第一講 隨機試驗與隨機事件

課程信息教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》浙江大學教師：林軍課程要求：(1)課前預習

(2)認真聽講

(3)課后復習,認真完成作業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一部分概率論第二部分數(shù)理統(tǒng)計第一部分概率論第一章概率論的基本概念第二章隨機變量及其分布第三章多維隨機變量及其分布第四章隨機變量的數(shù)字特征第五章大數(shù)定律和中心極限定理第二部分數(shù)理統(tǒng)計第六章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念第七章參數(shù)估計第八章假設(shè)檢驗引言

概率論是一門研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學分支

其起源于十七世紀中葉，當時在誤差、人口統(tǒng)計、人壽保險等范籌中，需要整理和研究大量的隨機數(shù)據(jù)資料，這就孕育出一種專門研究大量隨機現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學

但當時刺激數(shù)學家們首先思考概率論的問題，卻是來自賭博問題

首先要提到的有三位數(shù)學家費馬（1601-1655）法國律師和業(yè)余數(shù)學家）帕斯卡（1623－1662）法國數(shù)學家、物理學家、哲學家、散文家惠更斯(1629—1695)荷蘭物理學家、天文學家、數(shù)學家，費馬向帕斯卡提出下列的問題：

現(xiàn)有甲，乙兩個賭徒各出30萬元共60萬元作為賭注，每局甲，乙取勝機會相等，約定誰先贏3局就算贏了.當賭徒甲贏2局，而賭徒乙贏1局時，賭博因故中止，那賭本應(yīng)怎樣分才合理呢？

假設(shè)我們讓賭徒繼續(xù)賭完，最多兩局就可以分出勝負可能結(jié)果為：

前3種結(jié)果甲贏最后1種結(jié)果乙贏，

故合理分配為甲45萬元，乙15萬元甲甲，乙甲，甲乙,乙乙

這些問題后來被來到巴黎的荷蘭科學家惠更斯獲悉，回荷蘭后，他獨立地進行研究。

經(jīng)過多年的潛心研究，解決了擲骰子中的一些數(shù)學問題。1657年，他將自己的研究成果寫成了專著《論擲骰子游戲中的計算》。這本書迄今為止被認為是概率論中最早的論著。

因此可以說早期概率論的真正創(chuàng)立者是帕斯卡、費爾馬和惠更斯。

這一時期被稱為組合概率時期，計算各種古典概率

瑞士數(shù)學家族——貝努利家族（共出現(xiàn)了11位數(shù)學家）的幾位成員對概率論這一學科做出了重要貢獻，特別是雅可布·貝努利

雅可布繼續(xù)分析賭博中的其他問題，給出了“賭徒輸光問題”的詳盡解法，并花了20年時間完善并證明了“大數(shù)定律”。雅各布·伯努利一生最有創(chuàng)造力的著作就是1713年出版的《猜度術(shù)》,雅可布·貝努利（1654-1705）瑞士數(shù)學家

在概率論中引入了更有力的數(shù)學分析工具。他證明了“棣莫弗——拉普拉斯定理”，還建立了觀測誤差理論和最小二乘法。拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理論》，這是一部繼往開來的作品。

拉普拉斯將古典概率論向近代概率論進行推進，拉普拉斯(1749－1827)是法國分析學家、概率論學家和物理學家，拿破侖的老師

概率論在20世紀再度迅速地發(fā)展起來，中心極限定理終于被嚴格的證明了，以后數(shù)學家正利用這一定理第一次科學地解釋了為什么實際中遇到的許多隨機變量近似服從以正態(tài)分布。

到了20世紀的30年代，人們開始研究隨機過程，其中著名的是1931年的馬爾可夫過程的理論馬爾可夫（1856-1922）俄羅斯數(shù)學家

柯爾莫哥洛夫在概率論發(fā)展史上亦作出了重大貢獻，1933完成了概率的公理論化體系，在三條簡潔的公理下，發(fā)展出概率論整座宏偉建筑，有如歐幾里德公理體系（五條）下發(fā)展的整部幾何柯爾莫哥洛夫（1903－1987）,20世紀蘇聯(lián)最杰出的數(shù)學家，也是20世紀世界上為數(shù)極少的幾個最有影響的數(shù)學家之一。他的研究幾乎遍及數(shù)學的所有領(lǐng)域，做出許多開創(chuàng)性的貢獻,馬爾可夫的學生

隨機分析理論在經(jīng)濟學中有廣泛的應(yīng)用：

最成功的應(yīng)用應(yīng)該是在連續(xù)金融領(lǐng)域

1972年布萊克（F.Black1938-1995)和肖爾斯(M.S.Scholes1941~)用Ito公式得到的關(guān)于期權(quán)定價的布萊克和肖爾斯公式,它成為有史以來使用最頻繁的數(shù)學公式

肖爾斯和默頓(R.C.Merton,1944~)榮獲得1997年諾貝爾經(jīng)濟學獎.一必然現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象

在一定條件下可以準確預言結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.也稱為必然現(xiàn)象.

“在一個標準大氣壓下1000C的水必定沸騰”

1.確定性現(xiàn)象“沒有外力作用下，作勻速直線運動的物體仍然作勻速直線運動”“沒有外力作用下，向上拋一顆石子必然下落”

實例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象,隨機現(xiàn)象.第一講隨機事件及其運算P1（牛頓：慣性定律）

在條件相同的情況下，某種結(jié)果可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.2.隨機現(xiàn)象

實例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.實例2

“在相同條件下生產(chǎn)同一種零件，觀察它們的尺寸”.結(jié)果:“它們的尺寸總會有一點差異

”.2°隨機現(xiàn)象從表面上看，似乎雜亂無章,沒有規(guī)律.但實踐證明,如果同類的隨機現(xiàn)象大量重復出現(xiàn),它的總體就呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性.注1°隨機現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述.

這種規(guī)律性隨著我們觀察的次數(shù)的增多而愈加明顯.這種由大量同類隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)出來的集體規(guī)律性叫做統(tǒng)計規(guī)律性.概率論和數(shù)理統(tǒng)計就是研究這種統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學學科.

（1）在相同的條件下可以重復地進行;

（2)試驗前就能確定試驗的所有可能結(jié)果,

且結(jié)果不止一個；1隨機試驗定義二隨機試驗P2(3)試驗前不能確定會出現(xiàn)哪一種結(jié)果具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗實例1

“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)”.

實例2“從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù)”.實例3記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人數(shù).實例4考察某地區(qū)10月份的平均氣溫.實例5從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.

1樣本點(基本事件)

2樣本空間S隨機試驗的基本結(jié)果稱為樣本點

(基本事件).

三基本事件(樣本點),樣本空間SP2

隨機試驗E的所有基本結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間,記為

S

.也有用U或Ω的1)觀將一枚硬幣連拋100次,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù).例1寫出下列隨機試驗的樣本空間.2）拋擲二枚骰子,觀察出現(xiàn)的結(jié)果.從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的情況.4)記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人數(shù).Z-正品C-次品5)一枚硬幣拋3次觀察正面H,反面T

出現(xiàn)的情況等價定義:1隨機事件的定義P3四、隨機事件的概念隨機試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為隨機事件以大寫英文字母A,B,C,

…來表示事件.樣本空間S的子集稱為隨機事件例如如果試驗是拋一骰子S

={123456}樣本空間由如下六個樣本點組成：A={出現(xiàn)奇數(shù)點

}={1，3，5}B={點數(shù)不超過3}={1，2，3}C={點數(shù)為8}=φ1一次隨機試驗只可能出現(xiàn)一個基本結(jié)果S的子集注意:2隨機事件的發(fā)生：隨機事件包含的某個基本結(jié)果出現(xiàn)P23小結(jié)如：上述試驗中“點數(shù)不大于6”

就是必然事件.4必然事件S

:隨機試驗中必然會出現(xiàn)的結(jié)果.如:“出現(xiàn)1點”,“出現(xiàn)2點”,…,“出現(xiàn)6點”.2基本事件:

由一個樣本點組成的單點集.3復合事件:

由若干個樣本點組成的點集.如：“點數(shù)不大于4”,“點數(shù)為偶數(shù)”

.五隨機事件的關(guān)系及其運算P3(一)包含關(guān)系“事件A發(fā)生必導致事件B發(fā)生”記為AB例拋一骰子,則

A是B的子集S={1,2,3,4,5,6}A={點數(shù)不超過3}={1,2,3}B={點數(shù)不超過4}={1,2,3,4}BAS

(二)事件的和或者事件的并運算P31AB=A+B={事件A與B至少有一個發(fā)生}A發(fā)生B不發(fā)生(II)A,B同時發(fā)生(III)B發(fā)生A不發(fā)生例:A={甲擊中目標}B={乙擊中目標}則A+B={至少有一人擊中目標}AB例:醫(yī)生對n個人進行檢查

Ai={第i個人有病}(i=1,2,3…n)={至少有一人有病}2多個事件的和或者多個事件的并A1+A2+A3+…An表示A1

A2

A3…An

至少有一個發(fā)生A1+A2+A3+…An1AB=A∩B={A與B都發(fā)生}例:A={甲擊中目標}B={乙擊中目標}(三)

事件的積或者事件的交運算P3A與B的交集AB=A∩B={二人都擊中目標}AB例:n個人進行射擊比賽

Ai={第i個人擊中目標}(i=1,2,3…n)={每個人都擊中目標}2多個事件的積或者多個事件的交A1A2A3…An表示A1A2A3…An

每個都發(fā)生A1A2A3…An

(四)互斥關(guān)系或互不相容關(guān)系P4“事件A與事件B不可能同時發(fā)生”BASA∩B=AB=φA與B的交集為φ例拋一骰子,則S={1,2,3,4,5,6}A={2,3}B={5,6}則A與B為互斥事件或互不相容事件A

(五)

事件的差運算P41A-B={事件A發(fā)生但B不發(fā)生}例拋一骰子,則S={1,2,3,4,5,6}A={1,2,3,4,5}B={3,4,6}A-B={1,2,5}B有用等式!

(六)

事件的補運算P4={非A}={A不發(fā)生}={A的對立面發(fā)生}稱為A的對立事件或逆事件性質(zhì):A注意:對立事件與互斥事件的關(guān)系(1)A與B為互斥事件時，A與B不一定為對立事件(2)A與為對立事件，則A與為互斥事件BASASB為的子集(七)運算性質(zhì)（Demorgan律)P5注意此性質(zhì)非常有用即例1從一批產(chǎn)品中取3件產(chǎn)品進行檢驗（每次取一件，不放回）Ai

={第i次取合格品}i=1,2,3,用符號表示下列事件（1）三次都取合格品，（2）至少有一次合格品（3）恰有二件合格品（4）至多一次取合格品