模糊控制基本理論

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊控制智能控制理論主講人柏艷紅第1講模糊理論基礎(chǔ)第一部分模糊控制模糊數(shù)學(xué)

模糊的英文為Fuzzy，它具有“不分明”，“邊界不清”的意思。而數(shù)學(xué)是非常嚴(yán)格、非常精確的東西。模糊數(shù)學(xué)是用來描述、研究、處理事物所具有的模糊特征（即模糊概念）?！澳：笔侵杆难芯繉?duì)象，“數(shù)學(xué)”是指它的研究方法。引言模糊概念

在自然語言中，常用的描述事物特征的一些概念是模糊的。如健康狀況一欄中，填“好、比較好、良好等”，至于什么樣的身體屬于好，什么樣的屬于良，很難確切地規(guī)定。再如，將人按年齡分為“年輕人、中年人、老年人”（從宏觀上把握事物的主要特征和便于處理，人為將其模糊化）。再如，在水箱液位、溫度等控制中，有經(jīng)驗(yàn)的操作工會(huì)根據(jù)被控制量的大?。ǜ?，過高、低）操作閥門等（開大、開小）。引言普通數(shù)學(xué)對(duì)模糊概念的描述以年齡為例，傳統(tǒng)的方法是規(guī)定一些域值來定義的。用y代表年齡，y<40為“年輕”，40<=y<60為“中年”，y>=60為“老年”。這種方法簡(jiǎn)單，但過于絕對(duì)化。實(shí)際上人是隨著年齡的增長(zhǎng)逐漸地由青年步入中年，再走向老年的，這些概念之間本來就沒有明確的界限。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是集合論，這些集合的邊界必須是明確的，一個(gè)對(duì)象要么屬于，要么不屬于，二者必居其一。引言

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不能描述和處理這種沒有明確邊界的模糊概念，模糊數(shù)學(xué)便應(yīng)用而生。模糊數(shù)學(xué)誕生于1965年，它的創(chuàng)始人是美國(guó)的自動(dòng)控制專家L.A.Zadeh教授，他創(chuàng)立了模糊集合論，為模糊數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)。模糊技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域地鐵機(jī)車、機(jī)器人、過程控制、故障診斷、交通管理、醫(yī)療診斷、聲音識(shí)別、圖像處理、市場(chǎng)預(yù)測(cè)等領(lǐng)域。引言第一節(jié)

模糊集合及其運(yùn)算1.1模糊集合的定義及相關(guān)概念1．模糊集合（FuzzySets）給定論域U，U到[0,1]閉區(qū)間的任一映射μAμA：U[0,1]都確定U上的一個(gè)模糊子集A，簡(jiǎn)稱模糊集。μA稱為模糊集合A的隸屬函數(shù)（MembershipFunction）。

若論域中的元素用x表示，則μA(x)稱為x屬于A的隸屬度（degreeofmembership）。隸屬函數(shù)反映了論域中的元素屬于該集合的程度。

μA(x)接近1，表示x屬于A的程度高；μA(x)接近0，表示x屬于A的程度低。論域隸屬函數(shù)模糊集合的兩要素theuniverseofdiscourse1.1模糊集合的定義及相關(guān)概念1.1模糊集合的定義及相關(guān)概念例如：用論域[1，100]上的模糊集A、B、C表示“年輕、中年、老年”，A、B、C的隸屬函數(shù)μA(x)、μB(x)、μC(x)如圖所示。30歲的年輕程度為0.75。40歲的人已經(jīng)不太年輕（0.25），比較接近中年，但屬于中年的程度還不太大（0.5），50歲正值中年（1），即將走向“老年”。顯然，用模糊集合能夠比較準(zhǔn)確地、真實(shí)地描述人們頭腦中的原有概念，而用普通集合描述模糊性反倒是不準(zhǔn)確、不真實(shí)的。1.1模糊集合的定義及相關(guān)概念2．臺(tái)集合（Support）模糊集合A的臺(tái)集AS是一個(gè)普通集合，它由論域U中滿足μA(u)>0的所有u組成。即如果模糊集合A的臺(tái)集僅有一個(gè)元素u0，且μA(u0)=1，則A就是單點(diǎn)模糊集。3．單點(diǎn)（singleton）模糊集模糊集合的Zadeh表示法為4．凸模糊集1.1模糊集合的定義及相關(guān)概念若A為以實(shí)數(shù)R為論域的模糊子集，其隸屬函數(shù)為μA(x)，如果對(duì)于在任意實(shí)數(shù)a<x<b，都有則稱A為凸模糊集。凸模糊集實(shí)質(zhì)上就是隸屬函數(shù)具有單峰值特性。今后所用到的模糊集合一般均指凸模糊集。1.2模糊集合的表示法

一、離散論域設(shè)論域?yàn)橛邢藜?.Zadeh表示法2.序偶表示法3.向量表示法隸屬度為零的項(xiàng)可以不寫隸屬度為零的項(xiàng)必須寫1.2模糊集合的表示法

例在由整數(shù)1，2，……10組成的論域中，即U={1，2，……，10}，討論”幾個(gè)”這一模糊概念，用模糊集A可表示。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可以定量地給出它們的隸屬函數(shù)，模糊集A可表示為由上式可以看出，用“幾個(gè)”表示5個(gè)、6個(gè)的可能性最大，而通常不采用“幾個(gè)”表示1個(gè)、2個(gè)或9個(gè)、10個(gè)。1.2模糊集合的表示法

二、連續(xù)論域Zadeh表示法為例以年齡作論域，取[0，200]，用模糊集Y表示“年輕”，用O表示“年老”。隸屬函數(shù)分別為定義為“年輕”和“年老”模糊集合可以寫為1.2模糊集合的表示法

1.3模糊集合的基本運(yùn)算

設(shè)論域U上的兩個(gè)模糊子集A和B，它們之間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算定義如下。1.F交集A與B的交集，記作A∩B，有2.F并集A與B的并集，記作A∪B，有1.3模糊集合的基本運(yùn)算

3.F補(bǔ)集A的補(bǔ)集，記作AC，有ACA∩BA∪B第二節(jié)

常用隸屬函數(shù)1．三角型隸屬函數(shù)TriangularMFa為三角形左邊底角的頂點(diǎn)坐標(biāo)，b為頂角頂點(diǎn)坐標(biāo)，c為右邊地角頂點(diǎn)的坐標(biāo)。Matlab函數(shù)Trimf（x，[abc]）第二節(jié)

常用隸屬函數(shù)2．梯型隸屬函數(shù)TrapezoidalMFa為梯形左邊底角的頂點(diǎn)坐標(biāo)，b為左邊頂角頂點(diǎn)坐標(biāo)，c為右邊頂角頂點(diǎn)的坐標(biāo)，c為右邊底角頂點(diǎn)的坐標(biāo)。Matlab函數(shù)Trapmf（x，[abcd]）第二節(jié)

常用隸屬函數(shù)3．高斯型隸屬函數(shù)GaussMFc為函數(shù)的中心點(diǎn)，a為函數(shù)曲線的寬度。Matlab函數(shù)Gaussmf（x，[ac]）第二節(jié)

常用隸屬函數(shù)4．Sigmoid型隸屬函數(shù)當(dāng)a為正時(shí)，向右斜；a為負(fù)時(shí)，向左斜；a絕對(duì)值越大，斜率越大；c為拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)。Matlab函數(shù)sigmf（x，[ac]）第二節(jié)

常用隸屬函數(shù)4．Sigmoid型隸屬函數(shù)a絕對(duì)值越大，斜率越大；c為拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)。第二節(jié)

常用隸屬函數(shù)5．一般的鐘型隸屬函數(shù)Matlab函數(shù)Gbellmf（）第二節(jié)

常用隸屬函數(shù)6．雙邊高斯型gauss2mf（）7．Z型zmf（）8．π型pimf（）9．兩個(gè)sigmoid型函數(shù)的積psigmf（）10．兩個(gè)sigmoid型函數(shù)的和dsigmf（）第三節(jié)

模糊關(guān)系及其合成3.1模糊關(guān)系的定義1.集合的直積設(shè)有兩個(gè)集合X和Y，X和Y的直積X×Y定義為它是由序偶（x，y）的全體所構(gòu)成的二維論域上的集合。一般來說X×Y≠Y×X。3.1模糊關(guān)系及模糊矩陣的定義2.模糊關(guān)系及模糊矩陣設(shè)X、Y是兩個(gè)非空集合，以直積X×Y為論域定義的模糊集合R稱為X和Y的模糊關(guān)系，記為RX×Y。（1）模糊關(guān)系RX×Y由其隸屬函數(shù)μR(x,y)完全刻畫，μR(x,y)表示了X中的元素x和Y中的元素y具有關(guān)系RX×Y的程度。（2）當(dāng)X和Y為有限離散集合時(shí)，設(shè)X={x1，x2，…，xn}，Y={y1，y2，…，ym}，則X和Y的模糊關(guān)系RX×Y可用n×m階矩陣表示，即3.1模糊關(guān)系及模糊矩陣的定義2.模糊關(guān)系及模糊矩陣（2）當(dāng)X和Y為有限離散集合時(shí)，X和Y的模糊關(guān)系RX×Y可用n×m階矩陣表示，即這樣的矩陣稱為模糊矩陣模糊矩陣是論域?yàn)橹狈eX×Y模糊集。3.1模糊關(guān)系及模糊矩陣的定義模糊關(guān)系和模糊矩陣舉例例：X={10，20，40，80}，Y={10，20，30，40}，“x遠(yuǎn)大于y”這一模糊關(guān)系的模糊關(guān)系矩陣為當(dāng)x=40，y=20時(shí)，“x遠(yuǎn)大于y”的程度是0.8。模糊關(guān)系為二維論域上的模糊子集，該模糊子集表示兩個(gè)量之間或命題之間的某種模糊關(guān)系。3.模糊集合的直積3.1模糊關(guān)系及模糊矩陣的定義若有兩個(gè)模糊集A和B，其論域分別為X和Y，定義在積空間X×Y上的模糊集合A×B稱為模糊集合A和B的直積，其隸屬函數(shù)為（數(shù)學(xué)定義）或者模糊集合A和B的直積是積空間X×Y上的一個(gè)模糊關(guān)系，可以表示命題之間的某種模糊關(guān)系，如“命題與”，“蘊(yùn)涵關(guān)系”等，在模糊推理及模糊控制中起著十分重要的作用。（應(yīng)用）3.2模糊關(guān)系和模糊矩陣的合成運(yùn)算由于模糊關(guān)系和模糊矩陣是定義在直積空間的模糊集合，因此它遵從一般模糊集合（并、交、補(bǔ)等）的運(yùn)算規(guī)則。1．模糊矩陣的合成運(yùn)算設(shè)Q(n×m)和R(m×l)是兩個(gè)模糊矩陣，它們的合成Q○R指的是一個(gè)n行l(wèi)列的模糊矩陣S，S的第i行第k列的元素sik等于Q的第i行元素與R的第k列對(duì)應(yīng)元素兩兩先取較小者，然后在所得的結(jié)果中取較大者，即設(shè)合成算子“○”代表兩個(gè)模糊矩陣的相乘，它與線性代數(shù)中的矩陣乘積相似，只是把普通矩陣乘運(yùn)算中對(duì)應(yīng)的元素之間的“乘”用取小運(yùn)算“∧”來代替，而元素間的“加”用取大運(yùn)算“∨”來代替。3.2模糊關(guān)系的合成運(yùn)算例：已知模糊關(guān)系矩陣1．模糊矩陣的合成運(yùn)算模糊矩陣的合成運(yùn)算舉例設(shè)A為論域X上的模糊集合，B為論域Y上的模糊集合。根據(jù)上述模糊集合的直積和模糊矩陣的合成的定義，當(dāng)X和Y為離散論域時(shí)，A與B的直積（取小運(yùn)算）為3.2模糊關(guān)系和模糊矩陣的合成運(yùn)算設(shè)R1是X和Y的模糊關(guān)系，R2是Y和Z的模糊關(guān)系，R1和R2的合成R1○R2指的是X×Z上的一個(gè)模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為“∨”表示取大運(yùn)算，“∧”表示取小運(yùn)算，因此稱為最大-最小合成（max-mincomposition）。2．模糊關(guān)系的合成運(yùn)算當(dāng)論域X、Y、Z為有限集時(shí)，可用模糊矩陣的合成來表示模糊關(guān)系的合成。第四節(jié)模糊邏輯與模糊推理

4.1模糊語言變量

模糊語言變量（linguisticvariables）是自然語言中的詞或句，如氣溫、誤差等，它的取值不是通常的常數(shù)，而是用模糊語言表示的模糊集。以下將模糊語言變量簡(jiǎn)稱語言變量。一個(gè)語言變量可由以下的五元體來表征x為語言變量的名稱；T(x)語言變量值的集合；U為x的論域；G為語法規(guī)則（用于產(chǎn)生各語言變量值x的名稱）；M為語義規(guī)則（用于產(chǎn)生模糊集合的隸屬函數(shù)）。例如：以控制系統(tǒng)的“誤差”為語言變量x論域取U=[-66]T(x)=T(誤差)={負(fù)很大、負(fù)大、負(fù)中、負(fù)小、零、正小、正中、正大、正很大}如上所述，每個(gè)模糊語言相當(dāng)于一個(gè)模糊集合。各模糊語言（模糊集合）的隸屬函數(shù)如圖。4.2模糊命題模糊命題（proposition）：含有模糊概念的陳述句。模糊命題可以用英文字母表示，如P：誤差較大。模糊命題的真值：模糊命題的真假程度，它是[0,1]區(qū)間上的一個(gè)實(shí)數(shù)。單模糊命題：簡(jiǎn)單的模糊陳述句，其一般形式為P：x為Ax為模糊語言變量，A為某一模糊概念對(duì)應(yīng)的模糊集合。單模糊命題P的真值V(P)，就由該變量對(duì)模糊集的隸屬度來表示，即V(P)=μA(x)單模糊命題P的真值V(P)=μA(x)當(dāng)μA(x)=0，表示命題P完全假；μA(x)=1，表示命題P完全真；μA(x)越接近0，命題P假的程度越大，真的程度越??；μA(x)越接近1，命題P假的程度越小，真的程度越大。例討論模糊命題Q：天氣熱。語言變量是氣溫t，t[-40oC，50oC]；定義“熱”的模糊集合為H，其隸屬函數(shù)為μH(t)。若今日氣溫為t=20oC，μH(20)=0.4，那么該命題的真值為0.4。也就是說，“天氣熱”這個(gè)命題的真實(shí)程度是0.4。4.2模糊命題條件模糊命題：“IF…THEN…”形式的條件語句，表達(dá)兩個(gè)普通命題之間的因果關(guān)系，稱為條件模糊命題。模糊控制中的模糊控制規(guī)則通常來源于專家的知識(shí)，通常采用“IF…THEN…”形式來描述。因此，在模糊控制中，模糊控制規(guī)則也就是模糊條件句。IF部分為規(guī)則的前提，THEN部分為規(guī)則的結(jié)論。復(fù)合模糊命題：把簡(jiǎn)單模糊命題通過聯(lián)結(jié)詞聯(lián)合起來，就構(gòu)成了復(fù)合模糊命題。聯(lián)接詞可以是“與”、“或”、“非”、“若……則……”等。4.2模糊命題簡(jiǎn)單模糊命題之間的“與”、“或”、“非”運(yùn)算設(shè)命題P：x為A；命題Q：y為B。4.2模糊命題（1）“與”運(yùn)算：PandQ，其真值定義為或者“andMethod”代數(shù)積Prod或取小MinP、Q的真值可見4.2模糊命題（2）“或”運(yùn)算：PorQ，其真值定義為或者“orMethod”代數(shù)和Probor或取大Max（3）“非”運(yùn)算：notP，其真值定義為可見4.3模糊蘊(yùn)含（implication）關(guān)系

條件模糊命題：“如果x是A，則y是B”令P：x為A，Q：y為B，則上述命題表示為P→Q它表示普通命題P和Q之間有因果關(guān)系。由于模糊集A和B的隸屬函數(shù)表示了命題P和Q的真值，因此，P→Q等價(jià)于模糊語言A和B之間的模糊蘊(yùn)含關(guān)系A(chǔ)→B。A→B是X×Y上的模糊集。4.3模糊蘊(yùn)含（implication）關(guān)系模糊蘊(yùn)涵關(guān)系的運(yùn)算有許多定義，常用以下兩種。

Mamdani（瑪達(dá)尼）的最小運(yùn)算（min）Larsen的積運(yùn)算（Prod）4.3模糊蘊(yùn)含（implication）關(guān)系常見模糊規(guī)則的模糊蘊(yùn)含關(guān)系表達(dá)式“如果x是A，則y

是B”“如果x是Aandy

是B，則z是C”“如果x是AorB，則y是C”模糊關(guān)系：X×Y上的模糊子集R。模糊集合的直積：X×Y上一個(gè)模糊關(guān)系。（純數(shù)學(xué)定義）模糊蘊(yùn)含：X×Y上一個(gè)特殊的模糊關(guān)系。模糊命題邏輯“與”運(yùn)算：min或prod。模糊命題邏輯“或”運(yùn)算：max或probor。模糊命題邏輯“非”運(yùn)算或者幾個(gè)模糊邏輯運(yùn)算小結(jié)

常見IF-THEN規(guī)則的表達(dá)形式“如果x是A，則y

是B”“如果x是Aandy

是B，則z是C”“如果x是Aory

是B，則z是C”“如果x不是A，則y

是B”小結(jié)4.4模糊推理1．模糊推理的基本形式“三段論”式模糊推理（FuzzyInference）是不確定性推理方法的一種，它是運(yùn)用模糊語言，對(duì)模糊命題進(jìn)行模糊判斷，推出一個(gè)近似的模糊結(jié)論的方法。大前提：若x為A，則y為B小前提：x為A′結(jié)論：y為B′4.4模糊推理2．模糊推理的合成規(guī)則1975年Zadeh提出了模糊邏輯推理的合成規(guī)則。大前提：若x為A，則y為B小前提：x為A′結(jié)論：y為B′=A′○（A→B）即結(jié)論B′是模糊集合A′和模糊蘊(yùn)含關(guān)系A(chǔ)→B的合成。4.4模糊推理合成推理規(guī)則舉例若人工調(diào)節(jié)爐溫，有如下的經(jīng)驗(yàn)規(guī)則：“如果爐溫低，則應(yīng)施加高電壓”。試問當(dāng)爐溫為“非常低”時(shí)，應(yīng)施加怎樣的電壓。已知：x和y分別表示模糊語言變量“爐溫”和“電壓”，x和y的論域?yàn)橛?jì)算模糊蘊(yùn)含關(guān)系計(jì)算輸出量的模糊集模糊向量的轉(zhuǎn)置4.4模糊推理4.4模糊推理3．多重模糊條件語句1）使用“and”連接的模糊條件語句大前提：若x為Aandy為B，則z為C

小前提：x為A′andy為B′結(jié)論：z為C′模糊蘊(yùn)含關(guān)系推理結(jié)果4.4模糊推理

例：設(shè)有論域X={a1,a2,a3}，Y={b1,b2}，Z={c1,c2,c3}，已知模糊集合模糊規(guī)則“若x為A且y為B，則z為C′。若求C′。用“and”連接的模糊條件語句推理舉例

4.4模糊推理“and”連接的模糊條件語句舉例（1）求規(guī)則的模糊蘊(yùn)含關(guān)系yx（x,y）z按行拉直4.4模糊推理用“and”連接的模糊條件語句舉例（2）計(jì)算輸入量的模糊集合（3）計(jì)算輸出量的模糊集合4.4模糊推理2）使用“also”連接的模糊條件語句大前提：

規(guī)則1：若x為A1andy為B1，則z為C1also規(guī)則2：若x為A2andy為B2，則z為C2also規(guī)則n：若x為Anandy為Bn，則z為Cn小前提：x為A′andy為B′結(jié)論：z為C′4.4模糊推理2）使用“also”連接的模糊條件語句第i條規(guī)則的模糊蘊(yùn)含關(guān)系為

n條模糊規(guī)則是并列的，它們之間是“或”的邏輯關(guān)系，因此，總模糊蘊(yùn)含關(guān)系為論域相同！4.4模糊推理例

已知一個(gè)雙輸入單輸出的模糊系統(tǒng)，其輸入量為x和y，輸出為z，其輸入輸出關(guān)系可用如下兩條模糊規(guī)則描述：規(guī)則1：若x為A1andy為B1，則z為C1規(guī)則2：若x為A2andy為B2，則z為C2現(xiàn)已知輸入x為A′andy為B′，試求輸出量z。其中

模糊推理舉例由于這里所有模糊集合的論域都是離散的，因此模糊集合可用模糊向量來描述，模糊關(guān)系可用模糊矩陣來描述。這里，and采用求交（min）運(yùn)算，蘊(yùn)含關(guān)系采用取小運(yùn)算。（1）求每條規(guī)則的模糊蘊(yùn)含關(guān)系模糊推理舉例（1）求每條規(guī)則的模糊蘊(yùn)含關(guān)系模糊推理舉例同理模糊推理舉例（2）求總模糊蘊(yùn)含關(guān)系模糊推理舉例（3）計(jì)算輸入量的模糊集合模糊推理舉例（4）計(jì)算輸出量的模糊集合本章主要內(nèi)容模糊集合及其運(yùn)算常用隸屬函數(shù)模糊關(guān)系及其合成模糊邏輯與模糊推理定義及相關(guān)概念表示法基本運(yùn)算模糊語言變量模糊蘊(yùn)含關(guān)系模糊推理模糊命題1.設(shè)有論域X={a1,a2,a3}，Y={b1,b2,b3}，Z={c1,c2,c3}，已知模糊集合①求“若x為A且y為B，則z為C”的模糊關(guān)系矩陣R；②若求C′。本章習(xí)題，，本章習(xí)題2.試寫出下列模糊規(guī)則的關(guān)系矩陣表達(dá)式①若x為A或B，則y為C；②若x為A且B