學(xué)習(xí)性問題專題講師版

學(xué)習(xí)性問題專題（浙江學(xué)生 授課日期教師 授長知識知識知識梳理1知識梳理.函數(shù)知識梳理.三角知識梳理.數(shù)列6平面向量與復(fù)數(shù)知識梳理.解析幾何知識梳理8.立體幾何.概率統(tǒng)計(jì)例題精x(xx※y=y(xy，若|m－1|※m=|m－1|，m【答案】m2#對應(yīng)知識梳理（a,bcdPf1,2,3,4123410。設(shè)uvxyPfuvx,y39和fu,yxv66，則有序數(shù)組uvx,y【答案】【解析】uxyv【解析】uxyv

ux9,yv3x7,yv15 #對應(yīng)知識梳理 #對應(yīng)知識梳理23532252 下列一組不等式：24542352 22

225222【答案】amnbmnambnanbma,b0abmn#對應(yīng)知識梳理 1(4x9【解析】設(shè)兩數(shù)為x、y，即4x＋9y=60，又 1(134x9y)11312)54x9y 4x＋9y=60，即x=6且y=4時(shí)成立，故應(yīng)分別有6、4#對應(yīng)知識梳理1 量為f(x)

11為W1=1×f（a）1a2又如果用a單位量的 1次，殘留

2a2

1

(a2

1(a2

2

1(a2

(4a2 a2(a2 1 (4a2 量較少；當(dāng)a=2時(shí)，W1=W2，此時(shí)，兩種 方式效果相同；當(dāng)a<2 時(shí)，把a(bǔ)單位量的水一次，殘留的量較少．#對應(yīng)知識梳理【題目】fx的定義D，若滿足：①fx在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在a,ba(ba,fx在ab上的值域?yàn)閍byfx是定義域?yàn)镈的“成功函數(shù)”。gxloga2xta0,a1是定義域?yàn)镽的“成功函數(shù)”，則的取值范圍為a

B.

C.0,1

D.0,1 4 4 4 4

#對應(yīng)知識梳理【題目】對函數(shù)f:0,10,1定義f1(x)f ,fn(x)f(fn1(x)),n1, .2x,0x11 f(x)xx0,1f的一個(gè)nf(x1 2

x f2 ，問f的n周期點(diǎn)的個(gè)數(shù) #對應(yīng)知識梳理y2x1，y x

，yxy2x1y

2yx

x2x

的交點(diǎn)坐標(biāo)為（00（1，1）y 2

5，1 525

1，0（0，－1）IIIbf(a)，afa＝byx若a<b且f(x)是增函數(shù)時(shí)，有f(b)f(a)，從而有b<a，；若b<a且f(x)f(a)f(ba<bfxf(b)f(aa<bfxfx的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，則交點(diǎn)一定在直線yx上；fxfx#對應(yīng)知識梳理 fxa2x1x3,x2,2,a為正常數(shù)2

ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號2若fx 在0,2上恒成立，且函數(shù)fx的最大值大于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并由此猜測yfx的單調(diào)性（無需證明）對滿足（2）a，設(shè)xx1時(shí)，fxDxx2,且x4k2kN上的gx，使x2,2時(shí)，gx當(dāng)xD時(shí)，gx取得最大值的自變量的值構(gòu)成以x1為首項(xiàng)的等差數(shù)列

f 【解析】（1）若a、b、cRabc 3

33（當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號（2）fxa2x1x321x20在0,2上恒成立，即a21x2在x ∵1x20,2，∴a22，即a 233 2 12 12

x2a2 x2a2 x2 2a2fxxa2x

2x

3x2a21x2x2

6639

3 63

f

26a31a39

2 22

a 62x

636

6 綜上，得a 6fx是奇函數(shù)x

3

6366 6 6故猜測：x2, a

a,2fx單調(diào)遞減；x

663a3af66

x4k2,4k2kN，x4k2,2，此gxgx4kfx4k，即gxa2x4k1x4k3x4k2,4k2kN2#對應(yīng)知識梳理y2x1，y

x

，yxy2x1與其反函數(shù)y 2 y 與其反函數(shù)yx21，(x0)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1 5

1515 0（（III證明：設(shè)點(diǎn)（a，b）fx的圖象與其反函數(shù)圖象的任一交點(diǎn)，由于原函數(shù)與且有bf(a)，af(b)a＝byx上若a<b且f(x)是增函數(shù)時(shí)，有f(b)f(a)，從而有b<a，；若b<a且f(x)f(a)f(byxfxfx的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，則交點(diǎn)不一定在直線y＝x上#對應(yīng)知識梳理b,a

數(shù)f(x)sinxcosx的值域 2【答案】 22#對應(yīng)知識梳理1 f(x) g(x) (a, (,【題目】定義：關(guān)于的兩個(gè)不等 和ba則稱這兩個(gè)不等式為對偶不等式．如果不等式x243xcos222x24xsin210為對偶不等式，且(0,)，則

與不等式 【答案】 #對應(yīng)知識梳理g(xTf(x是以T為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域?yàn)镽，設(shè)f(x)單調(diào)遞增，f(0)0,f(T)4.驗(yàn)證h(xxsinx是以63設(shè)ab，證明對任意cf(a),f(bx0[a,bf(x0cu0為方程cosf(x)在[0,T上的解”的充要條件是“u0+Tcosf(x)在[T2T上的解”，并證明x[0,T都有f(xTf(xf(T#對應(yīng)知識梳理【解析】(Ⅰ)11.221111.221124 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，∵am＋1＝amq，am＋2＝amq2．由題設(shè)，2am＋2＝am＋am＋1，即2amq2＝am＋amq，即2q2－q－1＝0，∴q＝1q＝2q＝1時(shí)，A≠0，∴SmSm＋2Sm＋1不成等差數(shù)列.#對應(yīng)知識梳理 的各數(shù)A口，從B口得到輸出的數(shù)列an，結(jié)果表明：①從A口輸入n1時(shí)，1B口得a ；②當(dāng)n2時(shí)，從A口輸入n，從B口得到的結(jié)果a是將前一結(jié)果 先 以自然數(shù)列n中的第n1個(gè)奇數(shù)，再除以自然數(shù)列an中的n1個(gè)奇數(shù)。A23時(shí)，從B1

【解析（1）a2a115 a3a237（2）先用累乖法得

(nN*)(2n1)(2n1) 得 (21001)(2100 #對應(yīng)知識梳理已知a,aRaa1，求證a2a21 f(x)xa1)2xaf(x)2x22(aa)xa2a22x22xa2a因?yàn)閷σ磺?/p>

48(a21 Rf(x≥0從而得a2a21

a) 若a1,a2anRa1a2an1【解析】（1）若a1a2anRa1a2an1，a2a2a21 (nx22(aaa)xa2a2 nx22xa2a2 xRf(x≥044n(a2a2a2 a2a2a21 #對應(yīng)知識梳理【題目】已知數(shù)列a1a2a30，其中a1a2a10是首項(xiàng)為1，公差為1a10a11a20是公差為da20a21a30是公差為d2的等差數(shù)列（d0（1）若a2040，求d試寫出a30關(guān)于d的關(guān)系式，并求a30續(xù)寫已知數(shù)列，使得a30a31a40是公差為d3的等差數(shù)列，……，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列.提出同（2）類似的問題（（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能 a201010d40,d（2）a30a2010d2101dd2(d0) 1 34a3010d 42當(dāng)d

0)(

a307.5,所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列an，其中a1a2a1011的等差數(shù)列，當(dāng)n1時(shí)，數(shù)列a10n,a10n1,a10n1是公差為dn的等差數(shù)列.a10n1關(guān)于d的關(guān)系式，并求a10n1的取值范圍 研究的結(jié)論可以是：由 10d3101dd2d3

1dn1 101 10d

d當(dāng)d0a10(n1的取值范圍為(10,等#對應(yīng)知識梳理設(shè)數(shù)列{an是公方差為p的等方差數(shù)列，求anan1(n2，nN的關(guān)系式若數(shù)列 既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明該數(shù)列為常數(shù)列設(shè)數(shù)列{an是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列，若將a1，a2，a3a10這種順 證法一：∵{an是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則anan1an1an又{aa2a2a2 ∴(anan1)(anan1)(an1an)(an1即d(a a)2d2 證法二：∵{an是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則anan1d1又{a是等方差數(shù)列，設(shè)公方差為p，則a2a2p2 12d22danp0……3 p0……4兩式相減得：即2d(a )2d20 d0，即{an是常數(shù)12由1、2得出：若d0，則{an是常數(shù) 若d0，則an2 ∴d0 {an}是常數(shù)

aa

∴an

2n2，或an2n2即該的第一個(gè)數(shù)確定的方法數(shù)是1，其余每個(gè)數(shù)都有“正”或“負(fù)”兩確定方法，當(dāng)每個(gè)數(shù)確定下來時(shí)，就確定了，即確定的方法數(shù)是29512種，故，這種共512種．#對應(yīng)知識梳理an，規(guī)定anananan1an(nN對自然數(shù) ，規(guī)定ka為an的 階差分?jǐn)?shù)列，其nk

k1an1

(k1an已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2n(nN，試判斷an，2a 若數(shù)列an首項(xiàng)a11，且滿足2an

an2n(nN，求數(shù)列an對（2）中數(shù)列a，是否存在等差數(shù)列b，使得bC1bC2bCn 1 2 n 對一切自然nN都成立？若存在，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；若不存在，則請說明理由【解（1）anan1ann12n1n2n2n2an是首2an2n122n2n2a是首2，公差為0的等差數(shù)列；也是首2，公比為1的等比n（2）2a a2n，即 a a2n， an

2n，∴an12ana11a24221a12322a32423，猜想： ann證明：?。┊?dāng)n1a11120；ⅱ）假設(shè)nkakk2k1nk1時(shí)，ak12ak∴由ⅰ、ⅱ）ann

k2k2kk12k11（3）bC1bC2bCna，即bC1bC2bCnn1 2 n 1 2 n∵1C12C23C3nCn C2Cn1n ∴存在等差數(shù)列b，bn，使得bC1bC2bCna nN#對應(yīng)知識梳理

1 2 n 【題目】對于任x，符號xx的整數(shù)部分x]是不超x的最大整數(shù)實(shí)數(shù)R（箭頭向右）x]是在x左側(cè)的第一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，當(dāng)x是整數(shù)時(shí)x]就x。這個(gè)函x]叫做“取整它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用。那么[log21]log22]log23]log24]log21024]=（#對應(yīng)知識梳理 項(xiàng)的數(shù)列1、a1、a2、a3、a4、…a99的“凱森和” #對應(yīng)知識梳理【題目】N={1,2,3,…,n}及其它的每一個(gè)非空子集，定義一個(gè)“交后繼的數(shù)。例如集合{1,2,4,6,99–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和5當(dāng)集Nn=2時(shí)N={12}的所有非空子集為{1}{2}，{1,2}，則它的“交替和”的總和S2=1+2+(2–1)=4，請你嘗試對n=3、n=4況，計(jì)算它的“交替和”的總和S3、S4，并根據(jù)其結(jié)果猜測集合N={1,2,n}的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和 【答案】n#對應(yīng)知識梳理nni(nN).記

n①若an2n1②若Tnn2(nN),則a n

n1,

1;n2,

(nn#對應(yīng)知識梳理【題目】已知兩個(gè)向量a(1log2x,log2x)，b(log2x, (x0)4

【解析】（1）由已知得log22x2log2xlog2x0或log2xx1x4（2）f(x)log22x(1t)log21 (1t) ②當(dāng)log2x 即x22時(shí)，f(x)取得最小值 （寫出值域?yàn)?可

③單調(diào)性：在(0,22]上遞減，[22,)上遞增；由對稱性，在 2,0)上遞增，

2

]#對應(yīng)知識梳理

badbc，若復(fù)數(shù)x2i，y 3xi，則y 3 1ix#對應(yīng)知識梳理 【題目】已知(1i)20101

i

3

i ikC2010（其中 (1)kC2k1 C2009 【答案】#對應(yīng)知識梳理長度相同）P的斜坐標(biāo)定義為：若OPxe1ye2（e1、e2分別為斜坐標(biāo)系的x軸、y軸正方向上的單位向量，x、y∈R）P的斜坐標(biāo)（xy）xoy中，若xoy60M(1,2到原點(diǎn)O的距離 #對應(yīng)知識梳理 x、yxy1b2x2

1 （1）方程 1 0表示的曲線經(jīng)過一點(diǎn)

2224

yb

23 11b0b23 y2

1b0

b2b2 y2

4 b2 x22y41

2y

y 4

4by4 2bb時(shí)，即b4時(shí)24

22ymax2bb2b2 b時(shí)，即0b4時(shí)4

2y

4 x2y

如再加條件xy0就可使x、y

221x，x #對應(yīng)知識梳理【題目】如圖：為保護(hù)河上古橋OABC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)，規(guī)4， 3.4BCkBC=－tan∠BCO=－33 4設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b)kBC=b04,kABb603.

a a 1504(x170)，即4x3y680(0d)OAM上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m,6803dd≥

3|d03 dr

即

680 解得10d (60d)≥ 680故當(dāng)d=10時(shí),r 5解法二:(1)如圖，延長OA,CBF.43

3

850,AFOFOA500 4 5==3徑，并設(shè)MD=rm，OM=dm(0≤d≤60).

680 ,所以r OF

3rd≥

6803dd≥ 解得10≤d (60d)≥ d=10時(shí)r6803d最大，即圓面積最大5#對應(yīng)知識梳理①△ABC周長為C1：y2②△ABC面積為C2①△ABC周長為C1：y2②△ABC面積為C2：x2y24(y③△ABC中x2y2 C3： 1( 則滿足條件①、②、③的軌跡方程分別 （用代號C1C2、C3填入【答案】#對應(yīng)知識梳理x y 。 。類似地，對于雙曲 x 類似地，對于雙曲 a b21KAMKBM#對應(yīng)知識梳理aaaaa aa SAABCD，E為AB中點(diǎn)，求二面角E-SC-D 63證明：SAABSAADAB、ADABCD內(nèi)的交線SAF則 FGADCD，CDSAD，CDSA=AD,F是中點(diǎn)，AFAFSCD,EGSCD,面SEC所以二面角E-SC-D90DHSC SECSCD,DH6DH之長即為點(diǎn)DSEC的距離，126在RtSCD中，DHSDDC 2aa 答：點(diǎn)DSEC的距離為63#對應(yīng)知識梳理為6的正方形，SD=PD＝6，CR=SC，AQ=AP，點(diǎn)S,使P，Q，R，S四點(diǎn)重合，則需要 幾何體，可以拼成一個(gè)棱長為12的正方體。#對應(yīng)知識梳理【題目】從裝有n1個(gè)球（n個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出m個(gè)球 CmC1Cm1C2Cm2 CkCmk 。(1kmnk 【答案】m個(gè)球，可分為：沒有黑球，一個(gè)黑球，……，k個(gè)黑球等k1類，故有Cm#對應(yīng)知識梳理【題目】一個(gè)三位數(shù)abc稱為“凹數(shù)如果該三位數(shù)同時(shí)滿足a＞b且b＜c，那么所有不 #對應(yīng)知識梳理 1【選項(xiàng)】8

B．

C．

8#對應(yīng)知識梳理2 5 3f(x)x2，f(x)x3，f(x)sinx，f(x)cosx，f(2 5 3的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．5

的分布列為下表。數(shù)學(xué)期望41234P1234P123314【解析】（1）f(xxf(xx3f(x)sinx C2 3C2 （2） C1 P(1) 3 P(2) 33 C1 C1C1 1C1 P(3) 323 P(4) 3213 C1C1 C1C1C1 12341234P12331 10123123341724#對應(yīng)知識梳理

4習(xí)題演過k(k∈N*)個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)f(x)為k階格點(diǎn)函數(shù)。下列函數(shù)：①f(x)=sinx；②f(x)=π(x－1)2+3；③f(x)(1)x3

④f(x)log06x 【題目】已知a,b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x3ax,g(x)x2 f(x)和g(x)f(xg(xf(x)g(x)0If(xg(x)在區(qū)間I上設(shè)a0f(xg(x)在區(qū)間[1,上單調(diào)性一致,求實(shí)數(shù)ba0,abf(xg(x在以ab|ab|3f(x)3x2a,g(x)2xf(x)g(x)0在[1,上恒成立，因?yàn)閍0，故3x2a0，進(jìn)而2xb0，即b2x在區(qū)間[1,)上恒成立，所以b2因此b的取值范圍是[2,3令f(x)0,解得x ,若b0,由a0得0(a,3f(0)g(0)ab0,f(xg(x在(ab上不是單調(diào)性一致的．因此b0,現(xiàn)設(shè)b0.當(dāng)x(,0)時(shí),g(x)0；當(dāng)x a)時(shí),f(x)3因此，當(dāng)x a)時(shí),f(x)g(x)3333故由題設(shè)得a 且b ,從而 a0,于是 b3 因此|ab

1且當(dāng)a3

1b0時(shí)等號成立3又當(dāng)a1b0時(shí),f(x)g(x)6x(x2 x1,0)時(shí),f(x)g(x)0,f(xg(x在(1,0)上單調(diào)性一致 因此|ab|13入正整數(shù)m,n時(shí)，輸出結(jié)果記為f(m,n)，且計(jì)算裝置運(yùn)算原理如下：Ⅰ輸入正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果為原來3倍。（1）f(m,1)的表達(dá)式(mN；（2）f(mn的表達(dá)式(mnN若Ⅰ、Ⅱ都輸入正整數(shù)nf(nn2005？若能，求出相應(yīng)的n；若不能，則請說明理由。【解析】（1）fm,13fm1,132fm2,13m1f1,1fm,nfm,n13fm,n232fm,13n13m13n（3）fn,n3n13n ，∵f7,736187472005f8,837212208f(nn輸出結(jié)果不可能為2005Pyxc25c6在0,cQ為PQ的不等式。（2）xx1x2x30答案不唯一合理即可【解析】（1）yxc25c60,上是增函數(shù)，∴c25c60，即P,2又不等式

x1x2c

對任意xR恒成立，∴

2c11，即Q,0∴PQ,01,23, （2）PQ的不等式可以是xx1x2x30【題目】已知二fxx2axaxR同時(shí)滿足：①不等fx0的解集有且只有一個(gè)元素；②在定義域內(nèi)存在0x1x2，使得不等式fx1fx2成立。設(shè)數(shù)列an的前nSnf求數(shù)列an的通項(xiàng)公式試構(gòu)造一個(gè)數(shù)列bn，（寫出bn的一個(gè)通項(xiàng)公式）滿足：對任意的正整數(shù)nbn

，且limn

n設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列cn中，所有滿足cici10的正整數(shù)ic的變號數(shù)。令c1a（n為正整數(shù)，求數(shù)列c的變號a an （2）

2【解析（1）fx0a24a0a0或a4a0fxx2在0,上遞增，故不存在0x1x2fx1fx2成立當(dāng)a4fxx24x4在0,2上遞減，故存在0x1x2fx1fx2成立n綜上，得a4fxx24x4Sn24n4n要使limn

2，可構(gòu)造數(shù)列

nk，∵對任意的正整數(shù)n都有

an∴當(dāng)n2時(shí)，nk2n5恒成立，即n5k恒成立，即5k2k3又bn0，∴kN*，∴bn 解法一：由題設(shè)

3,n 12n5,n ∵n3時(shí)，cn1cn

2n 2n 2n52ncn∵

10，由13

2n

0n5，可知a4

只有1個(gè)變號c13,c25,c33，即c1c20,c2c30，∴此處變號數(shù)有2綜上得數(shù)列cn共有3個(gè)變號數(shù)，即變號數(shù)為33,n解法二：由題設(shè)n

c 02n92n703n57n9n2或n4 2n52n c13,c25n1時(shí)也有c1c20。綜上得數(shù)列cn共有3個(gè)變號數(shù)，即變號數(shù)為3。當(dāng)ababa；當(dāng)ababb2則函數(shù)f(x)(1x)·x(2x)x2，2的最大值等于 “”和“－”仍為通常的乘法和減法【選項(xiàng)】A. B. C. D.【題目】在公差為d(d0)的等差數(shù)列an中，若Sn是an的前n項(xiàng)和，則數(shù)列S10