）由于所有36種結(jié)果是等可能的，其中向上點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果（記為事件A）有4種，則從表中可以看出同時擲兩個骰子的結(jié)果共有36種。為什么要把兩個骰子標(biāo)上記號？如果不標(biāo)記號會出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？

思考：如果不標(biāo)上記號，類似于（3，6）和（6，3）的結(jié)果將沒有區(qū)別。為什么要把兩個骰子標(biāo)上記號？如果不標(biāo)記號會出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？

如果不標(biāo)上記號，類似于（3，6）和（6，3）的結(jié)果將沒有區(qū)別。思考：（6，6）（6，5）（6，4）（6，3）（6，2）（6，1）（5，6）（5，5）（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）（4，6）（4，5）（4，4）（4，3）（4，2）（4，1）（3，6）（3，5）（3，4）（3，3）（3，2）（3，1）（2，6）（2，5）（2，4）（2，3）（2，2）（2，1）（1，6）（1，5）（1，4）（1，3）（1，2）（1，1）6543216543211號骰子

2號骰子

(4,1)

(3,2)

這時，所有可能的結(jié)果將是：因此，在投擲兩個骰子的過程中，我們必須對兩個骰子加以標(biāo)號區(qū)分因此，在投擲兩個骰子的過程中，我們必須對兩個骰子加以標(biāo)號區(qū)分（3，6）（3，3）概率不相等？概率相等嗎？例2單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A、B、C、D四個選項(xiàng)中選擇一個正確答案。如果考生掌握了考察的內(nèi)容，它可以選擇唯一正確的答案。假設(shè)考生不會做，他隨機(jī)的選擇一個答案，問他答對的概率是多少？解：這是一個古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)的可能結(jié)果只有4個：選擇A、選擇B、選擇C、選擇D，即基本事件只有4個，考生隨機(jī)的選擇一個答案是選擇A、B、C、D的可能性是相等的，由古典概型的概率計算公式得：P（“答對”）=“答對”所包含的基本事件的個數(shù)4

=1/4=0.25

假設(shè)有20道單選題，如果有一個考生答對了17道題，他是隨機(jī)選擇的可能性大，還是他掌握了一定的知識的可能性大？可以運(yùn)用極大似然法的思想解決。假設(shè)他每道題都是隨機(jī)選擇答案的，可以估計出他答對17道題的概率為可以發(fā)現(xiàn)這個概率是很小的；如果掌握了一定的知識，絕大多數(shù)的題他是會做的，那么他答對17道題的概率會比較大，所以他應(yīng)該掌握了一定的知識。答：他應(yīng)該掌握了一定的知識探究在標(biāo)準(zhǔn)化的考試中既有單選題又有不定向選擇題，不定項(xiàng)選擇題從A、B、C、D四個選項(xiàng)中選出所有正確答案，同學(xué)們可能有一種感覺，如果不知道正確答案，更難猜對，試求不定項(xiàng)選擇題猜對的概率。我們探討正確答案的所有結(jié)果：如果只要一個正確答案是對的，則有4種；如果有兩個答案是正確的，則正確答案可以是（A、B）（A、C）（A、D）（B、C）(B、D)(C、D)6種如果有三個答案是正確的，則正確答案可以是（A、B、C）（A、C、D）（A、B、D）（B、C、D）4種所有四個都正確，則正確答案只有1種。正確答案的所有可能結(jié)果有4＋6＋4＋1＝15種，從這15種答案中任選一種的可能性只有1/15，因此更難猜對。例4：假設(shè)儲蓄卡的密碼由4個數(shù)字組成，每個數(shù)字可以是0，1，2…，9十個數(shù)字中的任意一個。假設(shè)一個人完全忘記了自己的儲蓄卡密碼，問他到自動提款機(jī)上隨機(jī)試一次密碼就能取到錢的概率是多少？

解：這個人隨機(jī)試一個密碼，相當(dāng)做1次隨機(jī)試驗(yàn)，試驗(yàn)的基本事件（所有可能的結(jié)果）共有10000種，它們分別是0000，0001，0002，…，9998，9999.由于是隨機(jī)地試密碼，相當(dāng)于試驗(yàn)的每一個結(jié)果試等可能的．所以

P(“試一次密碼就能取到錢”)

＝“試一次密碼就能取到錢”所包含的基本事件的個數(shù)

10000＝1/10000答：隨機(jī)試一次密碼就能取到錢概率是0.0001．

＝0.0001

例5：某種飲料每箱裝6聽，如果其中有2聽不合格，問質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽取2聽，檢測出不合格產(chǎn)品的概率有多大？

解：我們把每聽飲料標(biāo)上號碼，合格的4聽分別記作：1，2，3，4，不合格的2聽分別記為a，b，只要檢測的2聽中有1聽不合格，就表示查出了不合格產(chǎn)品.

解法1：可以看作不放回抽樣2次，順序不同，基本事件不同.依次不放回從箱中取出2聽飲料，得到的兩個標(biāo)記分別記為x和y，則（x，y）表示一次抽取的結(jié)果，即基本事件．由于是隨機(jī)抽取，所以抽到的任何基本事件的概率相等．用A表示“抽出的2聽飲料中有不合格產(chǎn)品”，A1表示“僅第一次抽出的是不合格產(chǎn)品”，A2表示“僅第二次抽出的是不合格產(chǎn)品”，A12表示“兩次抽出的都是不合格產(chǎn)品”，則，A1,A2和A12是互不相容的事件，且A＝A1∪A2∪A12

從而P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A12)

因?yàn)锳1中的基本事件的個數(shù)為8，a1234b1234A2中的基本事件的個數(shù)為8，1ab2ab3ab4abA12中的基本事件的個數(shù)為2，abba全部基本事件的總數(shù)為30，所以P(A)＝＋＋830＝0.6830230

解法2：可以看作不放回2次無順序抽樣，則（x，y）與（y，x）表示相同的基本事件.在6聽飲料中隨機(jī)抽取2聽，可能發(fā)生的基本事件共有：15種.由于是隨機(jī)抽取，所以抽到的任何基本事件的概率相等.其中抽出不合格產(chǎn)品有兩種情況:1聽不合格：合格產(chǎn)品從4聽中選1聽，不合格產(chǎn)品從2聽中選1聽，包含的基本事件數(shù)為8.2聽都不合格：包含的基本事件數(shù)為1.所以檢測出不合格產(chǎn)品這個事件包含的基本事件數(shù)為8＋1＝9，答：檢測出不合格產(chǎn)品的概率是0.6.

915所