高中數(shù)學(xué)人教A版第四章圓和方程第4章3

直線與圓的方程的應(yīng)用【課時(shí)目標(biāo)】1．正確理解直線與圓的概念并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．2．能利用直線與圓的位置關(guān)系解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．3．體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．用坐標(biāo)方法解決平面幾何問題的“三步曲”：一、選擇題1．實(shí)數(shù)x，y滿足方程x＋y－4＝0，則x2＋y2的最小值為()A．4B．6C．82．若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則點(diǎn)P(a，b)的位置是()A．在圓上B．在圓外C．在圓內(nèi)D．都有可能3．如果實(shí)數(shù)滿足(x＋2)2＋y2＝3，則eq\f(y,x)的最大值為()A．eq\r(3)B．－eq\r(3)C．eq\f(\r(3),3)D．－eq\f(\r(3),3)4．一輛卡車寬2．7米，要經(jīng)過一個(gè)半徑為4．5米的半圓形隧道(雙車道，不得違章)，則這輛卡車的平頂車篷篷頂距離地面的高度不得超過(A．1．4米B．3．C．3．6米D．4．5．已知兩點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點(diǎn)，則△ABC面積的最小值是()A．3－eq\r(2)B．3＋eq\r(2)C．3－eq\f(\r(2),2)D．eq\f(3－\r(2),2)6．已知集合M＝{(x，y)|y＝eq\r(9－x2)，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A．[－3eq\r(2)，3eq\r(2)]B．[－3,3]C．(－3,3eq\r(2)]D．[－3eq\r(2)，3)二、填空題7．由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為________．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2＋y2＝4上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________．9．如圖所示，A，B是直線l上的兩點(diǎn)，且AB＝2．兩個(gè)半徑相等的動(dòng)圓分別與l相切于A，B點(diǎn)，C是兩個(gè)圓的公共點(diǎn)，則圓弧AC，CB與線段AB圍成圖形面積S的取值范圍是________．三、解答題10．如圖所示，圓O1和圓O2的半徑都等于1，O1O2＝4．過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN(M、N為切點(diǎn))，使得|PM|＝eq\r(2)|PN|．試建立平面直角坐標(biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．11．自點(diǎn)A(－3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光線l所在直線的方程．能力提升12．已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率為1的直線l，使得l被C截得的弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)．若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．13．一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑為30km的圓形區(qū)域，已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40km1．利用坐標(biāo)法解決平面幾何問題，是將幾何中“形”的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中“數(shù)”的問題，應(yīng)用的是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法：轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，事實(shí)上，數(shù)學(xué)中一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸．所謂轉(zhuǎn)化與化歸思想是指把待解決的問題(或未解決的問題)轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已有知識(shí)范圍內(nèi)可解決的問題的一種數(shù)學(xué)意識(shí)．2．利用直線與圓的方程解決最值問題的關(guān)鍵是由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義，然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關(guān)知識(shí)并結(jié)合圖形的直觀性來分析解決問題．4．2．3直線與圓的方程的應(yīng)用答案知識(shí)梳理作業(yè)設(shè)計(jì)1．C[令t＝x2＋y2，則t表示直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，當(dāng)過原點(diǎn)的直線與l：x＋y－4＝0垂直時(shí)，可得最小距離為2eq\r(2)，則tmin＝8．]2．B[由題意eq\f(1,\r(a2＋b2))<1?a2＋b2>1，故P在圓外．]3．A[令t＝eq\f(y,x)，則t表示圓(x＋2)2＋y2＝3上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，如圖所示，此時(shí)k＝eq\f(CD,OD)＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，相切時(shí)斜率最大．]4．C[可畫示意圖，如圖所示，通過勾股定理解得：OD＝eq\r(OC2－CD2)＝3．6(米)．]5．A[lAB：x－y＋2＝0，圓心(1,0)到l的距離d＝eq\f(|3|,\r(2))＝eq\f(3,\r(2))，∴AB邊上的高的最小值為eq\f(3,\r(2))－1．∴Smin＝eq\f(1,2)×(2eq\r(2))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(2))－1))＝3－eq\r(2)．]6．C[M∩N≠?，說明直線y＝x＋b與半圓x2＋y2＝9(y>0)相交，畫圖探索可知－3<b≤3eq\r(2)，解決本題的關(guān)鍵是注意到y(tǒng)＝eq\r(9－x2)?x2＋y2＝9(y>0)的圖形是半圓．]7．eq\r(7)解析設(shè)P(x0，y0)為直線y＝x＋1上一點(diǎn)，圓心C(3,0)到P點(diǎn)的距離為d，切線長(zhǎng)為l，則l＝eq\r(d2－1)，當(dāng)d最小時(shí)l最小，當(dāng)PC垂直直線y＝x＋1時(shí)，d最小，此時(shí)d＝2eq\r(2)，∴l(xiāng)min＝eq\r(2\r(2)2－1)＝eq\r(7)．8．(－13,13)解析由題設(shè)得，若圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則需圓心(0,0)到直線的距離d滿足0≤d<1．∵d＝eq\f(|c|,\r(122＋52))＝eq\f(|c|,13)，∴0≤|c|<13，即c∈(－13,13)．9．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2－\f(π,2)))解析如圖所示，由題意知，當(dāng)兩動(dòng)圓外切時(shí)，圍成圖形面積S取得最大值，此時(shí)ABO2O1為矩形，且Smax＝2×1－eq\f(1,2)·eq\f(π,2)·12×2＝2－eq\f(π,2)．10．解以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則O1(－2,0)，O2(2,0)．由已知|PM|＝eq\r(2)|PN|，∴|PM|2＝2|PN|2．又∵兩圓的半徑均為1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)，設(shè)P(x，y)，則(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33．∴所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x－6)2＋y2＝33．11．解如圖所示，已知圓C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0關(guān)于x軸對(duì)稱的圓為C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圓心C1的坐標(biāo)為(2，－2)，半徑為1，由光的反射定律知，入射光線所在直線方程與圓C1相切．設(shè)l的方程為y－3＝k(x＋3)，則eq\f(|5k＋5|,\r(12＋k2))＝1，即12k2＋25k＋12＝0．∴k1＝－eq\f(4,3)，k2＝－eq\f(3,4)．則l的方程為4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0．12．解假設(shè)存在，設(shè)直線方程為y＝x＋b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b,x2＋y2－2x＋4y－4＝0))?2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0．∴－3－3eq\r(2)<b<－3＋3eq\r(2)．而x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝eq\f(b2＋4b－4,2)，由y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝eq\f(b2＋2b－4,2)，∵AB為直徑，eq\f(y2,x2)·eq\f(y1,x1)＝－1，即y1y2＋x1x2＝0，∴eq\f(b2＋4b－4,2)＋eq\f(b2＋2b－4,2)＝0即b2＋3b－4＝0，∴b＝1或b＝－4．∴直線l的方程為y＝x＋1或y＝x－4．13．解以臺(tái)風(fēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以東西方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示)，其中取10km為單位長(zhǎng)度，則受臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓的方程為x2＋y2＝港口所對(duì)應(yīng)