數(shù)值分析與計(jì)算方法 第二章 曲線擬合與平方逼近

本章內(nèi)容§3.1觀測(cè)數(shù)據(jù)的最小二乘擬合§3.2正交多項(xiàng)式§3.3最佳平方逼近

第3章曲線擬合與平方逼近問(wèn)題提出:插值思想給出了一類確定函數(shù)y=f(x)的近似函數(shù)方法，但該類方法具有一定的局限性：1)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)本身難以保證每個(gè)數(shù)據(jù)值都能有好的精確性，而當(dāng)其中有的數(shù)據(jù)存在誤差時(shí)，由于插值條件的要求，其誤差將完全被插值函數(shù)進(jìn)一步繼承。2)即使所有的觀測(cè)數(shù)據(jù)都較精確，為了插值差值多項(xiàng)式次數(shù)過(guò)高而產(chǎn)生Runge現(xiàn)象，必須進(jìn)行分段處理，而分段插值不具有較好的整體變化趨勢(shì)和光滑性。三次樣條插值函數(shù)雖有好的光滑性，可繁雜的表達(dá)式又在一定程度上限制了進(jìn)一步的分析應(yīng)用。因此,需要討論近似函數(shù)的另一類方法—逼近1.擬合:尋找函數(shù)P(x),使其曲線不必經(jīng)過(guò)已有實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，但盡可能接近每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。P(x)稱為擬合函數(shù)2.偏差:稱i=P(xi)-yi為xi處的偏差(偏離大小).注：不要求i

=0，i=0,1,2,…N，但希望i盡可能小.

考慮盡可能小.或盡可能小，i

>0為權(quán)系數(shù)，其大小反映該數(shù)據(jù)的重要程度，通常取其為12.1最小二乘擬合2.1.1最小二乘法的基本概念設(shè)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：(xi,，yi),i=0,1,2,…,N.§7數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法3.最小二乘法<考慮P的結(jié)構(gòu)可以是多項(xiàng)式，三角函數(shù)或其他>.

在函數(shù)類=Span{0(x),0(x),…,n(x)}中求函數(shù)

使

求函數(shù)P*(x)的方法稱為數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法，簡(jiǎn)稱最小二乘法，并稱P*(x)為最小二乘解。

為最小二乘擬合多項(xiàng)式。4.問(wèn)題：如何求P*——解方程組。2.1.2正規(guī)方程組—求P*1.問(wèn)題：設(shè)記求最小二乘解，即求的極小值點(diǎn)(a0*,a1*,…,an*)2.方法：求

的極小值點(diǎn)(a0*,a1*,…,an*)取極值的必要條件

稱(2.7)為正規(guī)方程組（或法方程）(2.7)定理2.1正規(guī)方程組（2.7）有唯一解。證明用反證法。定理2.2設(shè)為正規(guī)方程組（2.7）的解，則為最小二乘多項(xiàng)式。證明略常用的一次和二次最小二乘法一次最小二乘多項(xiàng)式P*(x)=a0+a1x

，此時(shí)n=1，其正規(guī)方程組為二次最小二乘多項(xiàng)式P*(x)=a0+a1x+a2x2

，此時(shí)n=2，其正規(guī)方程組為例2.1對(duì)于數(shù)據(jù)表已知其經(jīng)驗(yàn)公式為y=a+bx,試用最小二乘法確定待定參數(shù)a,b。

xi12345f(xi)44.5688.521311解:n=1，N=5，a,b應(yīng)該滿足正規(guī)方程組將所得計(jì)算值代入得解得

a=2.5648,b=1.2037若經(jīng)驗(yàn)公式為y=a+bx2,則a,b

應(yīng)滿足的正規(guī)方程組為同理得解得

a=3.9795,b=0.20497例2已知求x與y的經(jīng)驗(yàn)公式。<一般步驟：①做草圖，選型②建立法方程組③求解>解：①描點(diǎn)，圖形近似直線選用一次多項(xiàng)式作擬合函數(shù)。即取0=1，1=x§7數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法②n=1,

m=6,i1.

由

法方程組為得③解方程組得a0=0.843，a1=4.57，從而P1(x)=0.843+4.57x利用正規(guī)方程組（2.7）求解擬合曲線時(shí)，當(dāng)n較大時(shí)()問(wèn)題正規(guī)方程組往往是病態(tài)的（有關(guān)概念見第六章6.7節(jié)），因而給求解工作帶來(lái)了困難改善正規(guī)方程組性態(tài)的方法：解決方法直接解最小問(wèn)題（2.5）的正交三角化方法等如用正交多項(xiàng)式作基函數(shù)的最小二乘擬合、樣條最小二乘擬合等因此下面介紹正交多項(xiàng)式的概念在[-1,1]上帶權(quán)(x)

的正交多項(xiàng)式稱為切比雪夫多項(xiàng)式2.2.1切比雪夫（Chebyshev）多項(xiàng)式1.定義和性質(zhì)x[-1,1]，n=0,1,2,…

切比雪夫多項(xiàng)式的表達(dá)式2.2正交多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)：(1)正交性：

(3)遞推公式：其中

T0(x)=1,T1(x)=x，n=1,2,…

(2)奇偶性：cos(n+1)

+

cos(n-1)

=2coscosnx=cosn為偶數(shù)時(shí)是偶函數(shù)性，n為奇數(shù)時(shí)為奇函數(shù)(4)Tn(x)在[-1,1]上有n

個(gè)不同的實(shí)零點(diǎn):(k=1,2,…,n)(5)Tn(x)

在[-1,1]上有n+1個(gè)極值點(diǎn):(k=0,1,…,n)(6)Tn(x)是n次多項(xiàng)式，其首項(xiàng)系數(shù)為

2n-1(7)在[-1,1]上所有首項(xiàng)系數(shù)為1的一切多項(xiàng)式中與0偏差最小的多項(xiàng)式是且偏差為即在上述極值點(diǎn)處輪流取最大值1和最小值-12插值余項(xiàng)的近似極小化

(1)以n次chebyshev多項(xiàng)式的n個(gè)零點(diǎn)

作為插值節(jié)點(diǎn)，由Lagrange插值方法可得一個(gè)n-1次的插值多項(xiàng)式，其余項(xiàng)為由chebyshev多項(xiàng)式的性質(zhì)2.7知，在區(qū)間[-1，1]上，是與零偏差最小的首項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式（2.14）

(2)若插值區(qū)間是[a,b]，不是[-1,1]，則做變換：

t在區(qū)間[-1,1]上變化，于是它的最高項(xiàng)系數(shù)為，則此時(shí)只要選插值節(jié)點(diǎn)為相應(yīng)地

這時(shí)（2.15）

(2.16)3.Taylor級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的節(jié)約

函數(shù)

f(x)的Taylor展開容易計(jì)算，因此它的部分和常常被用于

f(x)的近似，且此時(shí)誤差界容易給出。

設(shè)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的Taylor展開式的

n項(xiàng)部分和若有

chebyshev多項(xiàng)式可以表示成不超過(guò)k次的x的冪函數(shù)的線性組合，反過(guò)來(lái)，x的冪函數(shù)可以表示成chebyshev多項(xiàng)式的組合如下：(2.17)

因此可以利用chebyshev多項(xiàng)式將P(x)重新組合以降低近似多項(xiàng)式的次數(shù)，此時(shí)如果

而可以把(2.18)式后

m項(xiàng)去掉，得到新的n-m次近似多項(xiàng)式（2.18）使誤差

例求在上的近似多項(xiàng)式，要求偏差小于解將在處Taylor展開，由于故應(yīng)取n=6，滿足偏差要求的、以Taylor級(jí)數(shù)的部分和所作的近似多項(xiàng)式為

其誤差

又由于

則

用做的近似多項(xiàng)式，其誤差例求在上的近似多項(xiàng)式，要求偏差小于解若用chebyshev多項(xiàng)式的零點(diǎn)作插值多項(xiàng)式來(lái)逼近f(x)故也應(yīng)取n=5.

若用chebyshev多項(xiàng)式的零點(diǎn)作插值多項(xiàng)式來(lái)逼近f(x)由(2.14)式，誤差為故也應(yīng)取n=5，即用T5(x)的5個(gè)零點(diǎn)做一個(gè)4次插值多項(xiàng)式L4(x)才能使誤差滿足要求

2.2.2一般正交多項(xiàng)式

對(duì)首項(xiàng)系數(shù)的n次多項(xiàng)式序列

如果滿足則稱多項(xiàng)式序列在區(qū)間[a,b]上帶權(quán)正交。

表2-2常用的正交多項(xiàng)式

它們與Chebyshev正交多項(xiàng)式類似，有遞推關(guān)系式，正交性等

2.3最佳平方逼近

定義設(shè)，，積分

稱為函數(shù)與在區(qū)間[a,b]上的內(nèi)積

性質(zhì)C為常數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f為0時(shí)等式成立(2.21)

定義設(shè)，，…,在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，若

僅當(dāng)成立，則，，…,在區(qū)間上線性無(wú)關(guān)。否則

為線性相關(guān)。性質(zhì)：正交函數(shù)系是線性無(wú)關(guān)的設(shè)函數(shù)關(guān)系式有如下線性關(guān)系

分別用乘之，并積分得

（2.22）

系數(shù)矩陣的行列式為

記為函數(shù)系的Gramer行列式

定理2.3函數(shù)在區(qū)間[a,b]上線性相關(guān)的充分必要條件：

線性無(wú)關(guān)的充分必要條件：2.3.2最佳平方逼近

定義對(duì)找到一個(gè)函數(shù)使最小，即

式中

是確定的線性無(wú)關(guān)的函數(shù)系。(2.23)根據(jù)多元函數(shù)極值原理，方程的解必須滿足

于是有正規(guī)方程

（2.24）定理2.4

正規(guī)方程組（2.24）有唯一解。

定理2.5

設(shè)

是正規(guī)方程組（2.24)的解，則是式（2.23）的解。

例2.3

設(shè)求使最小。

解設(shè)

即取

則，a,b,c應(yīng)滿足正規(guī)方程組

于是

解之得

所以

平方誤差在實(shí)際問(wèn)題中正規(guī)方程組（2.24）的階數(shù)較高時(shí)，其系數(shù)矩