2023年平面向量知識點(diǎn)復(fù)習(xí)練習(xí)

平面向量知識點(diǎn)分類復(fù)習(xí)深圳明德實驗學(xué)校劉凱1、向量有關(guān)概念:(1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表達(dá)，注意不能說向量就是有向線段，為什么？(向量可以平移)。配合練習(xí)1、已知A(１,２),B（4,2)，則把向量按向量＝（-1,３)平移后得到的向量是_＿_(dá)＿_(dá)(2)零向量:長度為0的向量叫零向量，記作：,注意零向量的方向是任意的;（３)單位向量：給定一個非零向量，與同向且長度為1的向量叫向量的單位向量.的單位向量是；(4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量,相等向量有傳遞性;(5)平行向量（也叫共線向量):假如向量的基線互相平行或重合則稱這些向量共線或平行，記作：∥,規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個平行向量的基線平行或重合,但兩條直線平行不包含兩條直線重合;③平行向量無傳遞性!(由于有);④三點(diǎn)共線共線;(6)相反向量:長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。配合練習(xí)２、下列命題：(1)若，則。(2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（３)若，則是平行四邊形。（4)若是平行四邊形，則。（５)若，則。（6)若,則。其中對的的是_______2、向量的表達(dá)方法：（１)幾何表達(dá)法：用帶箭頭的有向線段表達(dá)，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后;（２)符號表達(dá)法：用一個小寫的英文字母來表達(dá)，如，，等；（３)坐標(biāo)表達(dá)法:＝叫做向量的坐標(biāo)表達(dá)。假如向量的起點(diǎn)在原點(diǎn),那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。提醒:向量的起點(diǎn)不在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)就不相同.練習(xí)1、（２023上海卷.文6）已知點(diǎn)A(-１,５）和向量，若,則點(diǎn)Ｂ的坐標(biāo)為.(5,14）3.平面向量的基本定理：假如e１和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對該平面內(nèi)的任歷來量ａ，有且只有一對實數(shù)、，使a=e1＋e２,e1、ｅ2稱為一組基底．注：這為我們用向量解決問題提供了一種方向：把參與的向量用一組基底表達(dá)出來，使其關(guān)系容易溝通．配合練習(xí)3、若,則用表達(dá)__＿_(dá)__配合練習(xí)4下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是Ａ.B.C.D．配合練習(xí)５、已知分別是的邊上的中線,且，則可用向量表達(dá)為＿_(dá)__＿配合練習(xí)６、已知中，點(diǎn)在邊上，且，,則的值是＿＿＿4、實數(shù)與向量的積:實數(shù)與向量的積是一個向量,記作，它的長度和方向規(guī)定如下:當(dāng)＞0時,的方向與的方向相同,當(dāng)<０時，的方向與的方向相反，當(dāng)=０時，,注意:≠0。5、平面向量的數(shù)量積:（1)兩個向量的夾角：對于非零向量，，作，稱為向量，的夾角,當(dāng)=０時,，同向,當(dāng)=時，，反向，當(dāng)=時,,垂直。提醒:（１）向量的夾角規(guī)定這兩個向量同起點(diǎn).（２)角的問題（如三角形內(nèi)角)可轉(zhuǎn)化為向量的夾角來解.(2)平面向量的數(shù)量積:假如兩個非零向量,,它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積),記作:,即=。規(guī)定：零向量與任歷來量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。配合練習(xí)7、△AＢC中,，，，則__＿_(dá)＿_(dá)_;配合練習(xí)8、已知,與的夾角為，則=配合練習(xí)9、已知,則等于____配合練習(xí)1０、已知是兩個非零向量,且，則的夾角為_＿_(dá)_（３）在上的投影為,它是一個實數(shù),但不一定大于0。配合練習(xí)１1、已知,，且，則向量在向量上的投影為＿＿_(dá)＿＿＿(4)的幾何意義:數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。(5)向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量,，其夾角為，則：①;②當(dāng)，同向時,=,特別地,;當(dāng)與反向時,＝－;當(dāng)為銳角時，>0,且不同向。．非零向量,夾角的計算公式：;④。配合練習(xí)12、已知，，假如與的夾角為銳角，則的取值范圍是_____＿配合練習(xí)1３、已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是___練習(xí)1、2（２023全國卷二．理９）已知平面上直線l的方向向量點(diǎn)和在l上的射影分別是O′和A′,則，其中=(Ｄ）.A．?B.?Ｃ.2 D．－2３設(shè)平面上有四個互異的點(diǎn)Ａ、B、C、Ｄ,已知則△AＢC的形狀是(Ｂ)A.直角三角形B.等腰三角形Ｃ.等腰直角三角形Ｄ.等邊三角形６、向量的運(yùn)算:（1）幾何運(yùn)算：①向量加法：運(yùn)用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只合用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可運(yùn)用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即;提醒:平行四邊形法則規(guī)定參與加法的兩個向量的起點(diǎn)相同，三角形法則規(guī)定參與加法的兩個向量的首尾相接．可推廣到(據(jù)此,可根據(jù)需要在一個向量的兩個端點(diǎn)之間任意插點(diǎn))②向量的減法:用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意:此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同,指向被減向量(用向量的減法來引進(jìn)新的起點(diǎn)或者消去不必要的起點(diǎn))。向量加減運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果非0，在移項時要注意.容易得出:||-||≤|｜≤||+｜|．配合練習(xí)15、化簡:①___；②＿_(dá)__;③＿_(dá)_＿＿配合練習(xí)1６、若正方形的邊長為1,，則＝___＿_(dá)配合練習(xí)17、若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足,則的形狀為_＿_(dá)_配合練習(xí)１8、若為的邊的中點(diǎn),所在平面內(nèi)有一點(diǎn),滿足,設(shè),則的值為___配合練習(xí)19、若點(diǎn)是的外心,且，則的內(nèi)角為____練習(xí)1、(2０2３全國卷二.文9)已知向量、滿足：||=1，||=2，||=2，則||=（).Ａ.1Ｂ．Ｃ．D．2、已知△AＢC的三個頂點(diǎn)A、B、Ｃ及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足,則點(diǎn)Ｐ與△ABＣ的關(guān)系為（）A.P在△ABC內(nèi)部B.P在△ABＣ外部C.P在AB邊所在直線上Ｄ.P是AC邊的一個三等分點(diǎn)（2）坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：①向量的加減法運(yùn)算:,。配合練習(xí)20、已知點(diǎn),，若，則當(dāng)＝＿_(dá)__時，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上配合練習(xí)2１、已知，，則配合練習(xí)２2、已知作用在點(diǎn)的三個力,則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是②實數(shù)與向量的積：。③若,則，即一個向量的坐標(biāo)等于表達(dá)這個向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。配合練習(xí)23、設(shè)，且，，則C、D的坐標(biāo)分別是__＿_(dá)＿＿_(dá)＿_(dá)_④平面向量數(shù)量積：。配合練習(xí)２4、已知向量=(sｉnx，cosx),=(sinｘ,ｓiｎｘ),=（-1，0）。(1)若x＝,求向量、的夾角;（2)若x∈，函數(shù)的最大值為，求的值⑤向量的模:。距離的求法：轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積:︱︱=配合練習(xí)25、已知均為單位向量,它們的夾角為，那么＝_____⑥兩點(diǎn)間的距離:若，則。配合練習(xí)26、在平面斜坐標(biāo)系中，，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的:若,其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為。若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（２，-2),求Ｐ到O的距離|PＯ|;7、向量的運(yùn)算律：（1)互換律：，,;(２）結(jié)合律：，；(3)分派律：,。配合練習(xí)27、下列命題中：①；②;③;④若,則或；⑤若則;⑥;⑦;⑧；⑨。其中對的的是____＿_(dá)提醒:（１)向量運(yùn)算和實數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項,兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù),兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量,但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，牢記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？8、向量平行（共線)的充要條件:(1)向量與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù),使得b=．實數(shù)λ是唯一存在的，當(dāng)與同向時,λ＞０；當(dāng)與異向時,λ<0。|λ|的大小由及的模擬定。因此，當(dāng),擬定期，λ的符號與大小就擬定了。這就是實數(shù)乘向量中λ的幾何意義。(2)若=(）,b=（），則．(3）∥配合練習(xí)2８、若向量，當(dāng)=_＿_(dá)__時與共線且方向相同配合練習(xí)２9、已知，，,且,則x=__＿_(dá)__配合練習(xí)30、設(shè),則k＝__＿＿_(dá)時,A,B，C共線練習(xí)（2023上海卷.理6）已知點(diǎn),若向量與同向,=,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.證明平行問題通常是取得相應(yīng)的線段來構(gòu)造向量,然后證明向量平行9、向量垂直的充要條件：.特別地。配合練習(xí)31、已知,若,則配合練習(xí)32、以原點(diǎn)Ｏ和A(4,2)為兩個頂點(diǎn)作等腰直角三角形ＯAB，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_____＿_(dá)_配合練習(xí)３３、已知向量，且,則的坐標(biāo)是_＿_(dá)＿_(dá)___(證明垂直問題通常是取得相應(yīng)的線段來構(gòu)造向量，然后證明向量垂直線段的定比分點(diǎn)：配合練習(xí)３４、若M(－3,-2),N(6，-１)，且,則點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)為_＿_(dá)_＿＿＿配合練習(xí)３5、已知，直線與線段交于,且,則等于_＿_(dá)__１0．向量中一些常用的結(jié)論:(1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用;（2），特別地，當(dāng)同向或有;當(dāng)反向或有;當(dāng)不共線（這些和實數(shù)比較類似）.（3）在中，①若，則其重心的坐標(biāo)為。配合練習(xí)36、若⊿ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1)、(-3，４）、（-1,-1），則⊿AＢＣ的重心的坐標(biāo)為_______①為的重心，特別地為的重心；②為的垂心;③向量所在直線過的內(nèi)心（是的角平分線所在直線);（3)向量中三終點(diǎn)共線存在實數(shù)使得且.配合練習(xí)37、平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn),,若點(diǎn)滿足，其中且,則點(diǎn)的軌跡是_______鞏固:1．已知｜|＝2，||=1,，則與夾角是() (Ａ)30o(Ｂ)４5o（Ｃ）60o（Ｄ)90o2.若向量,且的夾角為30°,則等于()A．