安徽省池州市東至三中2023屆高三適應性調研考試數(shù)學試題含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，滿足約束條件，則的最大值為A． B． C． D．2．設，是方程的兩個不等實數(shù)根，記（）.下列兩個命題（）①數(shù)列的任意一項都是正整數(shù)；②數(shù)列存在某一項是5的倍數(shù).A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確C．①②都正確 D．①②都錯誤3．已知等差數(shù)列{an}，則“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件4．如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2，除此之外每個數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近（）A． B． C． D．5．如圖，正方體中，，，，分別為棱、、、的中點，則下列各直線中，不與平面平行的是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線6．已知四棱錐的底面為矩形，底面，點在線段上，以為直徑的圓過點.若，則的面積的最小值為（）A．9 B．7 C． D．7．若數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，為數(shù)列的前項和，則（）A． B． C． D．8．已知平面向量，滿足，，且，則（）A．3 B． C． D．59．若，則“”是“的展開式中項的系數(shù)為90”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知三棱柱()A． B． C． D．11．如圖所示的程序框圖輸出的是126，則①應為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，則（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為____________.14．直線是曲線的一條切線為自然對數(shù)的底數(shù))，則實數(shù)__________.15．下圖是一個算法的流程圖，則輸出的x的值為_______．16．的展開式中，的系數(shù)是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）[選修45：不等式選講]已知都是正實數(shù)，且，求證:．18．（12分）已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若在R上單調遞增，求正數(shù)a的取值范圍；（2）若f（x）在處導數(shù)相等，證明：；（3）當時，證明：對于任意，若，則直線與曲線有唯一公共點（注：當時，直線與曲線的交點在y軸兩側）.19．（12分）設函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.20．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，和均為邊長為的等邊三角形.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù)，．（1）若，，求實數(shù)的值．（2）若，，求正實數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處取得極值1，證明：（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合即可得到結論．【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，等價于，作直線，向上平移，易知當直線經過點時最大，所以，故選D．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結合數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．2、A【解析】

利用韋達定理可得,,結合可推出,再計算出,,從而推出①正確;再利用遞推公式依次計算數(shù)列中的各項,以此判斷②的正誤.【詳解】因為,是方程的兩個不等實數(shù)根,所以,,因為,所以,即當時,數(shù)列中的任一項都等于其前兩項之和,又,,所以,,,以此類推,即可知數(shù)列的任意一項都是正整數(shù),故①正確;若數(shù)列存在某一項是5的倍數(shù),則此項個位數(shù)字應當為0或5,由,,依次計算可知,數(shù)列中各項的個位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,故數(shù)列中不存在個位數(shù)字為0或5的項,故②錯誤;故選:A.【點睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導,考查數(shù)列性質的應用,考查學生的綜合分析以及計算能力.3、C【解析】試題分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．解：在等差數(shù)列{an}中，若a2＞a1，則d＞0，即數(shù)列{an}為單調遞增數(shù)列，若數(shù)列{an}為單調遞增數(shù)列，則a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調遞增數(shù)列”充分必要條件，故選C．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．4、A【解析】

結合所給數(shù)字特征，我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式，觀察可知，每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布，結合等比數(shù)列前項和公式和對數(shù)恒等式即可求解【詳解】如圖，將數(shù)字塔中的數(shù)寫成指數(shù)形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構成“楊輝三角”，前10層的指數(shù)之和為，所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為.故選：A【點睛】本題考查與“楊輝三角”有關的規(guī)律求解問題，邏輯推理，等比數(shù)列前項和公式應用，屬于中檔題5、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù)，判斷B的正誤.根據(jù)與相交，判斷C的正誤.根據(jù)，判斷D的正誤.【詳解】在正方體中，因為，所以平面，故A正確.因為，所以，所以平面故B正確.因為，所以平面，故D正確.因為與相交，所以與平面相交，故C錯誤.故選：C【點睛】本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.6、C【解析】

根據(jù)線面垂直的性質以及線面垂直的判定，根據(jù)勾股定理，得到之間的等量關系，再用表示出的面積，利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設，，則.因為平面，平面，所以.又，，所以平面，則.易知，.在中，，即，化簡得.在中，，.所以.因為，當且僅當，時等號成立，所以.故選：C.【點睛】本題考查空間幾何體的線面位置關系及基本不等式的應用，考查空間想象能力以及數(shù)形結合思想，涉及線面垂直的判定和性質，屬中檔題.7、B【解析】

利用等差數(shù)列性質，若，則求出，再利用等差數(shù)列前項和公式得【詳解】解：因為，由等差數(shù)列性質，若，則得，．為數(shù)列的前項和，則．故選：．【點睛】本題考查等差數(shù)列性質與等差數(shù)列前項和.(1)如果為等差數(shù)列，若，則．(2)要注意等差數(shù)列前項和公式的靈活應用，如.8、B【解析】

先求出，再利用求出，再求.【詳解】解：由，所以，，，故選：B【點睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運算，是基礎題.9、B【解析】

求得的二項展開式的通項為,令時,可得項的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結果.【詳解】若則二項展開式的通項為,令,即,則項的系數(shù)為,充分性成立;當?shù)恼归_式中項的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計算能力,難度較易.10、C【解析】因為直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．取BC中點D，則OD⊥底面ABC，則O在側面BCC1B1內，矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑，所以2R＝＝13，即R＝11、B【解析】試題分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿足循環(huán)的條件．解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿足循環(huán)的條件．∵S=2+22+…+21=121，故①中應填n≤1．故選B點評：算法是新課程中的新增加的內容，也必然是新高考中的一個熱點，應高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點考試的概率更大．此種題型的易忽略點是：不能準確理解流程圖的含義而導致錯誤．12、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計算得到答案.【詳解】因為所以.故選：.【點睛】本題考查了分段函數(shù)計算，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)漸近線得到，，計算得到離心率.【詳解】，一條漸近線方程為：，故，，.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，意在考查學生的計算能力.14、【解析】

根據(jù)切線的斜率為，利用導數(shù)列方程，由此求得切點的坐標，進而求得切線方程，通過對比系數(shù)求得的值.【詳解】，則，所以切點為，故切線為，即，故.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求解曲線的切線方程有關問題，屬于基礎題.15、1【解析】

利用流程圖，逐次進行運算，直到退出循環(huán)，得到輸出值.【詳解】第一次：x＝4，y＝11，第二次：x＝5，y＝32，第三次：x＝1，y＝14，此時14＞10×1＋3，輸出x，故輸出x的值為1．故答案為：.【點睛】本題主要考查程序框圖的識別，“還原現(xiàn)場”是求解這類問題的良方，側重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).16、【解析】

先將原式展開成，發(fā)現(xiàn)中不含，故只研究后面一項即可得解.【詳解】，依題意，只需求中的系數(shù)，是.故答案為：-40【點睛】本題考查二項式定理性質，關鍵是先展開再利用排列組合思想解決，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】試題分析：把不等式的左邊寫成形式，利用柯西不等式即證．試題解析：證明：∵，又，∴考點：柯西不等式18、（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】

（1）需滿足恒成立，只需即可；（2）根據(jù)的單調性，構造新函數(shù)，并令，根據(jù)的單調性即可得證；（3）將問題轉化為證明有唯一實數(shù)解，對求導，判斷其單調性，結合題目條件與不等式的放縮，即可得證．【詳解】；令，則恒成立；，；的取值范圍是；（2）證明：由（1）知，在上單調遞減，在上單調遞增；；令，；則；令，則；；；（3）證明：，，要證明有唯一實數(shù)解；當時，；當時，；即對于任意實數(shù)，一定有解；；當時，有兩個極值點；函數(shù)在，，上單調遞增，在上單調遞減；又；只需，在時恒成立；只需；令，其中一個正解是；，；單調遞增，，（1）；；；綜上得證．【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了利用導數(shù)證明不等式，考查了轉化思想、不等式的放縮，屬難題．19、（1）（2）【解析】

(1)利用分段討論法去掉絕對值,結合圖象,從而求得不等式的解集;(2)求出函數(shù)的最小值,把問題化為,從而求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，則所以不等式的解集為.（2）等價于，而，故等價于，所以或，即或，所以實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查含有絕對值的不等式解法、不等式恒成立問題,考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力，難度一般.20、(1)見證明；(2)【解析】

(1)取的中點，連接，要證平面平面，轉證平面，即證，即可；(2)以為坐標原點，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面與平面的法向量，代入公式，即可得到結果.【詳解】（1）取的中點，連接，因為均為邊長為的等邊三角形，所以，，且因為，所以，所以，又因為，平面，平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.（2）因為，為等邊三角形，所以，又因為，所以，，在中，由正弦定理，得：，所以.以為坐標原點，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，設平面的法向量為，則，即，令，則平面的一個法向量為，依題意，平面的一個法向量所以故二面角的余弦值為.【點睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.21、（1）1（2）【解析】

（1）求得和，由，，得，令，令導數(shù)求得函數(shù)的單調性，利用，即可求解．（2）解法一：令，利用導數(shù)求得的單調性，轉化為，令（），利用導數(shù)得到的單調性，分類討論，即可求解．解法二：可利用導數(shù)，先證明不等式，，，，令（），利用導數(shù)，分類討論得出函數(shù)的單調性與最值，即可求解．【詳解】（1）由題意，得，，由，…①，得，令，則，因為，所以在單調遞增，又，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，當且僅當時等號成立．故方程①有且僅有唯一解，實數(shù)的值為1．（2）解法一：令（），則，所以當時，，單調遞增;當時，，單調遞減;故．令（），則．（i）若時，，在單調遞增，所以，滿足題意．（ii）若時，，滿足題意．（iii）若時，，在單調遞減，所以．不滿足題意．綜上述：．解法二：先證明不等式，，，…（*）．令，則當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，即．變形得，，所以時，，所以當時，.又由上式得，當時，，，.因此不等式（*）均成立．令（），則，（i）若時，當時，，單調遞增;當時，，單調遞減;故．（ii）若時，，在單調遞增，所以．因此，①當時，此時，，，則需由（*）知，，（當且僅當時等號成立），所