復變函數(shù)課件ch6 2-3

2/4/20231第二節(jié)用留數(shù)定理計算實積分1.計算型積分.2.計算型積分3.計算型積分某些實函數(shù)的積分難以直接計算，可設法化為復變閉合曲線積分，然后在利用留數(shù)定理計算積分值，這時計算某些實積分的有效途徑之一。

1、計算形如的積分例1解：思考題計算積分引理6.1：

2、計算形如的積分為互質多項式,且滿足條件:(1)n-m≥2;

定理6.7

設為有理分式,其中0xa2aka1yza3a4xy..這里可補線(以原點為中心,R為半徑的在上半平面的半圓周)與一起構成封閉曲線C,f(z)在C及其內(nèi)部除去有限孤立奇點外處處解析.取R適當大,使f(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點都包在這積分路線內(nèi).分析可先討論最后令即可.根據(jù)留數(shù)定理得:當充分大時,總可使例2解引理6.2（Jordan引理）：

3、計算形如的積分則(2)Q(x)≠0,xR;(3)m>0.(*)定理6.8

設，其中P(z)及Q(z)是互質多項式且滿足條件(1)Q(z)的次數(shù)比P(z)的次數(shù)高；特別說來,將(*)分開實虛部,就可以得到形如:例3解:192/4/20234.計算上連續(xù),且型積分Sr引理6.3

設f(z)在圓弧于Sr上一致成立,則有證因,于是有分析類似于引理6.1.（小圓弧引理）例5計算積分分析

因在實軸上有一級極點應使封閉路線不經(jīng)過奇點,所以可取圖示路線:解封閉曲線C:由柯西-古薩定理得:

定理6.2.3（推廣的留數(shù)定理)例6假設已知泊松積分計算反常積分有時要用種種不同的方式來選擇積分路徑證明弗萊聶爾(Frensnel)積分公式證如圖路徑，令兩端實部與虛部分別相等，得2/4/202327第三節(jié)輻角原理及即應用6.3.1對數(shù)留數(shù)6.3.2輻角原理6.3.3儒歇定理282/4/2023定義：形如的積分稱為f(z)的對數(shù)留數(shù)。注:函數(shù)f(z)的零點和奇點都可能是的奇點.6.3.1對數(shù)留數(shù)引理6.4(1)設a為f(z)的n級零點,

(2)設b為f(z)的m級極點，則b則a必為函數(shù)的一級極點,且必為函數(shù)

的一級極點,且證312/4/2023

定理6.9

設C是一條圍線，f(z)滿足條件:(1)f(z)在C的內(nèi)部是亞純的;(2)f(z)在C上解析且不為零；則有式中N(f,C)與P(f,C)分別表示f(z)在C內(nèi)部的零點與極點的個數(shù).注意:m級的零點或極點算作m個零點或極點.[證畢]由引理和留數(shù)定理，得例求

。

解

例求

。

解法二令

，則

為

的一級零點,

.不一定為簡單閉曲線,其可按正向或負向繞原點若干圈.

對數(shù)留數(shù)的幾何意義2.輻角原理單值函數(shù)等于零結論:(k總為整數(shù))對數(shù)留數(shù)的幾何意義是繞原點的回轉次數(shù)k由定理6.9及對數(shù)留數(shù)的幾何意義得可計算f(z)在C內(nèi)零點的個數(shù)此結果稱為輻角原理392/4/2023如f(z)在圍線C上及C內(nèi)部均解析,且f(z)在C上不為零,則6.3.2輻角原理(2)

f(z)在C內(nèi)是亞純的(3)f(z)在C上連續(xù)且不為零,則設(1)C是一條圍線例1

,試驗證輻角原理。

證

故輻角原理成立。

412/4/2023定理6.10(儒歇(Rouche)定理)6.3.3儒歇(Rouche)定理設C是一條圍線,函數(shù)f(z)及(z)滿足條件:

(1)它們在C的內(nèi)部均解析,且連續(xù)到C;(2)在C上,|f(z)|>|(z)|則f(z)與f(z)+(z)在C內(nèi)部有同樣多的零點,即證在C內(nèi)部解析[證畢]例2:設n次多項式p(z)=a0zn+…+atzn-t+…+an(a0≠0）滿足條件：|at|>|a0|+…