體檢中的排隊論5

摘要排隊論是20世紀初由丹麥數(shù)學家Erlang應用數(shù)學方法在研究電話話務理論過程中而發(fā)展起來的一門學科，排隊論也稱隨機服務系統(tǒng)理論，它涉及的是建立一些數(shù)學模型，以對隨機發(fā)生的需求提供服務的系統(tǒng)預測其行為，它已應用于電訊、紡織、礦山、交通、機器維修，可靠性，計算機設計和軍事領域，都已取得了顯著的成績。排隊論（又稱隨機服務系統(tǒng)）的理論和方法已經(jīng)廣泛應用于各種服務系統(tǒng)，如通信系統(tǒng)、交通系統(tǒng)、計算機存儲系統(tǒng)、生產(chǎn)管理系統(tǒng)等許多方面，體檢排隊系統(tǒng)作為體檢人員接受體檢中心服務的第一個環(huán)節(jié)，是體檢人員評價體檢中心服務滿意度的一個重要方面，故在體檢系統(tǒng)中起著常重要的作用。因此，利用排隊論的知識對體檢系統(tǒng)建立數(shù)學模型進行分析優(yōu)化，從而使系統(tǒng)達到最佳的運營狀態(tài)，具有十分重要的經(jīng)濟價值和實際意義。排隊的內(nèi)容雖然不同，但有如下共同特征：（1） 有請求服務的人或物，如候診的病人、請求著陸的飛機等，我們將此稱為“顧客”。（2） 有為顧客提供服務的人或物，如醫(yī)生、飛機跑道等，我們稱此為“服務員”。由顧客和服務員就組成服務系統(tǒng)。（3） 顧客隨機地一個一個（或者一批一批）來到服務系統(tǒng)，每位顧客需要服務的時間不一定是確定的，服務過程的這種隨機性造成某個階段顧客排長隊，而某些時候服務員又空閑無事。關(guān)鍵字：排隊論；體檢排隊系統(tǒng)；M/M/n模型;M/M/1模型二、問題重述某城市的體檢中心每天有許多人前去體檢，全部體檢項目包括：抽血、內(nèi)科、外科、B超、五官科、胸透、身咼、體重、…等等。每個人的體檢項目可能各不相同，假設每個體檢項目的服務時間是確定的，并且只有1個醫(yī)生值班，每次只能為1個客戶服務。為提高設備利用率、降低客人的等待時間，中心請你幫助完成如下任務：請你為某個新來的客人安排他的體檢順序，使其完成需要的全部檢查的時間盡量少（在各個體檢項目處都可能有人排隊等待）；設計1組數(shù)據(jù)來驗證上述結(jié)論。接待團體客人時，如何安排每個人的體檢順序，使得體檢中心能盡快完成任務，設計1組數(shù)據(jù)來驗證該結(jié)論。三、條件假設3?1基于排隊系統(tǒng)的假設輸入過程：某一時段內(nèi)到達顧客的總體是有限的，且到達的方式是一個一個的，相繼到達的間隔時間是隨機性的，但是服從一定條件的概率分布；顧客的到達也是相互獨立的，就是說，以前的到達情況對以后顧客的到來沒有影響；輸入過程是平穩(wěn)的，也可以認為是時間齊次的，是指描述相繼到達的時間間隔分布和所含參數(shù)（如期望值、方差等）都是與時間無關(guān)的。排隊規(guī)則：根據(jù)題目的已知數(shù)據(jù)進行分析，顧客到達時，如所有的服務臺均被占用著，則顧客將會等待,服務機制屬于先到先服務；從占有的空間上來看，對于等待隊伍的長度沒有最大限制；從等待隊伍的數(shù)量上來看，隊伍是單列的。服務機構(gòu)：帶有多個服務臺的機構(gòu)中，它們應該是平行并列的(如第一問)服務的方式為每次一名醫(yī)生對一個顧客進行體檢；跟輸入過程一樣，服務時間也是隨機性的，但是服從一定條件的概率分布，并且服務時間也是時間齊次性的。3.2對于到達時刻的假設對于顧客到達時間：1、 根據(jù)排隊論和概率論的相關(guān)理論，我們易知在不相重疊的時間間隔內(nèi)顧客到達數(shù)是相互獨立的，即為無后效性，2、 在充分小的一段時間間隔之內(nèi)，在區(qū)間［t,At］內(nèi)有一個顧客到達的概率與時間t無關(guān)，而約與時間長度成正比，即P(t,t+At)—九At+o(At)其中九〉0是常數(shù)，它表示單位時間有一個顧客到達的概率，稱為概率強度。3、 另一方面，對于充分小的At，在時間間隔［t,At］內(nèi)有兩個或兩個以上顧客到達的概率極小，以至于可以忽略，即￡P(guān)(t,t+At)—o(At)⑴n2泊松分布的概率如下所示，意為在t的時間間隔中到達n個顧客的概率

P(tP(t)=n滿足以上三個條件的分布被稱作泊松流，我們得知該題目的工具到達時間服從泊松分布。3.3排隊規(guī)則排隊規(guī)則指顧客按怎樣的規(guī)定的次序接受服務。常見的有等待制，損失制，混合制，閉合制。當一個顧客到達時所有服務臺都不空閑，則此顧客排隊等待直到得到服務后離開，稱為等待制。在等待制中，可以采用先到先服務，如排隊買票；也有后到先服務，如天氣預報；也有隨機服務，如電話服務；也有有優(yōu)先權(quán)的服務，如危重病人可優(yōu)先看病。當一個顧客到來時，所有服務臺都不空閑，則該顧客立即離開不等待，稱為損失制。顧客排隊等候的人數(shù)是有限長的，稱為混合制度。當顧客對象和服務對象相同且固定時是閉合制。如幾名維修工人固定維修某個工廠的機器就屬于閉合制。3.4排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標的假設（1） 隊長與等待隊長隊長（通常記為L）是指系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（包括正在接受服s務的顧客）。等待隊長（通常記為L）指系統(tǒng)中處于等待的顧客的數(shù)q量。顯然，隊長等于等待隊長加上正在服務的顧客數(shù)。（2） 等待時間等待時間包括顧客的平均逗留時間（通常記為W）和平均等待時s間（通常記為W）。顧客的平均逗留時間是指顧客進入系統(tǒng)到離開系q統(tǒng)這段時間，包括等待時間和接受服務的時間。顧客的平均等待時間是指顧客進入系統(tǒng)到接受服務這段時間。⑶忙期從顧客到達空閑的系統(tǒng)，服務立即開始，直到再次變?yōu)榭臻e的時間，這段時間是系統(tǒng)連續(xù)繁忙的時期，稱之為系統(tǒng)的忙期。它反映了系統(tǒng)中服務機構(gòu)工作強度，是衡量服務系統(tǒng)利用效率的指標，即服務強度=忙期/服務總時間=1—閑期/服務總時間，閑期與忙期對應的系統(tǒng)的空閑時間，也就是系統(tǒng)連續(xù)保持空閑的時間長度。四、符號約定Ls隊長，指在系統(tǒng)中的顧客數(shù)Lq指在系統(tǒng)中排隊等待服務的顧客數(shù)Ws指個顧客在系統(tǒng)中的停留時間，期望值Wq一個顧客在系統(tǒng)中排隊等待的時間，期望值平均到達率五、問題分析與模型建立排隊論中的記號是20世紀50年代初由D.GKendall引入的，通常由3?5個字母組成，形式為：A/B/C/n其中A表示輸入過程，B代表服務時間，C代表服務臺數(shù)量，n表示系統(tǒng)空間數(shù)。如：(1)M/M/S/g表示輸入過程是Poisson流，服務時間服從負指數(shù)分布，系統(tǒng)有S個服務臺平行服務，系統(tǒng)容量為無窮大的等待制排隊

系統(tǒng)。(2)M/G/S/g表示輸入過程是Poisson流，服務時間服從一般概率分布，系統(tǒng)有S個服務臺平行服務，系統(tǒng)容量為無窮大的等待制排隊系統(tǒng)。(3)D/M/S/K表示顧客相繼到達時間間隔獨立、服從定長分布,服務時間服從負指數(shù)分布，系統(tǒng)有S個服務臺平行服務，系統(tǒng)容量為K個的混合制系統(tǒng)。M/M/S/S表示輸入過程是Poisson流，服務時間服從負指數(shù)分布，系統(tǒng)有S個服務臺平行服務，顧客到達后不等待的損失制系統(tǒng)。M/M/S/K/K表示輸入過程是Poisson流，服務時間服從負指數(shù)分布，系統(tǒng)有S個服務臺平行服務，系統(tǒng)容量和顧客容量都為K個的閉合制系統(tǒng)以單個體檢項目為例，可以將此系統(tǒng)當做M/M/S進行分析，其中體檢人員到達規(guī)律服從參數(shù)為九的Poisson分布，在［0,t］時間內(nèi)到達的人數(shù)X(t)服從的的分布為：(1)P{X(t)=k}=呼(1)其單位時間到達的平均人數(shù)為九，［0,t］時間內(nèi)到達的平均人數(shù)為體檢者接受服務的時間服從負指數(shù)分布，單位時間服務的平均人數(shù)為卩，服務時間的分布為:f(tf(t)二卩e-pt0(2)每個人接受服務的平均時間為丄?？梢杂嬎愠龇€(wěn)定狀態(tài)下系統(tǒng)有n個人的概率:p=(1—P)Pn n=0,1,2,3n其中稱為系統(tǒng)的服務強度。則系統(tǒng)全部空閑的概率為：Po每個人接受服務的平均時間為丄?？梢杂嬎愠龇€(wěn)定狀態(tài)下系統(tǒng)有n個人的概率:p=(1—P)Pn n=0,1,2,3n其中稱為系統(tǒng)的服務強度。則系統(tǒng)全部空閑的概率為：Po=1—p=系統(tǒng)的平均隊長為:藝n.pnn=0n.pnn=0九

卩一九系統(tǒng)的平均等待隊長為:(n—1).p=(1—p正(n-1)pn=1n=1九2卩(卩一九)系統(tǒng)的平均逗留時間為:系統(tǒng)的平均等待時間為:從(4)?(6)式可以看出:L=XWL=XWs sq q(4)(5)(6)(7)(8)LW=一qX該公式稱為Little公式，在其它排隊論模型中依然適用。Little公式的直觀意義:L二九W表明排隊系統(tǒng)的隊長等于一個顧客平均逗留時間內(nèi)到達s s的顧客數(shù)。L二九W表明排隊系統(tǒng)的等待隊長等于一個顧客平均等待時間內(nèi)q q到達的顧客數(shù)。根據(jù)以上建立的模型，我們可以使用Lingo軟件計算出系統(tǒng)的平均等待時間，平均逗留時間，平均隊列長度，等系統(tǒng)指標，從而可以對問題進行系統(tǒng)分析。LINGO中的相關(guān)函數(shù)及相關(guān)參數(shù)計算公式顧客等待概率的公式：P=@peb(load,S) (10)wait其中S是服務臺或服務員的個數(shù),load是系統(tǒng)到達負荷，即load=入/p=R*T,式中R表示入，T表示1/p,R表示入，在下面的程序中，因此，R或入是顧客的平均到達率，p是顧客的平均被服務數(shù)，T就是平均服務時間.顧客的平均等待時間公式：W=P—T— (11)qwaitS一load其中T/(S-load)是一個重要指標，可以看成一個“合理的長度間隔”。注意，當load-S時，此值趨于無窮。也就是說，系統(tǒng)負荷接近服從器的個數(shù)時，顧客平均等待時間將趨于無窮.當load>S時，上式Wq無意義。其直觀的解釋是：當系統(tǒng)負荷超過服從器的個數(shù)時,排隊系統(tǒng)達不到穩(wěn)定的狀態(tài)，其隊將越排越長.TOC\o"1-5"\h\z系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間W=W+丄 （12）sq卩系統(tǒng)中顧客的的平均隊長L―W （13）s s系統(tǒng)中顧客的的平均等待隊長tn假設每個項目單位時間內(nèi)接受體檢的人數(shù)相同，即參數(shù)九就有相同的值，而每個體檢項目由于其執(zhí)行的復雜程度的不同，例如，胸透,核磁共振等項目所耗費的時間要多于測體重，視力所耗費的時間，因此，參數(shù)u的取值不相同。要為單名體檢者安排最優(yōu)方案，我們就只需要考慮到其所需要體檢的具體項目，其他項目不再考慮反之內(nèi)。對于這個M/M/S系統(tǒng)，我們可以將其看成n個并立案的M/M/1系統(tǒng)。由于體檢人員的到達率符合Possion分布，根據(jù)已知的九和u的值，我們可以用Lingo軟件計算出W和L的值。例如當每小時到達人數(shù)qq為8人，每小時可以體檢的人數(shù)為9人時，w=53.33min，l=7.11q q人。體檢項目1234N服務時間u1u2u3u4un到達時間九九九九九平均等待時間Wq1Wq2Wq3Wq4Wqn平均隊列長Lq1Lq2Lq3Lq4Lqn度設檢查完n個項目所耗費的時間為t，要得到最優(yōu)檢查路線就是n要求出t的最小值，因此我們需要研究t與平均隊列長度，平均等待n n時間，以及服務時間之間的關(guān)系。（1） t表示檢查完第一個項目所花費的是時間，在第一個項目的1檢查中，等待時間的期望，即為W，檢查的時間為u，t=u+W。q1 1 1 1 q1（2） t表示檢查完第二個項目所花費的是時間，在第一個項目2的檢查中，花費的時間為t，在此期間內(nèi)，項目二的隊列又有所增加，1由于體檢者的到達人數(shù)服從possion分布，在t時間內(nèi)到達的人數(shù)為1九t，加上最初隊列的長隊，即L，隊列的總長度為九t+L，項目二1 q2 1q2的檢查時間為u，因此完成前兩個檢查項目所花費的時間為u+u222（九t+L）=t。1q2 2（3） t表示檢查完第n個項目所花費的是時間，在前n個項目n的檢查中，花費的時間為t，在此期間內(nèi)，項目n的隊列又有所增n-1加，由于體檢者的到達人數(shù)服從possion分布，在t時間內(nèi)到達的人1數(shù)為九t，加上最初隊列的長隊，即L，隊列的總長度為九t+L，n-1 qn n-1qn項目n的檢查時間為u，因此完成前兩個檢查項目所花費的時間為nu+u（九t+L）=t。nn n-1qn n根據(jù)實際情況的九與u的值，編寫程序，計算以不同的排隊順序所要花費的時間長短，從中找到最短時間。以以下數(shù)據(jù)為例：體檢項目體重胸透視力

體檢速度201015到達人數(shù)888根據(jù)上面的數(shù)據(jù)可以計算出每個項目的WQ及LQ如下:體檢項目體重胸透視力W_Q0.3333333E-010.40000000.7619048E-01L_Q0.26666673.2000000.6095238則由上式計算出六種不同排隊方式所耗費的時間如下:體檢順序t1t2t313.7828.1521.0423.788.3716.13319.211.2712.26419.216.3810.1756.430.1915.5566.47.3030.89時間總和最小的即為最優(yōu)排隊順序5.2團體體檢最優(yōu)模型當體檢中心進行單位體檢時，可簡單描述為：在某一時間段內(nèi)顧客到達規(guī)律相同，且數(shù)量相同；需要提供服務的科室為固定的，且每個科室服務的顧客數(shù)是相同的。則對于需要提供服務的各個科室來說，排隊系統(tǒng)的組成簡單比較如下：體檢人員到來時間比較集中，一般是在同一天同一時間段內(nèi)到達。此外，體檢中心在進行單位體檢預登記時，為避免體檢人數(shù)太多而導致體檢資源緊張，造成體檢人員排隊時間過長，一般會與該單位在時間上進行協(xié)商，盡量避免不與其它單位體檢時間沖突。故相對來說，同一天同一個時間段內(nèi)服務的顧客大部分是同一單位的人員。人數(shù)較多，一般從幾十到幾百不等。3?體檢項目基本相同。在體檢中心進行單位體檢時，因各科室排隊系統(tǒng)中，服務的人數(shù)和顧客到達分布相同，排隊規(guī)則一致，服務窗口都是并聯(lián)的，故比較而言，此時各科室的最優(yōu)服務臺數(shù)僅由服務時間決定。在排隊模型其它因素一致的情況下，最優(yōu)服務臺數(shù)與平均服務時間近似于正比例關(guān)系，服務時間越長，最優(yōu)服務臺數(shù)越多。故如果在對排隊系統(tǒng)性能要求不高，且排隊系統(tǒng)的其它組成因素完全相同的情況下，可根據(jù)已知科室的最優(yōu)服務臺數(shù)和兩科室的平均服務時間的比值來確定相應科室所設最優(yōu)服務臺數(shù)的范圍。5.2.1預計所需醫(yī)生的數(shù)量體檢中心接待團體顧客大部分是通過單位組織的，一般提前一周或幾天進行體檢預登記來保證體檢中心能夠提供有效的服務。此外，體檢中心的有相當一部分醫(yī)生是外聘的，坐診時間有限，很多是以小時計的。故可以通過排隊模型來對未來的一個工作日所需要醫(yī)生數(shù)量的進行估計，保證醫(yī)生資源的充分利用，降低體檢中心的成本。我們可以根據(jù)預登記的體檢人數(shù)和平日顧客到來的分布規(guī)律，通過對各個科室的服務臺數(shù)的預設置，來預計相應工作日所需醫(yī)生的數(shù)量。5.2.2排隊模型的比較在前面的研究中，我們是假定各服務臺前的顧客可以相互轉(zhuǎn)移，即將顧客的排隊視為“單隊〃立了M/M/n排隊模型；如果考慮各服務臺的顧客不能轉(zhuǎn)移，則每個服務臺視為一個獨立的排隊系統(tǒng)，從而化為n個M/M/1排隊模型。下面我們對兩種排隊方式進行比較（其中的數(shù)據(jù)為一家體檢中心上午8：00至12：00這段時間內(nèi)前來檢查的人數(shù)）。在前面的研究中，我們是假定各服務臺前的顧客可以相互轉(zhuǎn)移，即將顧客的排隊視為“單隊〃立了M/M/n排隊模型；如果考慮各服務臺的顧客不能轉(zhuǎn)移，則每個服務臺視為一個獨立的排隊系統(tǒng)，從而化為n個M/M/1排隊模型。頻\人下510101515202025253030353540404545501.8:00-9:00?52241053123109:00-10:00284512613221210:00-11:00174220852023111:00X2:00623151100000

時間段A（人/時）|n8:00-9:0037.529:0040:0085.8210:00-11:00117.2211:0042:003242下面我們對兩種排隊方式進行比較。以10：00.11：00這個時間段進行研究，考慮服務臺數(shù)為5時的情況。如果假定系統(tǒng)中5個隊列之間沒有顧客轉(zhuǎn)移，則每個隊列的平均到達率為117.2二117.2二22.34平均服務率保持不變，從而系統(tǒng)成為數(shù)個M/M/1系統(tǒng)。利用M/M/1系統(tǒng)目標參量的計算方式可得到系統(tǒng)在多隊列時的運行指標,將它們與M/M/n模型指標進行比較，結(jié)果見表A￡G I%M/M/n0.0074494.32538.64332.2376M/M/10.1364575.464831.1915&2331從表中可以看出，單隊時等待隊長等待時間明顯要低于多隊時，而且服務臺的利用率較高。相比較之下，單隊多服務臺系統(tǒng)的效率是比較好的，這和理論上的結(jié)論也是一致的。而且在多隊排隊系統(tǒng)中，服務臺的空閑率達到13.65%，這也造成資源的浪費。所以，體檢中心應該采用嚴格的單隊列多服務臺系統(tǒng)，也說是每個科室前不管有幾個就診醫(yī)生，所有在此等待的體檢人員只排成一隊，就可以避免隊列間的擁擠碰撞，有助于改善體檢中心的服務狀況。六、模型總結(jié)與期望本文體檢管理中心的體檢管理系統(tǒng)為研究背景，利用排隊論的知識對體檢排隊系統(tǒng)建立相應的數(shù)學模型，并對模型相關(guān)參數(shù)進行計算和分析，為體檢中心的管理和優(yōu)化提供了理論依據(jù)。本文所做的工作和取得的成果主要有以下兩個方面：本文在對體檢中心的排隊系統(tǒng)進行特征研究之后，收集和整理了體檢中心的某一科室在上午各個時間段的顧客到達情況、服務時間等數(shù)據(jù)，通過對其進行的分析，建立數(shù)學模型，并對該數(shù)學模型進行了各項指標進行計算