第一章概率論的基本概念

概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章概率論的基本概念§1.1隨機試驗§1.1隨機試驗一、隨機現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽不會從西邊升起”,1.確定性現(xiàn)象

“水從高處流向低處”,實例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象確定性現(xiàn)象的特征條件完全決定結果在一定條件下進行試驗會出現(xiàn)不同的結果，而且在每次試驗之前都無法預言會出現(xiàn)哪一個結果，這種現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.實例1

在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.2.隨機現(xiàn)象結果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.§1.1隨機試驗結果有可能為:1,2,3,4,5或6.

實例2

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).實例3

從一批含有正品和次品的產品中任意抽取一個產品.其結果可能為:

正品

、次品.§1.1隨機試驗實例4

出生的嬰兒可能是男,也可能是女.隨機現(xiàn)象的特征概率論就是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學學科.條件不能完全決定結果隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.問題什么是隨機試驗?如何來研究隨機現(xiàn)象?§1.1隨機試驗三、隨機試驗1.可重復性：試驗可以在相同的條件下重復進行;2.可觀察性：每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果;

3.不確定性：進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn).

在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗.定義：§1.1隨機試驗二、隨機試驗

隨機試驗常用E來表示.§1.1隨機試驗1.拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).2.從一批產品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù).下列試驗都為隨機試驗.3.從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.三、小結隨機現(xiàn)象的特征:1.概率論是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學學科.條件不能完全決定結果.2.隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.(1)可重復性;(2)可觀察性;(3)不確定性.隨機試驗§1.1隨機試驗§1.2樣本空間、隨機事件§1.2樣本空間、隨機事件一、樣本空間、樣本點定義：隨機試驗

E的所有可能結果組成的集合稱為

E的樣本空間,記為

S

.樣本空間的元素

,即試驗E的每一個結果,稱為樣本點.實例1

拋擲一枚硬幣,觀察字面,花面出現(xiàn)的情況.第二節(jié)樣本空間、隨機事件實例2

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).實例3

從一批產品中,依次任選兩件,記錄出現(xiàn)正品與次品的情況.§1.2樣本空間、隨機事件§1.2樣本空間、隨機事件實例4

記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人數(shù).實例5

從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.同一試驗,若試驗目的不同,則對應的樣本空間也不同.

例如

對于同一試驗:“將一枚硬幣拋擲三次”.若觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況,則樣本空間為若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù),則樣本空間為注意：§1.2樣本空間、隨機事件§1.2樣本空間、隨機事件二、隨機事件的概念隨機事件

隨機試驗E的樣本空間S的子集稱為E的隨機事件,簡稱事件.以大寫英文字母A,B,C,…,來表示事件.試驗中,骰子“出現(xiàn)1點”,“出現(xiàn)2點”,…,“出現(xiàn)6點”,“點數(shù)不大于4”,“點數(shù)為偶數(shù)”等都為隨機事件.

實例

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).

可設A=“點數(shù)不大于4”,B=“點數(shù)為偶數(shù)”等.實例上述試驗中“點數(shù)不大于6”就是必然事件.必然事件

隨機試驗中必然會出現(xiàn)的結果.

樣本空間S稱為必然事件。不可能事件

隨機試驗中不可能出現(xiàn)的結果.

稱為不可能事件。實例上述試驗中“點數(shù)大于6”就是不可能事件.實例“出現(xiàn)1點”,“出現(xiàn)2點”,…,“出現(xiàn)6點”.基本事件

由一個樣本點組成的單點集.§1.2樣本空間、隨機事件

隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系

每一個隨機試驗相應地有一個樣本空間,樣本空間的子集就是隨機事件.隨機試驗樣本空間子集隨機事件§1.2樣本空間、隨機事件三、隨機事件間的關系及運算

1.包含關系若事件A出現(xiàn),必然導致B出現(xiàn),則稱事件B包含事件A,記作實例

“長度不合格”必然導致“產品不合格”所以“產品不合格”包含“長度不合格”.圖示

B包含

A.SBA§1.2樣本空間、隨機事件2.A等于B

若事件A包含事件B，而且事件B包含事件A，則稱事件A與事件B相等，記作A=B.3.事件

A與

B的并(和事件)實例

某種產品的合格與否是由該產品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產品不合格”是“長度不合格”與“直徑不合格”的并.圖示事件

A與

B的并.

SBA注：A∪B發(fā)生A、B中至少有一個發(fā)生?！?.2樣本空間、隨機事件4.事件

A與

B的交

(積事件)§1.2樣本空間、隨機事件注：AB發(fā)生A、B都發(fā)生。圖示事件A與B的積事件.SABAB實例某種產品的合格與否是由該產品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產品合格”是“長度合格”與“直徑合格”的交或積事件.§1.2樣本空間、隨機事件5.事件

A與

B互不相容(互斥)

若事件A的出現(xiàn)必然導致事件B不出現(xiàn),B出現(xiàn)也必然導致A不出現(xiàn),則稱事件A與B互不相容,即§1.2樣本空間、隨機事件SAB“骰子出現(xiàn)1點”“骰子出現(xiàn)2點”互斥實例拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).6.事件

A與

B的差

事件A-B={x|x∈A且x∈B}稱為事件A與B的差。即由事件A出現(xiàn)而事件B不出現(xiàn)的事件組成。注：A-B=A-AB.SABSAB實例“長度合格但直徑不合格”是“長度合格”與“直徑合格”的差.§1.2樣本空間、隨機事件／

設A表示“事件A出現(xiàn)”,則“事件A不出現(xiàn)”稱為事件A的對立事件或逆事件.記作實例

“骰子出現(xiàn)1點”“骰子不出現(xiàn)1點”圖示A與B的對立.SB若A與B互逆,則有A7.事件

A的對立事件對立注：§1.2樣本空間、隨機事件對立事件與互斥事件的區(qū)別SSABABA、B對立A、B互斥互斥對

立§1.2樣本空間、隨機事件事件間的運算規(guī)律§1.2樣本空間、隨機事件例1甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試將下列事件用A、B、C表示出來.(1)甲命中，乙、丙沒命中;(5)三人都沒命中;(2)甲、乙都命中，丙沒命中;(3)三人都命中;(4)三人中至少有一人命中;(6)最多一人命中;§1.2樣本空間、隨機事件(7)最多兩人命中;(8)三人中至少有兩人命中;(9)甲、乙兩人中至少有一人命中,丙沒命中;(10)三人中恰好有兩人命中.§1.2樣本空間、隨機事件(1)沒有一個是次品;(2)至多有三個正品;(3)只有一個是次品;§1.2樣本空間、隨機事件(5)恰好有三個是次品;(6)最多有一個是次品.(4)至少有三個不是次品;§1.2樣本空間、隨機事件四、小結隨機試驗樣本空間子集隨機事件1.隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系§1.2樣本空間、隨機事件2.概率論與集合論之間的對應關系記號概率論集合論樣本空間，必然事件空間不可能事件空集基本事件元素隨機事件子集A的對立事件A的補集A出現(xiàn)必然導致B出現(xiàn)A是B的子集事件A與事件B相等集合A與集合B相等§1.2樣本空間、隨機事件事件A與事件B的差A與B兩集合的差集事件A與B互不相容A與B兩集合中沒有相同的元素事件A與事件B的和集合A與集合B的并集

事件A與事件B的積事件集合A與集合B的交集§1.2樣本空間、隨機事件

研究隨機現(xiàn)象，不僅關心試驗中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！§1.3頻率與概率§1.3頻率與概率1.定義一、頻率的定義與性質2.性質設A是隨機試驗E的任一事件,則（3）若A1，A2,…,AK是互不相容事件，則§1.3頻率與概率§1.3頻率與概率試驗序號12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實例將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做

7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.波動最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性§1.3頻率與概率204810610.5181404020480.50691000049790.49791200060190.501624000120120.500580640396990.4923§1.3頻率與概率重要結論頻率當n較小時波動幅度比較大，當n逐漸增大時，頻率穩(wěn)定在某個確定的常數(shù)附近，這個常數(shù)從本質上反映了事件在試驗中出現(xiàn)可能性的大?。褪鞘录母怕剩?.3頻率與概率

1933年，蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結構，給出了概率的嚴格定義，使概率論有了迅速的發(fā)展.二、概率的定義與性質§1.3頻率與概率概率的可列可加性1.概率的定義§1.3頻率與概率2.性質概率的有限可加性§1.3頻率與概率證明§1.3頻率與概率（3’）（減法公式）對任意的兩個事件A,B

P(B-A)=P(B)-P(AB)（4）對任意事件A,

P(A)≤1.§1.3頻率與概率推廣三個事件和的情況n個事件和的情況§1.3頻率與概率解§1.3頻率與概率SABAB§1.3頻率與概率1.頻率(波動)概率(穩(wěn)定).2.概率的主要性質三、小結§1.4等可能概型（古典概型）§1.4等可能概型（古典概型）1.定義一、等可能概型(古典概型)如果試驗E滿足（1）有限性：試驗的樣本空間只包含有限個元素;（2）等可能性：試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同。那么稱試驗E為等可能概型.它在概率論發(fā)展初期曾是主要的研究對象，所以也稱為古典概型.§1.4等可能概型（古典概型）

設試驗E的樣本空間由n個樣本點構成，A為E的任意一個事件，且包含

m個樣本點，則事件A出現(xiàn)的概率記為:2.古典概型中事件概率的計算公式稱此為概率的古典定義.

§1.4等可能概型（古典概型）3.古典概型的基本模型:摸球模型(1)無放回地摸球問題1

設袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出3只球,求這3只球是2黑1紅的概率.解：基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個數(shù)為§1.4等可能概型（古典概型）(2)有放回地摸球問題2

設袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球的概率.解樣本空間總數(shù)為A所包含基本事件的個數(shù)為§1.4等可能概型（古典概型）4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量無限問題1

把

4個球放到

3個杯子中去,求第1、2個杯子中各有兩個球的概率,其中假設每個杯子可放任意多個球.

4個球放到3個杯子的所有放法設A={第1、2個杯子中各有兩個球}§1.4等可能概型（古典概型）§1.4等可能概型（古典概型）(2)每個杯子只能放一個球問題2

把4個球放到10個杯子中去,每個杯子只能放一個球,求第1至第4個杯子各放一個球的概率.解設A={第1至第4個杯子各放一個球}§1.4等可能概型（古典概型）解二、典型例題例1:§1.4等可能概型（古典概型）設A={取到的n件中恰有k件次品}解：例2:§1.4等可能概型（古典概型）例3

在1~2000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù),問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

設A={取到的數(shù)能被6整除},B={取到的數(shù)能被8整除}，則所求概率為解：§1.4等可能概型（古典概型）于是所求概率為§1.4等可能概型（古典概型）例4

某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的,問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的.

假設接待站的接待時間沒有規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777

故一周內接待12次來訪共有§1.4等可能概型（古典概型）實際推斷原理：概率很小的事件在一次試驗中實際上幾乎是不發(fā)生的。周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四進行的共有故12次接待都是在周二和周四進行的概率為從而可知接待時間是有規(guī)定的.§1.4等可能概型（古典概型）例5

假設每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64個人中至少有2人生日相同的概率.64個人生日各不相同的概率為故64個人中至少有2人生日相同的概率為解§1.5條件概率§1.5條件概率

將一枚硬幣拋擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反兩面的情況,設事件A為“至少有一次為正面”,事件B為“兩次擲出同一面”.現(xiàn)在來求已知事件A已經發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率.分析事件A已經發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率,記為1.引例一、條件概率§1.5條件概率同理可得為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.2.定義§1.5條件概率3.性質§1.5條件概率二、乘法定理§1.5條件概率例1

一盒子裝有4只產品,其中有3只一等品、1只二等品.從中取產品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.設事件A為“第一次取到的是一等品”、事件B為“第二次取到的是一等品”．試求條件概率P(B|A).解:由條件概率的公式得

顯然，這種方法較麻煩，一般我們用縮減樣本空間法，即在條件已發(fā)生的情形下考慮樣本空間再計算?！?.5條件概率在A已發(fā)生的情況下B發(fā)生的基本事件數(shù)在A已發(fā)生的情況下樣本空間的基本事件數(shù)§1.5條件概率縮減樣本空間法：§1.5條件概率摸球試驗

解例2§1.5條件概率此模型被波利亞用來作為描述傳染病的數(shù)學模型.§1.5條件概率例3

某種動物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物,問它能活到25歲以上的概率是多少?

設A表示“能活20歲以上”的事件，B表示“能活25歲以上”的事件,則有解§1.5條件概率例4

五個鬮,其中兩個鬮內寫著“有”字，三個鬮內不寫字，五人依次抓取,問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解則有抓鬮是否與次序有關?

§1.5條件概率依此類推故抓鬮與次序無關.例5

設某光學儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透鏡落下三次而未打破”.§1.5條件概率§1.5條件概率1.樣本空間的劃分三、全概率公式與貝葉斯公式§1.5條件概率2.全概率公式全