2023年荊楚理工學(xué)院普通專升本數(shù)學(xué)分析考試大綱

20２3年荊楚理工學(xué)院普通專升本《數(shù)學(xué)分析》考試大綱一、課程名稱:數(shù)學(xué)分析二、合用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)三、考試方法:閉卷考試四、考試時間:1０0分鐘五、試卷結(jié)構(gòu)：總分:150分,選擇題３0分，填空題3０分，計(jì)算題50分,證明題４0分。六、參考書目:１、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編著,《數(shù)學(xué)分析》(上、下冊)，高等教育出版社，2023年第4版。２、中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)常庚哲史濟(jì)懷編著,《數(shù)學(xué)分析教程》(上、下冊),高等教育出版社,202３年第１版。七、考試的基本規(guī)定:數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)專升本入學(xué)考試中專業(yè)課考試內(nèi)容,考生應(yīng)理解和掌握《數(shù)學(xué)分析》中函數(shù)、極限、連續(xù)、微分學(xué)、積分學(xué)和級數(shù)的基本概念、基本理論、基本方法。應(yīng)具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和空間想象能力,能運(yùn)用所學(xué)知識對的拙推理證明，準(zhǔn)確、簡捷地計(jì)算。能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的基本理論、基本方法分析和解決實(shí)際問題。八、考試范圍第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)（一)考核內(nèi)容實(shí)數(shù)及其性質(zhì)，絕對值與不等式。區(qū)間與鄰域，有界集與確界原理。函數(shù)概念,函數(shù)的表達(dá)法。函數(shù)的四則運(yùn)算,復(fù)合函數(shù),反函數(shù)，初等函數(shù)。具有某些特性的函數(shù):有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)與偶函數(shù)、周期函數(shù)。（二）考核知識點(diǎn)1、實(shí)數(shù)：實(shí)數(shù)的概念，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，絕對值與不等式;２、數(shù)集、確界原理:區(qū)間與鄰域，有界集與無界集,上確界與下確界，確界原理；3、函數(shù)概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表達(dá)法(解析法、列表法、和圖象法),分段函數(shù)；4、具有某些特性的函數(shù):有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù),周期函數(shù)。（三)考核規(guī)定1、了解實(shí)數(shù)域及性質(zhì);2、掌握幾種不等式及應(yīng)用;３、純熟掌握數(shù)域,上確界,下確界,確界原理;4、牢固掌握函數(shù)復(fù)合、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及某些特性(單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）。第二章數(shù)列極限（一）考核內(nèi)容數(shù)列。數(shù)列極限的定義,無窮小數(shù)列。收斂數(shù)列性質(zhì)：唯一性、有界性、保號性、不等式性質(zhì)、迫斂性、四則運(yùn)算法則。子列及子列定理。數(shù)列極限存在的條件：數(shù)列極限的單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則。(二）考核知識點(diǎn)1、極限概念;2、收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性,有界性,保號性,單調(diào)性;3、數(shù)列極限存在的條件：單調(diào)有界準(zhǔn)則,迫斂性法則,柯西準(zhǔn)則。（三)考核規(guī)定1、純熟掌握數(shù)列極限定義；2、掌握收斂數(shù)列的若干性質(zhì)；３、掌握數(shù)列收斂的條件（單調(diào)有界原理、迫斂法則、柯西準(zhǔn)則等)。第三章函數(shù)極限（一）考核內(nèi)容求函數(shù)的極限，單側(cè)極限。函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性質(zhì)、迫斂性和四則運(yùn)算法則。函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則、函數(shù)極限的單調(diào)有界定理和柯西準(zhǔn)則。兩個重要極限。無窮小量及其階的比較,無窮大量,曲線的漸近線。(二）考核知識點(diǎn)1、函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限的概念;2、函數(shù)極限的性質(zhì):唯一性，局部有界性,局部保號性,不等式性，迫斂性；3、函數(shù)極限存在的條件:歸結(jié)原則（Hｅｉｎe定理），柯西準(zhǔn)則；４、兩個重要極限;5、無窮小量與無窮大量,階的比較。（三)考核規(guī)定１、純熟掌握使用語言,純熟敘述各類型函數(shù)極限；2、掌握函數(shù)極限的若干性質(zhì)；3、掌握函數(shù)極限存在的條件。(歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則，左、右極限,單調(diào)有界等)；4、純熟應(yīng)用兩個特殊極限；5、牢固掌握無窮小（大)的定義、性質(zhì)、階的比較。第四章函數(shù)連續(xù)性(一)考核內(nèi)容函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性,左、右連續(xù),間斷點(diǎn)及其分類，區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì):局部有界性、局部保號性、四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):最值定理、介值性定理、根的存在定理，反函數(shù)的連續(xù)性,一致連續(xù)與一致連續(xù)性定理。指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性,初等函數(shù)連續(xù)性。(二)考核知識點(diǎn)1、函數(shù)連續(xù)的概念:一點(diǎn)連續(xù)的定義，區(qū)間連續(xù)的定義，單側(cè)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)及其分類;２、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):局部性質(zhì)及運(yùn)算，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性）,復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性；3、初等函數(shù)的連續(xù)性。（三）考核規(guī)定１、純熟掌握在點(diǎn)連續(xù)的定義,等價定義;2、掌握間斷點(diǎn)及其類型；3、了解在區(qū)間上連續(xù)的定義;4、掌握在一點(diǎn)連續(xù)的性質(zhì)及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；5、了解初等函數(shù)的連續(xù)性。第五章導(dǎo)數(shù)與微分（一）考核內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)數(shù)的幾何意義,極值,費(fèi)馬定理。導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù),復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),基本求導(dǎo)法則與公式。參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù),隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)。微分概念，微分的幾何意義，微分的運(yùn)算法則，一階微分形式的不變性，高階微分，微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。（二）考核知識點(diǎn)１、導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義;2、求導(dǎo)法則:導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(四則運(yùn)算)、求導(dǎo)法則（反函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，參數(shù)方程的求導(dǎo)法則）;３、微分:微分的定義，微分的運(yùn)算法則,微分的應(yīng)用；4、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。（三)考核規(guī)定1、純熟掌握導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義；2、牢固記住求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式;３、會求各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（復(fù)合函數(shù)、含參變量函數(shù)、隱函數(shù)、冪指函數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)(萊布尼茲公式）)；4、掌握微分的概念,并會用微分進(jìn)行近似計(jì)算;5、理解連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系。第六章微分中值定量、不定式極限（一)考核內(nèi)容羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,單調(diào)函數(shù)?？挛髦兄刀ɡ?。不定式極限，羅比塔法則。帶有皮亞諾型余項(xiàng)、拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式,泰勒公式在近似計(jì)算上的應(yīng)用(二)考核知識點(diǎn)1、中值定理:羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；２、幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則；3、泰勒公式。（三）考核規(guī)定1、牢固掌握微分中值定理及應(yīng)用（涉及羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理);2、會用洛比達(dá)法則求極限(將其他類型的不定型轉(zhuǎn)化為等類型）。第七章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）考核內(nèi)容函數(shù)單調(diào)性與極值。最大值與最小值。函數(shù)的凸性與曲線的拐點(diǎn)。函數(shù)圖象的討論。方程的近似解。極值的判別法;函數(shù)的升降、凸性討論的有關(guān)理論及結(jié)果;畫函數(shù)草圖的基本要素和方法。（二）考核知識點(diǎn)1、函數(shù)的單調(diào)性與極值；2、函數(shù)凹凸性與拐點(diǎn).（三)考核規(guī)定１、掌握單調(diào)與導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，并用它證明單調(diào)，不等式、求單調(diào)區(qū)間、極值等;2、運(yùn)用的二階導(dǎo)數(shù)鑒定凹凸性及拐點(diǎn)；3、了解凸函數(shù)及性質(zhì);4、會求曲線各種類型的漸近線性.第八章極限與連續(xù)（續(xù))(一)考核內(nèi)容關(guān)于實(shí)數(shù)集完備性的基本定理:閉區(qū)間套定理、柯西收斂準(zhǔn)則、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理與致密性定理，實(shí)數(shù)完備性基本定理的等價性。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明。（二)考核知識點(diǎn)1、實(shí)數(shù)完備性六個等價定理：閉區(qū)間套定理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則、確界存在定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理;２、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明：有界性定理的證明，最大小值性定理的證明,介值性定理的證明，一致連續(xù)性定理的證明；（三)考核規(guī)定１、掌握下列基本概念：區(qū)間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點(diǎn)、予列;2、了解刻劃實(shí)數(shù)完備性的六個定理的等價性,并掌握各定理的條件與結(jié)論;３、學(xué)會用六個定理證明其他問題,如連續(xù)函數(shù)性質(zhì)定理等.第九章不定積分（一）考核內(nèi)容原函數(shù)與不定積分概念,基本積分表,線性運(yùn)算法則。換元積分法，分部積分法。有理函數(shù)的不定積分,三角函數(shù)有理式的不定積分,某些無理函數(shù)的不定積分。(二）考核知識點(diǎn)1、不定積分概念;2、換元積分法與分部積分法；3、幾類可化為有理函數(shù)的積分；(三）考核規(guī)定1、掌握原函數(shù)與不定積分的概念；2、記住基本積分公式；3、純熟掌握換元法、分部積分法；4、了解有理函數(shù)積分環(huán)節(jié),并會求可化為有理函數(shù)的積分。第十章定積分（一)考核內(nèi)容概念引入(曲邊梯形面積與變力作功)，定積分定義，定積分的幾何意義。牛頓－萊布尼茲公式?？煞e的必要條件,可積的充要條件，可積函數(shù)類：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)、只有有限個間斷點(diǎn)的有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)。定積分的基本性質(zhì)，積分中值定理。變限積分與原函數(shù)的存在性，微積分學(xué)基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法?？煞e性理論補(bǔ)敘.（二)考核知識點(diǎn)1、定積分的概念：概念的引入、黎曼積分定義,函數(shù)可積的必要條件；２、可積性條件：可積的必要條件和充要條件，達(dá)布上和與達(dá)布下和，可積函數(shù)類(連續(xù)函數(shù),只有有限個間斷點(diǎn)的有界函數(shù),單調(diào)函數(shù)）;3、微積分學(xué)基本定理：可變上限積分,牛頓-萊布尼茲公式；4、非正常積分:無窮積分收斂與發(fā)散的概念，審斂法(柯西準(zhǔn)則,比較法,狄利克雷與阿貝爾判別法)；瑕積分的收斂與發(fā)散的概念，收斂判別法。（三）考核規(guī)定1、掌握定積分定義、性質(zhì);2、了解可積條件,可積函數(shù)類;3、深刻理解微積分基本定理，并會純熟應(yīng)用;4、純熟計(jì)算定積分;5、掌握廣義積分收斂定義及判別法,會計(jì)算廣義積分。第十一章定積分應(yīng)用(一)考核內(nèi)容微元法。平面圖形的面積。由平行截面面積求體積，旋轉(zhuǎn)體體積。平面曲線的弧長、曲率。旋轉(zhuǎn)曲面的面積。定積分的近似計(jì)算.（二)考核知識點(diǎn)1、定積分的幾何應(yīng)用：平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數(shù)的立體體積,旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長與微分，曲率;（三）考核規(guī)定1、純熟計(jì)算各種平面圖形面積;2、會求旋轉(zhuǎn)體或已知截面面積的體積；3、會運(yùn)用定積分求孤長、曲率、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積.第十二章數(shù)項(xiàng)級數(shù)（一)考核內(nèi)容數(shù)項(xiàng)級數(shù)極其收斂與和的定義，柯西收斂準(zhǔn)則,收斂級數(shù)的基本性質(zhì)。正頂級數(shù)收斂性的一般判別原則（比較原則),比式判別法與根式判別法,積分判別法。拉貝判別法。交錯級數(shù),萊布尼茲判別法，絕對收斂級數(shù)與性質(zhì),條件收斂,阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。(二)考核知識點(diǎn)1、級數(shù)的斂散性:無窮級數(shù)收斂,發(fā)散等概念，柯西準(zhǔn)則,收斂級數(shù)的基本性質(zhì)；2、正項(xiàng)級數(shù)：比較原理，達(dá)朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法;3、一般項(xiàng)級數(shù):交錯級數(shù)與萊布尼茲判別法,絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)及其性質(zhì)，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。(三)考核規(guī)定1、掌握數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散的定義、性質(zhì)；2、純熟掌握正項(xiàng)級數(shù)的斂、散判別法;3、掌握條件、絕對收斂及萊布尼茲定理。第十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（一）考核內(nèi)容函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂、一致收斂性以及一致收斂的柯西準(zhǔn)則,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的維爾斯特拉斯優(yōu)級數(shù)判別法(M判別法)，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、可積性與可微性。(二)考核知識點(diǎn)1、一致收斂性及一致收斂判別法(柯西準(zhǔn)則,優(yōu)級數(shù)判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法);2、一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)(連續(xù)性,可積性,可微性)。(三)考核規(guī)定1、掌握函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂定義；2、掌握函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的判別法；；3、函數(shù)列的極限函數(shù),函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)。第十四章冪級數(shù)（一)考核內(nèi)容阿貝爾第一定理,冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間,內(nèi)閉一致收斂性，冪級數(shù)的性質(zhì)，冪級數(shù)的四則運(yùn)算。泰勒級數(shù),函數(shù)可以展開成泰勒級數(shù)的條件,初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式。復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)和歐拉公式。(二)考核知識點(diǎn)1、冪級數(shù):阿貝爾定理,收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性,冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)；２、幾種常見初等函數(shù)的冪級數(shù)展開與泰勒定理。(三)考核規(guī)定1、純熟掌握冪級數(shù)收斂域、收斂半徑及和函數(shù)的求法；；2、了解冪級數(shù)的若干性質(zhì)；3、了解求一般任意階可微函數(shù)的冪級數(shù)展開式的方法;4、會運(yùn)用間接法求一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式。第十六章多元函數(shù)極限與連續(xù)(一)考核內(nèi)容平面點(diǎn)集概念,Ｒ2上的完備性定理,二元函數(shù)和n元函數(shù)概念。二重極限，累次極限。二元函數(shù)的連續(xù)性,復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性。有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。(二）考核知識點(diǎn)1、平面點(diǎn)集與多元函數(shù)的概念;2、二元函數(shù)的極限、累次極限;3、二元函數(shù)的連續(xù)性:二元函數(shù)的連續(xù)性概念、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及初等函數(shù)連續(xù)性。（三)考核規(guī)定１、了解平面點(diǎn)集的若干概念；2、掌握二元函數(shù)二重極限定義、性質(zhì);３、掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關(guān)系;4、掌握二元連續(xù)函數(shù)定義、性質(zhì).第十七章多元函數(shù)微分學(xué)（一）考核內(nèi)容多元函數(shù)的可微性與全微分,偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義，全微分存在的必要條件、充足條件，可微性的幾何意義及應(yīng)用。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,復(fù)合函數(shù)的全微分。方向?qū)?shù)與梯度。高階偏導(dǎo)數(shù)，二元函數(shù)的中值定理和秦勒公式，二元函數(shù)的極值與最值。(二）考核知識點(diǎn)１、可微性：偏導(dǎo)數(shù)的概念,偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性;全微分概念;連續(xù)性與可微性，偏導(dǎo)數(shù)與可微性;2、多元復(fù)合函數(shù)微分法及求導(dǎo)公式；3、方向?qū)?shù)與梯度;4、泰勒定理與極值。（三)考核規(guī)定1、純熟掌握可微,偏導(dǎo),可微的意義;２、掌握二元函數(shù)可微，連續(xù)以及偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系;3、會計(jì)算各種類型函數(shù)的偏導(dǎo),函數(shù)的全微分;4、會求空間曲面的切平面,法線;5、會求函數(shù)的方向?qū)?shù);6、會求二元函數(shù)的無條件極值。第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用(一）考核內(nèi)容隱函數(shù)概念，隱函數(shù)存在性條件的分析，隱函數(shù)(存在惟一性、可微性)定理，隱函數(shù)求導(dǎo)。隱函數(shù)組概念,函數(shù)行列式,隱函數(shù)組定理,隱函數(shù)組求導(dǎo),反函數(shù)組與坐標(biāo)變換。幾何應(yīng)用。條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。（二）考核知識點(diǎn)1、隱函數(shù):隱函數(shù)的概念,隱函數(shù)的定理，隱函數(shù)求導(dǎo)舉例；２、隱函數(shù)組：隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，雅可比行列式;3、幾何應(yīng)用:平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線;條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。（三）考核規(guī)定1、掌握一個方程擬定的隱函數(shù)的條件,隱函數(shù)性質(zhì),隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(偏導(dǎo)）公式；2、會求空間曲線的切線與法平面;3、會求空間曲面的切平面與法線;4、掌握條件極值的拉格朗日乘子法。第二十章重積分(一)考核內(nèi)容平面圖形的面積,二重積分的定義及其存在性,二重積分性質(zhì)。直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算(化為累計(jì)積分）。格林公式,平面曲線積分與路線無關(guān)的等價條件,原函數(shù)。二重積分的變量替換公式，用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分。三重積分的概念與性質(zhì)，化三重積分為累次積分,三重積分的換元法，柱坐標(biāo)變換與球坐標(biāo)變換。重積分在的應(yīng)用:曲面的面積。（二）考核知識點(diǎn)1、二重積分概念:二重積分的概念，可積條件，可積函數(shù),二重積分的性質(zhì)；2、二重積分的計(jì)算：化二重積分為累次積分，換元法(極坐標(biāo)變換，一般變換)；3、含參變量的積分;4、三重積分計(jì)算：化三重積分為累次積分,換元法(