高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明 全國優(yōu)質(zhì)課

第二章2.2.一、選擇題(每小題5分，共20分)1．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個不小于60°”時，反設(shè)正確的是()A．假設(shè)三個內(nèi)角都小于60°B．假設(shè)三個內(nèi)角都大于60°C．假設(shè)三個內(nèi)角至多有一個大于60°D．假設(shè)三個內(nèi)角至多有兩個大于60°解析：“至少有一個”的反設(shè)詞是“一個也沒有”，故選A.答案：A2．否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設(shè)為()A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù)D．a(chǎn)，b，c中或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)解析：恰有一個偶數(shù)的否定有兩種情況，其一是無偶數(shù)(全為奇數(shù))，其二是至少有兩個偶數(shù)，故選D.答案：D3．下列四個命題中錯誤的是()A．在△ABC中，若∠A＝90°，則∠B一定是銳角B．eq\r(17)，eq\r(13)，eq\r(11)不可能成等差數(shù)列C．在△ABC中，若a>b>c，則∠C>60°D．若n為整數(shù)且n2為偶數(shù)，則n是偶數(shù)解析：顯然A、B、D命題均真，C項中若a>b>c，則∠A>∠B>∠C，若∠C>60°，則∠A>60°，∠B>60°，∴∠A＋∠B＋∠C>180°與∠A＋∠B＋∠C＝180°矛盾，故選C.答案：C4．有以下結(jié)論：①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時，可假設(shè)p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小于1，用反證法證明時可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.下列說法中正確的是()A．①與②的假設(shè)都錯誤 B．①與②的假設(shè)都正確C．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯誤 D．①的假設(shè)錯誤；②的假設(shè)正確解析：用反證法證題時一定要將對立面找全．在①中應(yīng)假設(shè)p＋q>2.故①的假設(shè)是錯誤的，而②的假設(shè)是正確的，故選D.答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．命題“在△ABC中，若A>B，則a>b”的否定是________．解析：命題的結(jié)論為a>b，其否定為a<b或a＝b.答案：a≤b6．與兩條異面直線AB，CD都相交的兩條直線AC，BD的位置關(guān)系是________．解析：假設(shè)AC與BD相交或平行，則AC與BD共面，∴AB與CD共面，這與AB與CD是異面直線相矛盾．∴假設(shè)錯誤，∴AC，BD異面．答案：異面三、解答題(每小題10分，共20分)7．已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．證明：假設(shè)eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，則eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，∴a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)，∴(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0.即eq\r(a)＝eq\r(c)，從而a＝b＝c，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．8．求證方程2x＝3有且僅有一個實根．證明：∵2x＝3，∴x＝log23，這說明方程有一個實根．下面用反證法證明根的唯一性．假設(shè)方程2x＝3有兩個實根b1，b2(b1≠b2)，則2b1＝3,2b2＝3，兩式相除得2b1－b2＝1，如果b1－b2＞0，則2b1－b2＞1，這與2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b2＜0，則2b1－b2＜1，這與2b1－b2＝1相矛盾．因此b1－b2＝0，則b1＝b2，這與b1≠b2相矛盾．如果方程的根多于兩個，同樣可推出矛盾．故方程2x＝3有且只有一個實根．eq\x(尖子生題庫) ☆☆☆(10分)已知方程x2－4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，求實數(shù)a解析：設(shè)三個方程都沒有實根，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2－4－4a＋3<0，,a－12－4a2<0，,2a2－4－2a<0，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2＋4a－3<0，,3a2＋2a－1>0，,a2＋2a<0，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<a<\f(1,2)，,a<－1或a>\f(1,3)，,－2<a<0，))∴－eq\f(3,2)<a<－1.∴當(dāng)三個