高中數學人教A版第一章集合與函數概念 第一章質量評估檢測

第一章質量評估檢測時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一個元素，則a＝()A．4B．2C．0D．0或4解析：當a＝0時，方程化為1＝0，無解，集合A為空集，不符合題意；當a≠0時，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.答案：A2．已知集合A，B均為全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，則A∩?UB＝()A．{3}B．{4}C．{3,4}D．?解析：∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}．又?UB＝{3,4}，∴A∩?UB＝{3}．答案：A\a\vs4\al(2023·衡水高一檢測)下列各組中的兩個函數是同一函數的為()(1)y＝eq\f(x＋3x－5,x＋3)，y＝x－5.(2)y＝eq\r(x＋1)eq\r(x－1)，y＝eq\r(x＋1x－1).(3)y＝x，y＝eq\r(x2).(4)y＝x，y＝eq\r(3,x3).(5)y＝(eq\r(2x－5))2，y＝2x－5.A．(1)，(2)B．(2)，(3)C．(3)，(5)D．(4)解析：(1)中的y＝eq\f(x＋3x－5,x＋3)與y＝x－5定義域不同．(2)中兩個函數的定義域不同．(3)中第1個函數的定義域、值域都為R，而第2個函數的定義域是R，但值域是{y|y≥0}．(5)中兩個函數的定義域不同，值域也不同．(4)中顯然是同一函數．答案：D\a\vs4\al(2023·福州高一檢測)下列函數是偶函數的是()A．y＝2x2－3B．y＝x3C．y＝x2，x∈[0,1]D．y＝x解析：由函數奇偶性定義可知B、D均為奇函數，C定義域不關于原點對稱，為非奇非偶函數，A為偶函數．答案：A\a\vs4\al(2023·洛陽高一檢測)若函數f(x)滿足f(3x＋2)＝9x＋8，則f(x)的解析式是()A．f(x)＝9x＋8B．f(x)＝3x＋2C．f(x)＝－3x－4D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4解析：令3x＋2＝t，則3x＝t－2，故f(t)＝3(t－2)＋8＝3t＋2.答案：B\a\vs4\al(2023·大慶高一檢測)設f(x)是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f(x)＝2x2－x，則f(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3解析：∵x≤0時，f(x)＝2x2－x，∴f(－1)＝2－(－1)＝3.又f(x)為R上的奇函數，故f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝－3.答案：A7．設集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，則S∩T＝()A．[－4，＋∞)B．(－2，＋∞)C．[－4,1]D．(－2,1]解析：S∩T＝{x|x＞－2}∩{x|－4≤x≤1}＝{x|－2＜x≤1}．答案：D8．函數f(x)＝eq\r(1＋x)＋eq\f(1,x)的定義域是()A．[－1，∞)B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．[－1,0)∪(0，＋∞)D．R解析：要使函數有意義，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x≥0，,x≠0，))即x≥－1且x≠0，故選C.答案：C9．已知f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于()A．4B．3C．2D．1解析：∵f(x)是奇函數，∴f(－1)＝－f(1)．又g(x)是偶函數，∴g(－1)＝g(1)．∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2.①又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4.②由①②，得g(1)＝3.答案：B\a\vs4\al(2023·瀏陽高一檢測)已知偶函數y＝f(x)在[0,4]上是增函數，則一定有()A．f(－3)＞f(π)B．f(－3)＜f(π)C．f(3)＞f(－π)D．f(－3)＞f(－π)解析：∵f(x)是偶函數，∴f(－3)＝f(3)，f(－π)＝f(π)．又f(x)在[0,4]上是增函數，∴f(3)＜f(π)．∴f(－3)＜f(π)．答案：B11．(2023·昆明高一檢測)已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x＜0時，f(x)＝x－x2，則當x＞0時，f(x)＝()A．x－x2B．－x－x2C．－x＋x2D．x＋x2解析：當x＞0時，－x＜0，∴f(－x)＝－x－(－x)2＝－x－x2，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x＋x2.答案：D\a\vs4\al(2023·安陽高一檢測)一個偶函數定義在[－7,7]上，它在[0,7]上的圖象如圖所示，下列說法正確的是()A．這個函數僅有一個單調增區(qū)間B．這個函數有兩個單調減區(qū)間C．這個函數在其定義域內有最大值是7D．這個函數在其定義域內有最小值是－7解析：結合偶函數圖象關于y軸對稱可知，這個函數在[－7,7]上有三個單調遞增區(qū)間，三個單調遞減區(qū)間，且定義域內有最大值7，無法判斷最小值是多少．答案：C二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知函數f(x)＝eq\r(x－1).若f(a)＝3，則實數a＝__________.解析：因為f(a)＝eq\r(a－1)＝3，所以a－1＝9，即a＝10.答案：1014．用列舉法表示集合：A＝{x|eq\f(2,x＋1)∈Z，x∈Z}＝__________.解析：因為x∈Z，所以當x＝－3時，有－1∈Z；當x＝－2時，有－2∈Z；當x＝0時，有2∈Z；當x＝1時，有1∈Z，所以A＝{－3，－2,0,1}．答案：{－3，－2,0,1}15．函數f(x)＝－x2＋b在[－3，－1]上的最大值是4，則它的最小值是__________．解析：函數f(x)＝－x2＋b在[－3，－1]上是增函數，當x＝－1時取最大值，所以b＝5，當x＝－3時，取最小值f(－3)＝－9＋5＝－4.答案：－416．已知函數y＝f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上為奇函數，且在(0，＋∞)上為增函數，f(－2)＝0，則不等式x·f(x)＜0的解集為________．解析：根據題意畫出f(x)大致圖象：由圖象可知－2＜x＜0或0＜x＜2時，x·f(x)＜0.答案：(－2,0)∪(0,2)三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．\a\vs4\al(2023·武昌高一檢測，10分)已知函數f(x)＝x＋eq\f(m,x)，且f(1)＝3.(1)求m；(2)判斷函數f(x)的奇偶性．解析：(1)∵f(1)＝3，即1＋m＝3，∴m＝分(2)由(1)知，f(x)＝x＋eq\f(2,x)，其定義域是{x|x≠0}，關于原點對稱，7分又f(－x)＝－x＋eq\f(2,－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))＝－f(x)，所以此函數是奇函數.10分\a\vs4\al(2023·杭州高一檢測，12分)已知集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}．(1)分別求?R(A∩B)，(?RB)∪A；(2)已知C＝{x|a＜x＜a＋1}，若C?B，求實數a的取值范圍．解析：(1)∵A∩B＝{x|3≤x＜6}，∴?R(A∩B)＝{x|x＜3或x≥6}，∵?RB＝{x|x≤2或x≥9}，∴(?RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x＜6或x≥9}．6分(2)∵C?B，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥2，,a＋1≤9))，∴2≤a≤8.∴實數a的取值范圍為：2≤a≤分\a\vs4\al(2023·鄭州高一檢測，12分)已知函數f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)當a＝－1時，求函數f(x)的最大值和最小值；(2)求實數a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調函數．解析：(1)當a＝－1時，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.∵x∈[－5,5]，故當x＝1時，f(x)的最小值為1，當x＝－5時，f(x)的最大值為分(2)函數f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的圖象的對稱軸為x＝－a.∵f(x)在[－5,5]上是單調的，∴－a≤－5或－a≥5.即實數a的取值范圍是a≤－5或a≥分\a\vs4\al(2023·德州高一檢測，12分)設函數f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)，(1)證明：f(x)是偶函數；(2)畫出這個函數的圖象；(3)指出函數f(x)的單調區(qū)間，并說明在各個單調區(qū)間上f(x)是增函數還是減函數；(4)求函數的值域．解析：(1)∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數.3分(2)當x≥0時，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，當x＜0時，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12－2，0≤x≤3，,x＋12－2，－3≤x＜0.))根據二次函數的作圖方法，可得函數圖象如圖．6分(3)函數f(x)的單調區(qū)間為[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在區(qū)間[－3，－1)，[0,1)上為減函數，在區(qū)間[－1,0)，[1,3]上為增函數.9分(4)當x≥0時，函數f(x)＝(x－1)2－2的最小值為－2，最大值f(3)＝2；當x＜0時，函數f(x)＝(x＋1)2－2的最小值為－2，最大值f(－3)＝2.故函數f(x)的值域為[－2,2].12分\a\vs4\al(2023·臨沂高一檢測，12分)已知函數f(x)＝eq\f(mx2＋2,3x＋n)是奇函數，且f(2)＝eq\f(5,3).(1)求實數m和n的值；(2)判斷函數f(x)在(－∞，－1]上的單調性，并加以證明．解析：(1)∵f(x)是奇函數，∴f(－x)＝－f(x)．即eq\f(mx2＋2,－3x＋n)＝－eq\f(mx2＋2,3x＋n)＝eq\f(mx2＋2,－3x－n)，比較得n＝－n，n＝0，又f(2)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(4m＋2,6)＝eq\f(5,3)，m＝2，即實數m和n的值分別是2和分(2)函數f(x)在(－∞，－1]上為增函數．證明如下：由(1)知f(x)＝eq\f(2x2＋2,3x)＝eq\f(2x,3)＋eq\f(2,3x)，設x1＜x2≤－1，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2,3)(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x1x2)))＝eq\f(2,3)(x1－x2)·eq\f(x1x2－1,x1x2)，eq\f(2,3)(x1－x2)＜0，x1x2＞0，x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，即函數f(x)在(－∞，－1]上為增函數.12分\a\vs4\al(2023·濟寧高一檢測，12分)函數f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定義在(－1,1)上的奇函數，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2,5).(1)確定函數f(x)的解析式；(2)用定義證明：f(x)在(－1,1)上是增函數；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.解析：(1)∵f(x)是定義在(－1,1)上的奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，即eq\f(－ax＋b,1＋x2)＝eq\f(－ax－b,1＋x2).∴b＝－b，b＝0.∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2,5)，∴eq\f(\f(1,2)a,1＋\f(1,4))＝eq\f(2,5)，∴a＝分∴函數解析式為f(x)＝eq\f(x,1＋x2)(－1＜x＜1)．(2)證明：任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,1＋x\o\al(2,1))－eq\f(x2,1＋x\o\al(2,2))＝eq\f(x1－x21－x1x2,1＋x\o\al(2,1)1＋x\o\al(2,2))，∵－1＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0,1－x1