第三章 第8(2)、9、10講 空間力投影、力對點(diǎn)之矩,匯交力系、力偶系

§3.1空間匯交力系第8（2）講目錄第三章空間力系TheoreticalMechanics

第8（2）講的內(nèi)容、要求、重難點(diǎn)TheoreticalMechanics

教學(xué)內(nèi)容：在空間直角坐標(biāo)軸上的投影、空間匯交力系教學(xué)要求：重點(diǎn)：力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影難點(diǎn)：空間匯交力系、力偶系的平衡學(xué)時安排：11、了解空間力系的概念和平衡條件。2、理解應(yīng)用空間匯交力系平衡3、掌握力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影。3.1.1力的投影

§3.1空間匯交力系TheoreticalMechanics引言：平面力系一、力系空間力系匯交力系：三角架平行力系任意力系二、空間支座：柔性約束FT1FT3FT2FT41、一個約束力FNAPAFNAFNA光滑面約束滾動支座二力桿

§3.1空間匯交力系2．兩個未知量：徑向軸承（向心軸承）TheoreticalMechanicsTheoreticalMechanics不能限制轉(zhuǎn)動，但限制任何方向的轉(zhuǎn)動反力方向：通過鉸心（插入端），方向不定，三正交分量表示。固定球鉸鏈支座FyFzFx止推軸承FyFzFx

§3.1空間匯交力系3．三個未知量：固定球鉸鏈支座、止推軸承（向心推力軸承）TheoreticalMechanics

§3.1空間匯交力系4．導(dǎo)向軸承、萬向接頭5．帶銷子的夾板、導(dǎo)軌6．空間的固定端FAyFAzmAzmAyFAyFAzmAyFAxFAyFAzFAxmAzmAxFAyFAzmAzmAxFAymAyFAzFAxmAzmAx3.1空間匯交力系2.1.1力的投影TheoreticalMechanics

§3.1空間匯交力系三、力在空間坐標(biāo)軸上的投影與分解1、分解與合成yzxFFxFyFzFxy合力與分力滿足長方體原則。合力為長方體的對角線，分力為三條棱。3.1空間匯交力系2.1.1力的投影TheoreticalMechanics

§3.1空間匯交力系力在軸上的投影：力與該投影軸單位矢量的標(biāo)量積2、力在空間坐標(biāo)軸上的投影直角坐標(biāo)系Oxyz的單位矢量為i、j、k，力F在各軸上投影

（1）直接投影法（2）二次投影法正負(fù)規(guī)定：與坐標(biāo)正向一致取正當(dāng)外力與軸垂直，外力在該軸上投影為零當(dāng)外力與軸平行，外力在該軸上的投影的絕對值等于力的大小yzxFFxFyFzαFxyγβ3、分力與投影的關(guān)系TheoreticalMechanics

§3.1空間匯交力系在直角坐標(biāo)系中力F的矢量式：F=Fx

i+Fy

j+Fz

k

4、已知力F在直角坐標(biāo)軸上的三個投影求合力Fx=Fx

iFy=Fy

jFz=Fz

k

力大小:力方向:例3-1已知：、、求：力在三個坐標(biāo)軸上的投影。TheoreticalMechanics

§3.1空間匯交力系正視圖俯視圖四、空間匯交力系的合力與平衡條件2、合矢量（力）投影定理1、空間匯交力系的合力3、合力的大小：4、空間匯交力系平衡的充分必要條件是：稱為空間匯交力系的平衡方程。該力系的合力等于零，即方向余弦：TheoreticalMechanics

§3.1空間匯交力系例3-2已知：物重P=10kN由兩等長繩懸掛于墻，C、D連線水平，直角三角形形成的平面BCD與水平面成30o角。AB桿與鉛垂線成θ=30o角。求：桿受力及繩拉力。TheoreticalMechanics

§3.1空間匯交力系解：畫受力圖如圖，建立圖示坐標(biāo)，列平衡方程播放30oE30oF45o作業(yè)P.1073-12第9講目錄第三章空間力系

§3.3空間力偶系

§3.2力對點(diǎn)的矩和力對軸之矩TheoreticalMechanics

§3.4空間任意力系向一點(diǎn)的簡化·主矢和主矩第9講的內(nèi)容、要求、重難點(diǎn)TheoreticalMechanics

教學(xué)內(nèi)容：空間力對點(diǎn)之矩、對軸之矩，空間力偶系，空間任意力系的簡化教學(xué)要求：重點(diǎn)：力在空間力對軸之矩、力偶性質(zhì)及平衡難點(diǎn)：空間力偶系的平衡、空間任意力系的簡化學(xué)時安排：21、了解空間力對點(diǎn)之矩、空間任意力系的簡化2、理解空間力偶的性質(zhì)3、掌握力在空間力對軸之矩，應(yīng)用空間力偶系簡化和平衡一、力對的點(diǎn)矩

1、定義：力的作用點(diǎn)A相對于確定點(diǎn)O的矢徑r和力矢F的叉積，定義為力對點(diǎn)O（稱為矩心）的矩，用MO(F)表示。MO

(F)=r×F?！?.2力對點(diǎn)的矩和力對軸之矩TheoreticalMechanics(3)作用面：力矩作用面。(2)方向:轉(zhuǎn)動方向(1）大小:力F與力臂的乘積三要素：力矩的大小和方向是隨矩心的改變而改變的，力矩MO(F)必須從矩心O畫出。由右手螺旋規(guī)則來確定力對點(diǎn)之矩，力對點(diǎn)之矩是定位矢?！?.2力對點(diǎn)的矩和力對軸之矩TheoreticalMechanics力對點(diǎn)O的矩在三個坐標(biāo)軸上的投影為：則在直角坐標(biāo)系Oxyz中：矢徑：rAO

=r=xi+yj+zk，力：F=Fxi

+Fyj+Fzk。二、力對軸的矩力與軸相交或與軸平行（力與軸在共面，力對該軸的矩為零?！?.2力對點(diǎn)的矩和力對軸之矩TheoreticalMechanics

1、定義：力使物體繞定軸轉(zhuǎn)動的效果的度量。力對軸的矩轉(zhuǎn)化為求力在垂直于軸平面內(nèi)的分力，對軸與平面的交點(diǎn)之矩。3、單位：N·m2、力對軸的矩是一個代數(shù)量：4、正負(fù)規(guī)定：正負(fù)號可用右手螺旋法則來判定：用右手握住轉(zhuǎn)軸，四指繞向在力作用處的切線與力方向一致，若拇指指向與轉(zhuǎn)軸正向一致時力矩為正；反之，為負(fù)。也可從轉(zhuǎn)軸正端看過去，逆時針轉(zhuǎn)向的力矩為正，順時針轉(zhuǎn)向力矩為負(fù)。例3-3曲柄ABCDE在水平面內(nèi)，力F在垂直于y軸的平面內(nèi)。其中F、

l、b、α

是常量。求力F對三坐標(biāo)軸之矩。解：把力分解如圖§3.2力對點(diǎn)的矩和力對軸之矩TheoreticalMechanics播放bαFxFz§3.2力對點(diǎn)的矩和力對軸之矩TheoreticalMechanics【例3-4】如圖所示，已知各力大小均為100N，六面體邊長單位cm。

求：(1）各力在x、y、z軸上的投影；(2）力F3對x、y、z軸之矩解:（1）計算投影。F1F2：F3F3xyF3xF3yF3zxyz303040F3F1αγOβF2Mx(F3)=Mx

(F3x)+Mx

(F3y)+Mx

(F3z)=(2)力F3與y軸相交My(F3)=0。由合力矩定理求力F3對x、y軸之矩0-F3y×0.3+0=-15.4N·mMz(F3)=Mz(F3x)+Mz

(F3y)+Mz

(F3z)=0+F3y×0.4+0=20.6N·m求：力F對x,y,z軸的矩三、

力對點(diǎn)的矩與力對過該點(diǎn)的軸之矩的關(guān)系已知：力F,力F在三根軸上的分力

Fx

、Fy、

Fz

，力F作用點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)§3.2力對點(diǎn)的矩和力對軸之矩TheoreticalMechanics與平面的合力矩定理相似即，力對點(diǎn)的矩矢在過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對該軸的矩?！?.3空間力偶系TheoreticalMechanics一、空間力偶1、空間力偶的三要素（1）大?。毫εc力偶臂的乘積；（3）作用面：力偶作用面。（2）方向：轉(zhuǎn)動方向；力偶矩矢：2、力偶的性質(zhì)（2）力偶對任意點(diǎn)取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變(1）力偶中兩力在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零。力偶沒有合力，力偶平衡只能由力偶來平衡。（3）只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可以同時改變力偶中力的大小與力偶臂的長短，對剛體的作用效果不變。定位矢量（空間的力對點(diǎn)之矩）力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬來搬去，滑來滑去）滑移矢量（力）§3.3空間力偶系TheoreticalMechanics§3.3空間力偶系TheoreticalMechanics二．力偶系的合成與平衡條件=M為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和如同匯交力系有：合力偶矩矢的大小和方向余弦稱為空間力偶系的平衡方程。簡寫為：有2、平衡的充分必要條件是:合力偶矩矢等于零1、合成=—空間力偶系的平衡方程播放2播放1(兩力偶)A求：工件所受合力偶矩在軸上的投影。例3-5已知：在工件四個面上同時鉆5個孔，每個孔所受切削力偶矩均為80N·m。解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到點(diǎn)A。M3M4M5M2M1§3.3空間力偶系TheoreticalMechanicsBF1F’1F2F’2M1M2圓盤面O1垂直于z軸，求:軸承A,B處的約束力例3-6已知：F1=3N，F(xiàn)2=5N，（構(gòu)件自重不計）兩盤面上作用有力偶，圓盤面O2垂直于x軸，AB=800mm,兩圓盤半徑均為200mm，解：取整體，受力圖如圖b所示，列力偶系平衡方程FBxFAxFAzF1F’1F2F’2FBxFAxFAz§3.3空間力偶系TheoreticalMechanicsFBzBFBz思考：兩力偶對其它軸有矩沒有？§3.4空間任意力系向一點(diǎn)的簡化·主矢和主矩一、

空間任意力系向一點(diǎn)的簡化其中，各，各空間匯交與空間力偶系等效代替一空間任意力系TheoreticalMechanics1、主矢：平移后的空間匯交力矢系的合力矢2、主矩：平移后的空間力偶系的合力偶矩矢由力對點(diǎn)的矩與力對軸的矩的關(guān)系，有播放當(dāng)最后結(jié)果為一個合力，（1）合力最后結(jié)果為一合力。合力作用線距簡化中心為2．

空間任意力系的簡化結(jié)果分析（最后結(jié)果）合力作用點(diǎn)過簡化中心?！?.4空間任意力系向一點(diǎn)的簡化·主矢和主矩TheoreticalMechanics（2）合力偶力螺旋中心軸過簡化中心當(dāng)時，最后結(jié)果為一個合力偶，與簡化中心無關(guān)播放當(dāng)時，（3）力螺旋當(dāng)∥時右螺旋左螺旋力螺旋中心軸距簡化中心為（4）平衡當(dāng)時，空間力系為平衡力系TheoreticalMechanics播放當(dāng)成角且既不平行也不垂直時§3.4空間任意力系向一點(diǎn)的簡化·主矢和主矩TheoreticalMechanics播放§3.4空間任意力系向一點(diǎn)的簡化·主矢和主矩TheoreticalMechanics播放§3.4空間任意力系向一點(diǎn)的簡化·主矢和主矩TheoreticalMechanics播放§3.4空間任意力系向一點(diǎn)的簡化·主矢和主矩§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics前三個方程稱為投影方程，表示力系中各力在三個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零，表明物體無任何方向的移動。后三個方程為力矩方程，表示力系中各力對三個坐標(biāo)軸的力矩代數(shù)和分別為零，表明物體無繞任何軸的轉(zhuǎn)動?？臻g任意力系有六個獨(dú)立的平衡方程，所以空間任意力系的平衡問題最多可解六個未知量。力系空間匯交力系空間平行力系（//z軸）空間力偶系平衡方程一、平衡方程作業(yè)P.1073-9第10講目錄MechanicofMaterials第三章空間力系§3.5空間任意力系的平衡方程第11講的內(nèi)容、要求、重難點(diǎn)MechanicofMaterials教學(xué)內(nèi)容：空間平行力系、任意力系的平衡方程的應(yīng)用，空間問題轉(zhuǎn)化成平面力系求解方法教學(xué)要求：重點(diǎn)：任意力系平衡的應(yīng)用難點(diǎn)：空間任意力系平衡方程的應(yīng)用學(xué)時安排：21、了解空間任意力系的簡化。2、理解空間平行力系的平衡。3、掌握任意力系平衡問題的求解方法步驟、技巧?！?.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics二、解題步驟：

1、

選擇研究對象，取出分離體，畫分離體受力圖。求解空間力系平衡問題的基本方法和步驟與平面力系相同正確地選擇研究對象，畫分離體受力圖是解決問題的關(guān)鍵

2、建立空間直角坐標(biāo)系，列平衡方程。

3、代入已知條件，求解未知量。例3-7三輪推車已知：自重P=8kN,各尺寸如圖求：A、B、D處約束力解：研究對象：小車受力如圖列平衡方程求反力§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics0.2m1.2m0.2m1.2mPP1xyzFDFAFB2m例3-8已知：各尺寸如圖，D=400mm，R=300mm求：及A、B處約束力解：研究對象:曲軸受力如圖所示，列平衡方程§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics√√√√√√√§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics例3-9等尺寸。求：，（2）A、B處約束力(1)（3）O處約束力√√√√√√√FxFz√FyFzFxFtFtFrFrFBxFBzFBy38876488100xzyFAxFAz播放O§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics研究對象2：工件受力圖如圖列平衡方程√√√求：（3）O處約束力FxFzFyFOxFOzFOyMxMyMzI已知：F、P及各尺寸求：各桿內(nèi)力解：研究對象：長方板受力圖如圖列平衡方程探索1（只有F1與x軸不垂直）§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanicsxzy播放圖示為某水輪機(jī)渦輪轉(zhuǎn)動軸，已知大錐齒輪D上承受的嚙合反力可以分解為圓周切向力Ft、軸向力Fa

和徑向力Fr

，且它們的大小比為1:0.32:0.17，外力偶矩為MZ

=1.2kN·m，轉(zhuǎn)動軸及其附件總重量為G=12kN，錐齒輪的平均半徑為DE=

r=0.6m，其余尺寸如圖所示，試求兩軸承處的約束反力ABDEMZ§3.4空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics探討20.32Ft0.17Ft√√√4m3m

【例5.4】某傳動軸如圖所示。已知皮帶拉力T=5kN,t=2kN，帶輪直徑D=160mm，分度圓直徑為d=100mm，壓力角（齒輪嚙合力與分度圓切線間夾角）α=20°，求齒輪圓周力Ft、徑向力Fr和軸承的約束反力。

§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics

探討3

∑Mx(Fi)=0-Fr·200+RBz·400-(t+T)·460=0∑Fx=0

RAx+RBx+Ft=0∑Fz=0RAz+RBz-Fr-(t+T)=0

Ft=4.8kN

Fr=1.747kN

RBz=8.92kN

RBx=-2.4kNRAx=-2.4kN

RAz=-0.17kN

§5.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics

探討3方法一：軸受力、坐標(biāo)如圖所示，列出平衡方程?！?.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics

探討3方法二（b）（a）(c)

(d)

方法二（1）取傳動軸為研究對象，并畫出它的分離體在三個坐標(biāo)平面投影的受力圖。如圖（b）、(c)、(d)所示。（2）按平面力系平衡問題進(jìn)行計算。①對符合可解條件的先行求解，故先從xz面先行求解。

對xz面：Ft=4.8kN,Fr=Ft

tanα=1.747kN

§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics探討3②對其余兩面求解