高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)一輪復(fù)習(xí) 第一節(jié) 空間幾何體及其表面積體積

課時(shí)作業(yè)(三十八)空間幾何體及其表面積、體積1．(多選)(2023·上海大學(xué)附中月考)下列命題是假命題的是()A．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的四棱柱是直四棱柱B．正四面體是特殊的正四棱柱C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體叫做棱錐D．正四棱柱是平行六面體ABC[A項(xiàng)，當(dāng)兩個(gè)側(cè)面是矩形且相鄰時(shí)，四棱柱是直四棱柱，當(dāng)兩個(gè)側(cè)面是矩形且不相鄰時(shí)，四棱柱不一定是直四棱柱，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，正四面體是三棱錐，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)，棱錐是有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，正四棱柱是平行六面體，故D項(xiàng)正確．故選ABC.]2．將一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括()A．一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐 B．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱C．兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái) D．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐D[從較短的底邊的端點(diǎn)向另一底邊作垂直，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個(gè)直角三角形，一個(gè)矩形，所以一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個(gè)圓柱，兩個(gè)圓錐所組成的幾何體如圖所示．]3．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(3)，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A-B1DC1的體積為()A．3 B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(\r(3),2)C[由題意可知AD⊥BC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面DB1C1，又AD＝2·sin60°＝eq\r(3)，所以Veq\a\vs4\al(A-B1DC1)＝eq\f(1,3)AD·Seq\a\vs4\al(△B1DC1)＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝1，故選C.]4．(2023·全國(guó)卷Ⅱ)已知△ABC是面積為eq\f(9\r(3),4)的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為()A．eq\r(3) B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(\r(3),2)C[設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，因?yàn)槠涿娣e為eq\f(9\r(3),4)，所以eq\f(1,2)a·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(9\r(3),4)，解得a＝3，則外接圓半徑r＝eq\f(2,3)·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a＝eq\r(3).設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉的表面積為16π，所以4πR2＝16π，得R2＝4.所以O(shè)到平面ABC的距離d＝eq\r(R2－r2)＝1，故選C.]5．(多選)已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N，若線段M，N的最小值為eq\r(3)－1，則()A．正方體的外接球的表面積為12πB．正方體的內(nèi)切球的體積為eq\f(4π,3)C．正方體的棱長(zhǎng)為2D．線段MN的最大值為2eq\r(3)ABC[設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體的外接球的半徑為對(duì)角線的一半，即R＝eq\f(\r(3),2)a，內(nèi)切球?yàn)槔忾L(zhǎng)的一半，即r＝eq\f(a,2)，由于M和N為外接球和內(nèi)切球上的動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于C：所以MNmin＝eq\f(\r(3),2)a－eq\f(a,2)＝eq\r(3)－1，解得a＝2.故C正確；對(duì)于A：所以外接球的表面積為S＝4·π·(eq\r(3))2＝12π，故A正確；對(duì)于B：內(nèi)切球的體積為V＝eq\f(4,3)·π·13＝eq\f(4π,3)，故B正確；對(duì)于D：線段MN的最大值為eq\f(\r(3),2)a＋eq\f(a,2)＝eq\r(3)＋1，故D錯(cuò)誤．故選ABC.]6．有一個(gè)長(zhǎng)為5cm，寬為4cm的矩形，則其直觀圖的面積為_(kāi)_______．解析：由于該矩形的面積S＝5×4＝20(cm2)，所以其直觀圖的面積S′＝eq\f(\r(2),4)S＝5eq\r(2)(cm2).答案：5eq\r(2)cm27．給出下列說(shuō)法：①球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心的連線段；②球的直徑是球面上任意兩點(diǎn)的連線段；③用一個(gè)平面截一個(gè)球面，得到的是一個(gè)圓；④球常用表示球心的字母表示其中正確的是________；錯(cuò)誤的是________．解析：根據(jù)球的定義直接判斷①正確；②錯(cuò)誤；③用一個(gè)平面截一個(gè)球面，得到的是一個(gè)圓；可以是小圓，也可能是大圓，正確；④球常用表示球心的字母表示．滿(mǎn)足球的定義正確．答案：①③④；②8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，已知四棱錐的表面積是12，則它的體積為_(kāi)_______．解析：由題意可知四棱錐P-ABCD為正四棱錐，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，連接PO，則PO是四棱錐的高．設(shè)正四棱錐的斜高為h′，則2×2＋4×eq\f(1,2)×2h′＝12，解得h′＝2，則正四棱錐的高PO＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).∴正四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×4×eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3).答案：eq\f(4\r(3),3)9．如圖所示，在側(cè)棱長(zhǎng)為2eq\r(3)的正三棱錐V-ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，過(guò)A作截面AEF，求△AEF周長(zhǎng)的最小值．解析：如圖，將三棱錐沿側(cè)棱VA剪開(kāi)，并將其側(cè)面展開(kāi)平鋪在一個(gè)平面上，則線段AA1的長(zhǎng)即為所求△AEF的周長(zhǎng)的最小值．取AA1的中點(diǎn)D，連接VD，則VD⊥AA1，∠AVD＝60°.在Rt△VAD中，AD＝VA·sin60°＝3，所以AA1＝2AD＝6，即△AEF周長(zhǎng)的最小值為6.10.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝2m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？解析：由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8m.因?yàn)锳1B1＝AB＝6m，所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以倉(cāng)庫(kù)的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3).故倉(cāng)庫(kù)的容積是312m3.11．(多選)如圖，圓錐頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，過(guò)軸PO的截面PAB，C為PA中點(diǎn)，PA＝4eq\r(3)，PO＝6，下列正確的是()A．截面PAB的面積為12eq\r(3)B．圓錐的體積為36πC．圓錐的表面積為12πD．從點(diǎn)C經(jīng)圓錐側(cè)面到點(diǎn)B的最短距離為2eq\r(15)ACD[由已知的AO＝eq\r(（4\r(3)）2－62)＝2eq\r(3)，截面PAB的面積為eq\f(1,2)×4eq\r(3)×6＝12eq\r(3)；圓錐的體積為eq\f(1,3)π(2eq\r(3))2×6＝24π；圓錐的表面積為π×(2eq\r(3))2＋π×2eq\r(3)×4eq\r(3)＝36π；沿圓錐母線PA剪開(kāi)再展開(kāi)，則圓錐底面周長(zhǎng)為4eq\r(3)π，展開(kāi)后所得扇形為半圓，B到B′處，則從點(diǎn)C經(jīng)圓錐側(cè)面到點(diǎn)B的最短距離為eq\r(（2\r(3)）2＋（4\r(3)）2)＝2eq\r(15).故選ACD.]12．(2023·福建省質(zhì)量檢測(cè))某學(xué)生到工廠實(shí)踐，欲將一個(gè)底面半徑為2，高為3的實(shí)心圓錐體工件切割成一個(gè)圓柱體，并使圓柱體的一個(gè)底面落在圓錐體的底面內(nèi)．若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大體積是()A．eq\f(16π,9) B．eq\f(8π,9)C．eq\f(16π,27) D．eq\f(8π,27)A[如圖，OC＝2，OA＝3，由△AED∽△AOC可得eq\f(ED,OC)＝eq\f(AE,AO).設(shè)圓柱體的底面半徑r＝ED＝2x(0<x<1)，可得AE＝3x，則圓柱體的高h(yuǎn)＝OE＝3－3x，圓柱體的體積V＝π(2x)2(3－3x)＝12π(x2－x3)，令V(x)＝12π(x2－x3)，則V′(x)＝12π(2x－3x2)，令V′(x)＝0，解得x＝eq\f(2,3)或x＝0(舍去)，可得V(x)在(0，eq\f(2,3))上單調(diào)遞增，在(eq\f(2,3)，1)上單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝eq\f(2,3)時(shí)，V(x)取得最大值，V(x)max＝eq\f(16π,9)，即圓柱體的最大體積是eq\f(16π,9).]13．如圖所示，從三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P沿著三條側(cè)棱PA，PB，PC剪開(kāi)成平面圖形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.(1)在三棱錐P-ABC中，求證：PA⊥BC；(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱錐P-ABC的體積．解析：(1)證明：由題設(shè)知A，B，C分別是P1P3，P1P2，P2P3的中點(diǎn)，且P2P1＝P2P3，從而PB＝PC，AB＝AC，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD(圖略)，則AD⊥BC，PD⊥BC，又AD∩PD＝D，∴BC⊥平面PAD.又PA?平面PAD，故PA⊥BC.(2)由題設(shè)有AB＝AC＝eq\f(1,2)P1P2＝13，PA＝P1A＝BC＝10，PB＝PC＝P1B＝13，∴AD＝PD＝eq\r(AB2－BD2)＝12，在等腰三角形DPA中，底邊PA上的高h(yuǎn)＝eq\r(AD2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PA))\s\up12(2))＝eq\r(119)，∴S△DPA＝eq\f(1,2)PA·h＝5eq\r(119).又BC⊥平面PAD，∴VP－ABC＝VB-PDA＋VC-PDA＝eq\f(1,3)BD·S△DPA＋eq\f(1,3)DC·S△PDA＝eq\f(1,3)BC·S△PDA＝eq\f(1,3)×10×5eq\r(119)＝eq\f(50,3)eq\r(119).14．(創(chuàng)新型)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在線段BB1和線段A1B1上移動(dòng)，∠EAB＝θ，θ∈(0，eq\f(π,2))，過(guò)直線AE，AD的平面ADFE將正方體分成兩部分．記棱BC所在部分的體積為V(θ)，則函數(shù)V＝V(θ)，θ∈(0，eq\f(π,2))的大致圖象是()C[當(dāng)θ∈(0，eq\f(π,4))時(shí)，BE＝tanθ，則棱BC所在部分的體積V(θ)＝eq\f(1,2)tanθ，所以當(dāng)θ∈(0，eq\f(π,4))時(shí)，函數(shù)V(θ)的圖象與三角函數(shù)y＝tanθ的圖象相似，因此排除A，B；當(dāng)θ∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))時(shí)，A1E＝tan(eq\f(π,2)－θ)，則棱BC所在部分的體積V(θ)＝1－eq\f(1,2)tan(eq\f(π,2)－θ)，則函數(shù)V＝V(θ)，θ∈(0，eq\f(π,2))的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(π,4)，eq\f(1,2))對(duì)稱(chēng)，因此排除D.故選C.]15．中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽《九章算術(shù)注》中記述：羨除，隧道也，其形體上面平而下面斜，一面與地面垂直，并用“分割法”加以剖分求其體積．如圖所示的五面體ABCDEF是一個(gè)羨除，兩個(gè)梯形側(cè)面ABCD與CDEF相互垂直，AB∥CD∥EF.若AB＝1，EF＝2，CD＝3，梯形ABCD與CDEF的高分別為h1＝3和h2＝1，則該羨除的體積V＝________；由此歸納出求羨除體積的一般公式為V＝________．解析：在平面ABCD內(nèi)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作CD的垂線，垂足分別為G，H，在平面CDEF內(nèi)，過(guò)G，H兩點(diǎn)分別作EF的垂線，垂足分別為M，N.由平面ABCD與平面CDEF垂直知，AG⊥MG，BH⊥HN，又AB∥CD∥EF，所以易證平面AGM∥平面BHN，且GH⊥平面AGM，所以幾何體AGM-BHN為直棱柱．將羨除ABCDEF分割成兩個(gè)四棱錐ADEMG，B-HNFC和一個(gè)直棱柱AGM-BHN.所以所求幾何體體積VABCDEF＝V直棱柱AGM-BHN＋V四棱錐A-DEMG＋V四棱錐B-HNFG＝S△AGM·GH＋eq\f(1,3)S四邊形DEMG·AG＋eq\f(1,3)S四邊形HNFC·BH＝eq\f(1,2)AG·GM·GH＋eq\f(1,3)(eq\f(DG＋EM,2)·GM·AG＋eq\f(HC＋NF,2)·HN·BH)＝eq\f(1,2)