高中數(shù)學(xué)北師大版本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第2章4二次函數(shù)的圖像

§4二次函數(shù)性質(zhì)的再研究4．1二次函數(shù)的圖像1．理解y＝x2與y＝ax2(a≠0)，y＝ax2與y＝(x＋h)2＋k及y＝ax2＋bx＋c的圖像之間的關(guān)系．(重點(diǎn))2．掌握a，h，k對(duì)二次函數(shù)圖像的影響．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖像間的關(guān)系閱讀教材P41～P42第2自然段結(jié)束有關(guān)內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖像可由y＝x2的圖像各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍得到．其中a決定了圖像的開(kāi)口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開(kāi)口大?。铝卸魏瘮?shù)圖像開(kāi)口，按從小到大的順序排列為_(kāi)_______．①f(x)＝eq\f(1,4)x2；②f(x)＝eq\f(1,2)x2；③f(x)＝－eq\f(1,3)x2；④f(x)＝－3x2.【解析】y＝ax2(a≠0)的圖像在同一直角坐標(biāo)系中|a|越大，開(kāi)口就越?。敬鸢浮竣堍冖邰俳滩恼?函數(shù)y＝ax2(a≠0)與函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的圖像閱讀教材P42第3自然段～P44的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．1．y＝ax2eq\o(→,\s\up18(h>0向左平移h個(gè)單位),\s\do13(h<0，向右平移|h|個(gè)單位))y＝a(x＋h)2eq\o(→,\s\up18(k>0，向上平移k個(gè)單位),\s\do13(k<0，向下平移|k|個(gè)單位))y＝a(x＋h)2＋k.2．將二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通過(guò)配方化為y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的形式，然后通過(guò)函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖像左右、上下平移得到函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像．3．在二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖像的開(kāi)口大小及方向．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)二次函數(shù)y＝3x2的開(kāi)口比y＝x2的開(kāi)口要大．()(2)要得到y(tǒng)＝－(x－2)2的圖像，需要將y＝－x2向左平移1個(gè)單位．()(3)要得到y(tǒng)＝2(x＋1)2的圖像，需將y＝2(x＋1)2－1的圖像向上平移1個(gè)單位．()【答案】(1)×(2)×(3)√[小組合作型]二次函數(shù)圖像間的變換在同一坐標(biāo)系中作出下列函數(shù)的圖像．(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.并分析如何把y＝x2的圖像變換成y＝2x2－4x的圖像.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04100027】【精彩點(diǎn)撥】對(duì)每個(gè)函數(shù)列表、描點(diǎn)、連線作出相應(yīng)的圖像，然后利用圖像分析y＝x2與y＝2x2－4x的關(guān)系．【嘗試解答】列表：x－3－2－10123y＝x29410149y＝x2－272－1－2－127y＝2x2－4x301660－206描點(diǎn)、連線即得相應(yīng)函數(shù)的圖像，如圖所示．由圖像可知由y＝x2到y(tǒng)＝2x2－4x的變化過(guò)程如下．法一：先把y＝x2的圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝(x－1)2的圖像，然后把y＝(x－1)2的圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到y(tǒng)＝2(x－1)2的圖像，最后把y＝2(x－1)2的圖像向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度便可得到y(tǒng)＝2x2－4x的圖像．法二：先把y＝x2的圖像向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝x2－1的圖像，然后再把y＝x2－1的圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝(x－1)2－1的圖像，最后把y＝(x－1)2－1的圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，便可得到y(tǒng)＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的圖像．任意拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可轉(zhuǎn)化為y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2的圖像經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)钠揭频玫?，具體平移方法如圖所示．即上述平移規(guī)律“h值，正、負(fù)，左、右移”，亦即“加時(shí)左移，減時(shí)右移”；“k值正、負(fù)，上、下移”，即“加時(shí)上移，減時(shí)下移”．[再練一題]1．畫二次函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的圖像，并說(shuō)明它是如何經(jīng)過(guò)y＝eq\f(1,2)x2平移得到的．【解】∵y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21＝eq\f(1,2)(x－6)2＋3，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,3)，對(duì)稱軸為x＝6.令x＝0，求得y＝21，它與y軸交點(diǎn)為(0,21)，此交點(diǎn)距頂點(diǎn)太遠(yuǎn)，畫圖時(shí)利用不上．令y＝0，eq\f(1,2)x2－6x＋21＝0，∵Δ＜0，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，∴拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．因此，畫此函數(shù)圖像，應(yīng)利用函數(shù)的對(duì)稱性列表，在頂點(diǎn)的兩側(cè)適當(dāng)?shù)剡x取兩對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，然后描點(diǎn)、畫圖即可．(1)利用二次函數(shù)的對(duì)稱性列表：x45678y535(2)描點(diǎn)、連線即得函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的圖像，如圖所示．把y＝eq\f(1,2)x2的圖像向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，就可得到y(tǒng)＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的圖像．求二次函數(shù)的解析式根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)y＝f(x)的解析式．(1)圖像過(guò)點(diǎn)(2,0)，(4,0)，(0,3)；(2)圖像頂點(diǎn)為(1,2)并且過(guò)點(diǎn)(0,4)；(3)過(guò)點(diǎn)(1,1)，(0,2)，(3,5)．【精彩點(diǎn)撥】【嘗試解答】(1)設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a(x－2)·(x－4)．整理得y＝ax2－6ax＋8a∴8a＝3，∴a＝eq\f(3,8).∴解析式為y＝eq\f(3,8)(x－2)(x－4)．(2)設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a(x－1)2＋2.整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，∴a＋2＝4，∴a＝2，∴解析式為y＝2(x－1)2＋2.(3)設(shè)函數(shù)解析式為y＝ax2＋bx＋c，由題設(shè)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,c＝2，,9a＋3b＋c＝5))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝2，))∴解析式為y＝x2－2x＋2.求二次函數(shù)解析式的方法，應(yīng)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，選用解析式的形式，利用待定系數(shù)法求解.,1若已知條件是圖像上的三個(gè)點(diǎn)，則設(shè)所求二次函數(shù)為一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋ca，b，c為常數(shù)，a≠0的形式.,2若已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大小值，則設(shè)所求二次函數(shù)為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝ax－h(huán)2＋k其中頂點(diǎn)為h，k，a為常數(shù)，a≠0.,3若已知二次函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為x1，0，x2，0，則設(shè)所求二次函數(shù)為兩根式y(tǒng)＝ax－x1x－x2a為常數(shù)，且a≠0.[再練一題]2．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x－3－2－10123y60－4－6－6－40求該函數(shù)的解析式．【解】法一：由表可知該函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(－2,0)，(3,0)，故該函數(shù)可設(shè)為y＝a(x＋2)(x－3)，又函數(shù)過(guò)點(diǎn)(0，－6)，故－6a＝－6，a＝1，所以該函數(shù)的解析式為y＝(x＋2)(x－3)＝x2－x法二：因?yàn)樵摵瘮?shù)過(guò)點(diǎn)(0，－6)，故y＝ax2＋bx－6，又過(guò)點(diǎn)(－1，－4)，(1，－6)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b－6＝－4，①,a＋b－6＝－6，②))由①②可得a＝1，b＝－1，故該函數(shù)的解析式為y＝x2－x－6.[探究共研型]二次函數(shù)圖像的應(yīng)用探究1你能對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方，并說(shuō)出它的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、單調(diào)區(qū)間、最大值和最小值嗎？【提示】y＝ax2＋bx＋c＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＋eq\f(4ac－b2,4a).當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)的圖像開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))，對(duì)稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)；f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是減少的，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增加的；當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)時(shí)，函數(shù)取得最小值eq\f(4ac－b2,4a)，無(wú)最大值．當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)的圖像開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))，對(duì)稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)；f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增加的，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是減少的；當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)時(shí)，函數(shù)取得最大值eq\f(4ac－b2,4a)，無(wú)最小值．探究2將函數(shù)y＝－3x2－6x＋1配方，確定其對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，求出它的單調(diào)區(qū)間及最大值或最小值，并畫出它的圖像．【提示】y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4.由于x2的系數(shù)是負(fù)數(shù)，所以函數(shù)圖像開(kāi)口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,4)；對(duì)稱軸為直線x＋1＝0(或x＝－1)；函數(shù)在區(qū)間(－∞，－1]上是增加的，在區(qū)間[－1，＋∞)上是減少的；函數(shù)有最大值，沒(méi)有最小值，函數(shù)的最大值是4.采用描點(diǎn)法畫圖，選頂點(diǎn)A(－1，4)，與x軸的交點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3)－3,3)，0))和Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3)＋3,3)，0))，與y軸的交點(diǎn)D(0,1)，再任取點(diǎn)E(－2,1)，過(guò)這5個(gè)點(diǎn)畫出圖像，如圖．已知二次函數(shù)y＝2x2－4x－6.(1)求此函數(shù)圖像的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出函數(shù)圖像；(2)求此函數(shù)圖像與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并求出以此三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積；(3)x為何值時(shí)，y＞0，y＝0，y＜0?【精彩點(diǎn)撥】(1)已知二次函數(shù)，通過(guò)配方可求得對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)的對(duì)稱性列表描點(diǎn)可畫出圖像；(2)函數(shù)圖像與x軸、y軸相交的條件分別是y＝0，x＝0，可求對(duì)應(yīng)的變量值，進(jìn)一步求出三角形的面積；(3)觀察圖像可得到圖像在x軸上方(即y＞0)時(shí)x的取值范圍，y＝0與y＜0時(shí)亦可得．【嘗試解答】(1)配方，得y＝2(x－1)2－8.∵a＝2＞0，∴函數(shù)圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，－8)．列表：x－10123y0－6－8－60描點(diǎn)并畫圖，得函數(shù)y＝2x2－4x－6的圖像，如圖所示．(2)由圖像得，函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(－1,0)，B(3，0)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為C(0，－6)．S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·|OC|＝eq\f(1,2)×4×6＝12.(3)由函數(shù)圖像知，當(dāng)x＜－1或x＞3時(shí)，y＞0；當(dāng)x＝－1或x＝3時(shí)，y＝0；當(dāng)－1＜x＜3時(shí)，y＜0.觀察圖像主要是把握其本質(zhì)特征：開(kāi)口方向決定a的符號(hào)，在y軸上的交點(diǎn)決定c的符號(hào)值，對(duì)稱軸的位置決定的符號(hào)，另外還要注意與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)的單調(diào)性等，從而解決其他問(wèn)題[再練一題]3．求函數(shù)y＝－x2＋2x＋3的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解】∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，對(duì)稱軸為x＝1，單調(diào)增區(qū)間為(－∞，1]，單調(diào)減區(qū)間為[1，＋∞).1.下列關(guān)于二次函數(shù)y＝－x2＋x＋1的開(kāi)口方向和頂點(diǎn)的說(shuō)法，正確的是()A．開(kāi)口向下，頂點(diǎn)(1,1)B．開(kāi)口向上，頂點(diǎn)(1,1)C．開(kāi)口向上，頂點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(5,4)))D．開(kāi)口向下，頂點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))【解析】函數(shù)可化為y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)，故拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4))).【答案】D2.把函數(shù)y＝2x2的圖像向左平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的解析式為_(kāi)_______．【解析】函數(shù)y＝2x2的圖像向左平移2個(gè)單位得到y(tǒng)＝2(x＋2)2，向上平移1個(gè)單位得到y(tǒng)＝2(x＋2)2＋1.【答案】y＝2(x＋2)2＋13.已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖2-4-1所示，則此函數(shù)的解析式為_(kāi)_________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04100028】圖2-4-1【解析】由圖像設(shè)f(x