晶體的宏觀對稱性

2.宏觀對稱性的數(shù)學(xué)描述

晶體的對稱性有宏觀對稱性和微觀對稱性之分，前者指晶體的外形對稱性，后者指晶體微觀結(jié)構(gòu)的對稱性。本節(jié)我們主要學(xué)習晶體的宏觀對稱性。主要內(nèi)容：1.宏觀對稱元素4.群/對稱操作群5.宏觀對稱性與物理性質(zhì)3.三種幾何體的對稱操作1-5晶體的宏觀對稱性晶體的對稱性晶體外部形態(tài)的對稱性，稱為宏觀對稱性。晶體外形具有有限的大小，所有的對稱元素都必須相交于晶體內(nèi)部的某一點。因此，宏觀對稱性又叫做點對稱性。（1.5，1.6節(jié)）晶體內(nèi)原子排列的對稱性稱為微觀對稱性，它是晶體內(nèi)部原子無限排列所具有的對稱性。（1.7節(jié)）晶體宏觀對稱性是微觀對稱性的外在表現(xiàn)，晶體微觀對稱性則是宏觀對稱性的基礎(chǔ)。對稱是指物體相同部分作有規(guī)律的重復(fù)。不改變物體/圖形中任何兩點的距離而能使圖形復(fù)原的操作叫對稱操作。對稱操作據(jù)以進行的幾何要素叫做對稱元素旋轉(zhuǎn)軸與旋轉(zhuǎn)操作：將物體繞通過其中心的軸旋轉(zhuǎn)一定的角度使物體復(fù)原的操作。能使物體復(fù)原的最小旋轉(zhuǎn)角（0°除外）稱為基準角α；物體旋轉(zhuǎn)一周復(fù)原的次數(shù)稱為旋轉(zhuǎn)軸的軸次n，n=360°/α；旋轉(zhuǎn)軸的符號為Cn；

晶體只存在C2,C3,C4,C6旋轉(zhuǎn)軸；晶體中可存在一條或多條旋轉(zhuǎn)軸。鏡面與反映操作：通過物體中心的一個假想面，將物體平分成互為鏡面反映的兩個相等部分，稱為反映操作；反映操作憑借的平面稱為反映面或鏡面σ；晶體中可存在一個或多個鏡面。對稱中心與反演操作：若物體中存在一點，使得物體中任意一點向此點引連線并延長到反方向等距離處而能使物體復(fù)原，則這種操作就是反演，這一點稱為反演中心i。晶體中最多可有一個對稱中心。i旋轉(zhuǎn)--反演對稱軸并不都是獨立的基本對稱素。如：1212345612反軸與旋轉(zhuǎn)反演操作：這是一個復(fù)合操作，即旋轉(zhuǎn)與反演的乘積。反軸寫為In。7ABDCEFGH正四面體既無四度軸也無對稱心6=3+m1234566'1234反軸與旋轉(zhuǎn)反演操作：這是一個復(fù)合操作，即旋轉(zhuǎn)與反演的乘積。反軸寫為In。恒等元素E與恒等操作：即物體不動的操作。1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)對稱操作。1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)反演對稱操作。(3)中心反演：i。(4)鏡象反映：m。

C1，C2，C3，C4，C6

（用熊夫利符號表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符號表示）點對稱操作：(2)旋轉(zhuǎn)反演對稱操作：(1)旋轉(zhuǎn)對稱操作：

獨立的對稱操作有8種,即1，2，3，4，6，i，m，。或C1，C2，C3，C4，C6

，Ci，Cs，S4。立方體對稱性(1)立方軸C4：3個立方軸；4個3度軸；(2)體對角線C3：(3)面對角線C2：6個2度軸；各種對稱操作相當于坐標變換，可用坐標變換矩陣表示對稱操作保持圖形形狀和大小不變的幾何變換為正交變換。概括晶體宏觀對稱性的方法是考察晶體在正交變換下的不變性——三維情況下，正交變換的表示——其中矩陣是正交矩陣宏觀對稱性的數(shù)學(xué)描述繞z軸轉(zhuǎn)角的正交矩陣

矩陣行列式等于＋1

中心反演的正交矩陣矩陣行列式等于－1

空間轉(zhuǎn)動加中心反演，矩陣行列式等于－1對稱操作：一個物體在某一個正交變換下保持不變的操作例1：立方體的對稱操作

1)繞三個立方軸轉(zhuǎn)動——9個對稱操作

物體的對稱操作越多，其對稱性越高——共有6個對稱操作2)繞6條面對角線軸轉(zhuǎn)動——8個對稱操作3)繞4個立方體對角線軸轉(zhuǎn)動4)

不動操作——立方體的對稱操作共有48個5)以上24個對稱操作加中心反演仍是對稱操作例2正四面體的對稱操作

四個原子位于正四面體的四個頂角上，正四面體的對稱操作包含在立方體操作之中

1)繞三個立方軸轉(zhuǎn)動——共有3個對稱操作——8個對稱操作2)繞4個立方體對角線軸轉(zhuǎn)動3)

不動操作——1個對稱操作注：立方軸、體對角線、面對角線都是參照立方體的體心為原點的坐標系來討論的——6個對稱操作4)繞三個立方軸轉(zhuǎn)動加中心反演——6個對稱操作5)繞6條面對角線軸轉(zhuǎn)動加上中心反演正四面體的對稱操作共有24個，包含在正方體中。例3正六角柱的對稱操作

1)繞中心軸線轉(zhuǎn)動——5個——3個3)繞相對面中心連線轉(zhuǎn)動

——3個4)

不變操作5)以上12個對稱操作加中心反演仍是對稱操作——正六面柱的對稱操作有24個2)繞對棱中點連線轉(zhuǎn)動

——1個對稱素對稱素：是指一個物體的旋轉(zhuǎn)軸或旋轉(zhuǎn)-反演軸，其簡潔明了地概括了一個物體的對稱性。n重旋轉(zhuǎn)軸：一個物體繞某一個轉(zhuǎn)軸2π/n以及它的倍數(shù)不變時，這個軸稱為n重旋轉(zhuǎn)軸，記作n。n重旋轉(zhuǎn)-反演軸：一個物體繞某一個轉(zhuǎn)軸2π/n加上中心反演的聯(lián)合操作以及其聯(lián)合操作的倍數(shù)不變時，這個軸稱為n重旋轉(zhuǎn)軸，記作。面對角線為2重軸，計為2例1：立方體立方軸為4重軸，計為4同時也是4重旋轉(zhuǎn)－反演軸，計為同時也是2重旋轉(zhuǎn)－反演軸，計為體對角線軸為3重軸，計為3同時也是3重旋轉(zhuǎn)－反演軸，計為例2：正四面體體對角線軸是3重軸——不是3重旋轉(zhuǎn)－反演軸

立方軸是4重旋轉(zhuǎn)－反演軸——不是4重軸面對角線是2重旋轉(zhuǎn)－反演軸——不是2重軸一個特殊的對稱素

：先繞軸轉(zhuǎn)動π，再作中心反演A”點實際上是A點在通過中心垂直于轉(zhuǎn)軸的平面M的鏡像，即對稱素實際是個鏡面操作，用表示。一個物體的全部對稱操作的集合，構(gòu)成對稱操作群

對稱操作群群：代表一組“元素”的集合，G{E,A,B,C,D……}

這些“元素”被賦予一定的“乘法法則”，并且滿足下列性質(zhì)1)

集合G中任意兩個元素的“乘積”仍為集合內(nèi)的元素

——若A,BG,則AB=CG.

叫作群的封閉性2)

存在單位元素E,使得所有元素滿足：AE=A3)對于任意元素A,存在逆元素A-1,有：AA-1=E4)

元素間的“乘法運算”滿足結(jié)合律：A(BC)=(AB)C例1：正實數(shù)群——所有正實數(shù)(0除外)的集合例2：整數(shù)群——所有整數(shù)的集合注意：一個物體全部對稱操作的集合滿足上述群的定義，其運算法則為連續(xù)操作。以普通乘法為運算法則，1為單位元素，x的逆為1/x。以加法為運算法則。一個物體的全部對稱操作的集合，構(gòu)成對稱操作群1.單位元素——不動操作2.任意元素的逆元素——繞轉(zhuǎn)軸角度，其逆操作為繞轉(zhuǎn)軸角度－；中心反演的逆操作仍是中心反演；3.連續(xù)進行A和B操作

——相當于C操作A操作——繞OA軸轉(zhuǎn)動/2

B操作——繞OC軸轉(zhuǎn)動/2

S’上述操作中S和O沒動，而T點轉(zhuǎn)動到T’點

——相當于一個操作C：繞OS軸轉(zhuǎn)動2/3上述操作中S和O沒動，而T點轉(zhuǎn)動到T’點

——相當于一個操作C：繞OS軸轉(zhuǎn)動2/3表示為——群的封閉性可以證明——滿足結(jié)合律S’1.已知氯化鈉是立方晶體，其相對分子質(zhì)量為58.46，在室溫下的密度是2.167*103kg·m-3,試計算氯化鈉結(jié)構(gòu)的點陣常數(shù)。2.硅、鍺半導(dǎo)體材料具有金剛石結(jié)構(gòu)，設(shè)其晶格常數(shù)為a。畫出（110）面二維格子的原胞，并給出它的基矢。3.對于六角密積結(jié)構(gòu)的晶體，其原胞基矢為試求1.倒格子基矢；2.晶面簇（210）的面間距。4.對于立方晶格，密勒指數(shù)為(h1k1l1)和(h2k2l2)的晶面族的兩個平面之間的夾角余弦為【1】已知氯化鈉是立方晶體，其相對分子質(zhì)量為58.46，在室溫下的密度是2.167*103kg·m-3,試計算氯化鈉結(jié)構(gòu)的點陣常數(shù)?！窘狻抗腆w密度ρ=Zm/V，其中V是晶胞體積，Z是晶胞中的分子數(shù)，m為分子的質(zhì)量。每個分子的質(zhì)量m為

于是得到宏觀對稱性與物理性質(zhì)晶體在幾何外形上表現(xiàn)出明顯的對稱性，對稱性的性質(zhì)也會在物理性質(zhì)上得以體現(xiàn)。介電常數(shù)表示為二階張量電位移☆對于立方對稱的晶體，其為對角張量因此，介電常數(shù)可看作一個簡單的標量例：立方對稱晶體的介電系數(shù)為一個標量常數(shù)的證明設(shè)對稱操作對應(yīng)的正交變換且有介電常數(shù)——在坐標變換下例：立方對稱晶體的介電系數(shù)為一個標量常數(shù)的證明設(shè)對稱操作對應(yīng)的正交變換且有介電常數(shù)——在坐標變換下A為對稱變換xyX’Y’繞z軸逆時針轉(zhuǎn)90°——對于立方晶體，選取對稱操作A為繞Z軸旋轉(zhuǎn)/2代入進一步選取對稱操作B為繞X軸旋轉(zhuǎn)/2，