數(shù)值分析5.3 最佳平方及一致逼近

*5.4

最佳平方逼近*5.4.1

最佳平方逼近及其計(jì)算最佳平方逼近問題:對f(x)∈C[a,b]及C[a,b]中的一個(gè)子集若存在函數(shù),使下式成立則稱S*(x)是f(x)在子集中的最佳平方逼近函數(shù).為了求S*(x),由上式可知該問題等價(jià)于求多元函數(shù)的最小值.由于I(a0,a1,…,an)是關(guān)于a0,a1,…,an的二次函數(shù)，利用多元函數(shù)求極值的必要條件即于是有是關(guān)于a0,a1,…,an的線性方程組，稱為法方程，即由于函數(shù)組線性無關(guān)，故系數(shù)矩陣的行列式非零，即從而得到最佳平方逼近函數(shù)于是方程組有唯一解

下面證明S*(x)滿足最佳平方逼近的定義，即但我們只需證明為此我們只要考慮由于S*(x)的系數(shù)ak*是法方程的解，故從而上式第二項(xiàng)積分為0.于是可得即得S*(x)必定是所求函數(shù)f(x)的最佳平方逼近函數(shù).注：若取則要在Hn中求n次最佳平方逼近多項(xiàng)式此時(shí)若用H表示對應(yīng)的矩陣，即則稱H為希爾伯特(Hilbert)矩陣，若記向量則法方程為其解ak=

ak*(k=0,1,…,n),即得所求最佳平方多項(xiàng)式為的系數(shù).

解

由公式有得法方程組

例1

求

在[0,1]上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式.解出故得所求的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式為平方誤差為最大誤差為注：若用{1,x,…,xn}做基，求最佳平方多項(xiàng)式，計(jì)算簡單，但當(dāng)n較大時(shí),系數(shù)矩陣H是高度病態(tài)的(見第2章),因此直接求解法方程是相當(dāng)困難的，故通常是采用正交多項(xiàng)式做基底構(gòu)造最佳平方多項(xiàng)式.*5.4.2

用正交函數(shù)族作最佳平方逼近

設(shè)f(x)∈C[a,b]，若是正交函數(shù)族，即滿足故法方程的系數(shù)矩陣為非奇異對角陣，即立刻得到法方程的解為于是f(x)∈C[a,b]在φ中的最佳平方逼近函數(shù)為可得均方誤差為

下面考慮函數(shù)f(x)∈C[-1,1]，按勒讓德多項(xiàng)式{P0(x),P1(x),…,Pn(x)}展開，由公式可得其中平方誤差為

解

先計(jì)算(f(x),Pk(x))(k=0,1,2,3)

例2

求f(x)=ex在[-1,1]的三次最佳平方逼近多項(xiàng)式.由公式解得得三次最佳平方逼近多項(xiàng)式為可得均方誤差為可得最大誤差為注1：

如果f(x)∈C[a,b]，求[a,b]上的最佳平方逼近多項(xiàng)式，做變換于是在[-1,1]上可用勒讓德多項(xiàng)式做最佳平方逼近多項(xiàng)式

S*(t)，從而可得到區(qū)間[a,b]上的最佳平方逼近多項(xiàng)式注2：由于勒讓德多項(xiàng)式{Pk(x)}是在[-1,1]上由多項(xiàng)式基{1,x,…,xn,…}正交化得到的，因此利用函數(shù)的勒讓德展開得到最佳平方逼近多項(xiàng)式與由直接通過解法方程得到Hn中的最佳平方逼近多項(xiàng)式是一致的，但是當(dāng)n較大時(shí)法方程出現(xiàn)病態(tài)，計(jì)算誤差較大，不能使用，而用勒讓德展開不用解線性方程組，不存在病態(tài)問題，計(jì)算公式比較方便，因此通常都用這種方法求最佳平方逼近多項(xiàng)式.*5.5

最佳一致逼近多項(xiàng)式5.5.1

基本概念及其理論

本節(jié)討論f∈C[a,b]，在Hn=span{1,x,…,xn}中求多項(xiàng)式Pn*(x)

，使其誤差這就是通常所謂最佳一致逼近或切比雪夫逼近問題.

最佳一致逼近多項(xiàng)式問題定義1設(shè)Pn(x)∈Hn，f(x)∈C[a,b],稱為f(x)與Pn(x)在[a,b]上的偏差.

顯然,的全體組成一個(gè)集合，記為{},它有下界0.若記集合的下確界為

則稱之為f(x)在[a,b]上的最小偏差.定義2假定f(x)∈C[a,b],若存在Pn*(x)∈Hn使得則稱Pn*(x)是f(x)在[a,b]上的最佳一致逼近多項(xiàng)式或最小偏差逼近多項(xiàng)式.

注意,定義并未說明最佳逼近多項(xiàng)式是否存在,但可以證明下面的存在定理.

定理1

若f(x)∈C[a,b],則總存在Pn*(x)使證明略.就稱x0是P(x)對f(x)的偏差點(diǎn).若稱x0為“正”偏差點(diǎn).

為了研究最佳逼近多項(xiàng)式的特性，先引進(jìn)偏差點(diǎn)的定義.

定義3(偏差點(diǎn)定義)設(shè)f(x)∈C[a,b]，P(x)∈Hn，若在x＝x0上有若稱x0為“負(fù)”偏差點(diǎn).

由于函數(shù)P(x)－f(x)在[a,b]上連續(xù),因此,至少存在一個(gè)點(diǎn)x0∈[a,b]使

也就是說P(x)的偏差點(diǎn)總是存在的.下面給出反映最佳逼近多項(xiàng)式特征的切比雪夫定理.

定理2(切比雪夫定理

)Pn(x)∈Hn是f(x)∈C[a,b]的最佳逼近多項(xiàng)式的充分必要條件是Pn(x)在[a,b]上至少有n+2個(gè)輪流為“正”，“負(fù)”的偏差點(diǎn)，即有n+2個(gè)點(diǎn)a≤x1＜x2＜...＜xn+2≤b，使這樣的點(diǎn)組稱為切比雪夫交錯(cuò)點(diǎn)組.

切比雪夫定理說明用P(x)逼近f(x)的誤差曲線y=P(x)－f(x)是均勻分布的.由這個(gè)定理還可得以下重要推論.

定理3

在區(qū)間[-1,1]上所有最高次項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式中,

利用切比雪夫定理可直接得到切比雪夫多項(xiàng)式Tn(x)的一個(gè)重要性質(zhì)，即

推論1

若f(x)∈C[a,b]，則在Hn中存在唯一的最佳逼近多項(xiàng)式.(證明略)與零的偏差最小，其偏差為.(證明見p207)

即可以理解為f(x)－Pn-1*(x)與零的偏差等于最小當(dāng)且僅當(dāng)

例1

求f(x)=2x3+x2+2x-1在[-1,1]上的最佳2次逼近多項(xiàng)式.

解

由題意，所求最佳逼近多項(xiàng)式P2*(x)應(yīng)滿足由定理3可知，當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式f(x)－P2*(x)與零偏差最小，故就是f(x)在[-1,1]上的最佳2次逼近多項(xiàng)式.*5.5.2

最佳一次逼近多項(xiàng)式

切比雪夫定理給出了最佳逼近多項(xiàng)式P(x)的特性，但要求出P(x)卻相當(dāng)困難.下面討論n=1的情形.假定f(x)∈C2[a,b].且f"(x)在(a,b)內(nèi)不變號(hào)，我們要求最佳一次逼近多項(xiàng)式

P1(x)=a0+a1x

，根據(jù)定理可知至少有3個(gè)點(diǎn)a≤x1＜x2＜x3≤b，使

由于f"(x)在[a,b]上不變號(hào),故f'(x)單調(diào),f'(x)-a1在(a,b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，記為x2,于是即另外兩個(gè)偏差點(diǎn)必定是區(qū)間的端點(diǎn)，即x1=a,x3=b，且滿足由此得到代入到(2)得這就得到最佳一次逼近多項(xiàng)式P1(x)，其方程為由(1)式得

解