2023屆肇慶市重點(diǎn)中學(xué)高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)過拋物線上任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（）A． B．3 C． D．23．某校團(tuán)委對“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，利用列聯(lián)表，由計(jì)算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結(jié)論是()A．有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”4．若的展開式中的系數(shù)為-45，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．2 C． D．5．在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．6．劉徽是我國魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中對勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不移動也.合成弦方之冪，開方除之，即弦也”.已知圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，其中“正方形為朱方，正方形為青方”，則在五邊形內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，此點(diǎn)取自朱方的概率為（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，則的通項(xiàng)公式（）A． B． C． D．8．已知變量的幾組取值如下表：12347若與線性相關(guān)，且，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．9．用一個(gè)平面去截正方體，則截面不可能是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形10．在中，，，，若，則實(shí)數(shù)()A． B． C． D．11．設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．12．棱長為2的正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，過正方體中兩條異面直線，的中點(diǎn)作直線，則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長為（）A． B． C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．邊長為2的菱形中,與交于點(diǎn)O,E是線段的中點(diǎn),的延長線與相交于點(diǎn)F,若,則______.14．在中，，，，則________，的面積為________．15．某部門全部員工參加一項(xiàng)社會公益活動，按年齡分為三組，其人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本，若組中甲、乙二人均被抽到的概率是，則該部門員工總?cè)藬?shù)為__________.16．已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的所有可能值之和為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且.（1）證明：；（2）若的面積，，求角.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）和曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求直線和曲線的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是射線與直線的公共點(diǎn)，點(diǎn)是與曲線的公共點(diǎn)，求的最大值．19．（12分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個(gè)有序集合組，其中.記集合中元素的個(gè)數(shù)為，，，規(guī)定空集中元素的個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，求的值；利用數(shù)學(xué)歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，，都有.20．（12分）第十三屆全國人大常委會第十一次會議審議的《固體廢物污染環(huán)境防治法（修訂草案）》中，提出推行生活垃圾分類制度，這是生活垃圾分類首次被納入國家立法中．為了解某城市居民的垃圾分類意識與政府相關(guān)法規(guī)宣傳普及的關(guān)系，對某試點(diǎn)社區(qū)抽取戶居民進(jìn)行調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表．分類意識強(qiáng)分類意識弱合計(jì)試點(diǎn)后試點(diǎn)前合計(jì)已知在抽取的戶居民中隨機(jī)抽取戶，抽到分類意識強(qiáng)的概率為．（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為居民分類意識的強(qiáng)弱與政府宣傳普及工作有關(guān)？說明你的理由；（2）已知在試點(diǎn)前分類意識強(qiáng)的戶居民中，有戶自覺垃圾分類在年以上，現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類意識強(qiáng)的戶居民中，隨機(jī)選出戶進(jìn)行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為，求分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．下面的臨界值表僅供參考21．（12分）已知如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點(diǎn)，AEBD于E，延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示。（Ⅰ）求證：AE平面BCD；（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值；（Ⅲ）求三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比（只需寫出結(jié)果，不要求過程）．22．（10分）已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）若，對，不等式恒成立，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉(zhuǎn)為線段長度比，進(jìn)而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)的表達(dá)式。寫出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，最后代入坐標(biāo)，求得三角形面積比.【詳解】作圖，設(shè)與的夾角為，則中邊上的高與中邊上的高之比為，，設(shè)，則直線，即，與聯(lián)立，解得，從而得到面積比為.故選：【點(diǎn)睛】解決本題主要在于將面積比轉(zhuǎn)化為線段長的比例關(guān)系，進(jìn)而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯(cuò)的綜合題.2、D【解析】

根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得的長.【詳解】過作，垂足為，設(shè)與軸的交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

通過與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較，可以得出正確的選項(xiàng).【詳解】解:，可得有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

將多項(xiàng)式的乘法式展開，結(jié)合二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)，即可求得的值.【詳解】∵所以展開式中的系數(shù)為，∴解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)的簡單應(yīng)用，指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出，設(shè)設(shè)球心為，和的中心分別為、，可得出平面，平面，利用勾股定理計(jì)算出球的半徑，再利用球體的表面積公式可得出結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，由和都是正三角形，得，，則，則，由勾股定理的逆定理，得.設(shè)球心為，和的中心分別為、.由球的性質(zhì)可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半徑為.所以外接球的表面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計(jì)算，解題時(shí)要分析幾何體的結(jié)構(gòu)，找出球心的位置，并以此計(jì)算出球的半徑長，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.6、C【解析】

首先明確這是一個(gè)幾何概型面積類型，然后求得總事件的面積和所研究事件的面積，代入概率公式求解.【詳解】因?yàn)檎叫螢橹旆?，其面積為9，五邊形的面積為，所以此點(diǎn)取自朱方的概率為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的概率求法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

利用證得數(shù)列為常數(shù)列，并由此求得的通項(xiàng)公式.【詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，，得，所以，所以為常數(shù)列，所以，故.故選：C【點(diǎn)睛】本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，應(yīng)用意識.8、B【解析】

求出，把坐標(biāo)代入方程可求得．【詳解】據(jù)題意，得，所以，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程，由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點(diǎn)可計(jì)算參數(shù)值．9、C【解析】試題分析：畫出截面圖形如圖顯然A正三角形，B正方形：D正六邊形，可以畫出五邊形但不是正五邊形；故選C．考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論．10、D【解析】

將、用、表示，再代入中計(jì)算即可.【詳解】由，知為的重心，所以，又，所以，，所以，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算，是一道中檔題.11、D【解析】令，可得.在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象（如圖所示）.當(dāng)時(shí)，.由得.設(shè)過原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn)，則有，解得.所以當(dāng)直線與函數(shù)的圖象切時(shí).又當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有，解得.結(jié)合圖象可得當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.選D.點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)問題常用此方法求解.12、C【解析】

連結(jié)并延長PO，交對棱C1D1于R，則R為對棱的中點(diǎn)，取MN的中點(diǎn)H，則OH⊥MN，推導(dǎo)出OH∥RQ，且OH＝RQ＝，由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長．【詳解】如圖，MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段連結(jié)并延長PO，交對棱C1D1于R，則R為對棱的中點(diǎn)，取MN的中點(diǎn)H，則OH⊥MN，∴OH∥RQ，且OH＝RQ＝，∴MH＝＝＝，∴MN＝．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

取基向量，，然后根據(jù)三點(diǎn)共線以及向量加減法運(yùn)算法則將，表示為基向量后再相乘可得．【詳解】如圖：設(shè)，又，且存在實(shí)數(shù)使得，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬中檔題．14、【解析】

利用余弦定理可求得的值，進(jìn)而可得出的值，最后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】由余弦定理得，則，因此，的面積為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時(shí)也考查了三角形面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、60【解析】

根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比，可求得C組中的人數(shù)；由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總?cè)藬?shù)，即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).【詳解】三組人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本，則三組抽取人數(shù)分別.設(shè)組有人，則組中甲、乙二人均被抽到的概率，∴解得.∴該部門員工總共有人.故答案為：60.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的定義與簡單應(yīng)用，古典概型概率的簡單應(yīng)用，由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由分段函數(shù)可得不滿足題意；時(shí)，，可得，即有，解方程可得，4，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和．【詳解】解：由函數(shù)，可得的增區(qū)間為，，時(shí)，，，時(shí)，，當(dāng)關(guān)于的不等式的解集為，，可得不成立，時(shí)，時(shí)，不成立；，即為，可得，即有，顯然，4成立；由和的圖象可得在僅有兩個(gè)交點(diǎn)．綜上可得的所有值的和為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查不等式的解法，注意運(yùn)用分類討論思想方法，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）利用余弦定理化簡已知條件，由此證得（2）利用正弦定理化簡（1）的結(jié)論，得到，利用三角形的面積公式列方程，由此求得，進(jìn)而求得的值，從而求得角.【詳解】（1）由已知得，由余弦定理得，∴.（2）由（1）及正弦定理得，即，∴，∴，∴.，∴，，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.18、（1），；（2）【解析】

（1）先將直線l和圓C的參數(shù)方程化成普通方程，再分別求出極坐標(biāo)方程；（2）寫出點(diǎn)M和點(diǎn)N的極坐標(biāo)，根據(jù)極徑的定義分別表示出和，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值.【詳解】解：（1），，即極坐標(biāo)方程為，，極坐標(biāo)方程．（2）由題可知，，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程、普通方程和極坐標(biāo)方程的互化問題，極徑的定義，以及三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題.19、；證明見解析.【解析】

當(dāng)時(shí)，集合共有個(gè)子集，即可求出結(jié)果；分類討論，利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】當(dāng)時(shí)，集合共有個(gè)子集，所以；①當(dāng)時(shí)，，由可知，，此時(shí)令，，，，滿足對任意，都有，且；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，存在有序集合組滿足題意，且，則當(dāng)時(shí)，集合的子集個(gè)數(shù)為個(gè)，因?yàn)槭?的整數(shù)倍，所以令，，，，且恒成立，即滿足對任意，都有，且，綜上，原命題得證.【點(diǎn)睛】本題考查集合的自己個(gè)數(shù)的研究，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于難題.20、（1）有的把握認(rèn)為居民分類意識強(qiáng)與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系．見解析（2）分布列見解析，期望為1．【解析】

（1）由在抽取的戶居民中隨機(jī)抽取戶，抽到分類意識強(qiáng)的概率為可得列聯(lián)表，然后計(jì)算后可得結(jié)論；（2）由已知的取值分別為，分別計(jì)算概率得分布列，由公式計(jì)算出期望．【詳解】解：（1）根據(jù)在抽取的戶居民中隨機(jī)抽取戶，到分類意識強(qiáng)的概率為，可得分類意識強(qiáng)的有戶，故可得列聯(lián)表如下：分類意識強(qiáng)分類意識弱合計(jì)試點(diǎn)后試點(diǎn)前合計(jì)因?yàn)榈挠^測值，所以有的把握認(rèn)為居民分類意識強(qiáng)與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系．（2）現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類意識強(qiáng)的戶居民中，選出戶進(jìn)行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為，則0，1，2，3，故，，，，則的分布列為．【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力．21、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）1:5【解析】

（Ⅰ）由平面ABD⊥平面BCD，交線為BD，AE⊥BD于E，能證明AE⊥平面BCD;（Ⅱ）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EF、ED、EA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;（Ⅲ）